二阶倒立摆实验报告

研究生课程实验报告课程名称：线性系统实验名称：平面二级倒立摆实验班级：12S0441学号：12S104057姓名：白俊林实验时间：2012年12月21日控制科学与工程教学实验中心研究生课程实验报告二阶倒立摆实验11.实验目的1)熟悉Matlab/Simulink仿真；2)掌握LQR控制器设计和调节；3)理解控制理论在实际中的应用。倒立摆研究的意义是，作为一个实验装置，它形象直观，简单，而且参数和形状易于改变；但它又是一个高阶次、多变量、非线性、强耦合、不确定的绝对不稳定系统的被控系统，必须采用十分有效的控制手段才能使之稳定。因此，许多新的控制理论，都通过倒立摆试验对理论加以实物验证，然后在应用到实际工程中去。因此，倒立摆成为控制理论中经久不衰的研究课题，是验证各种控制算法的一个优秀平台，故通过设计倒立摆的控制器，可以对控制学科中的控制理论有一个学习和实践机会。2.实验内容1）建立直线二级倒立摆数学模型对直线二级倒立摆进行数学建模，并将非线性数学模型在一定条件下化简成线性数学模型。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建立模型存在一定的困难，但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。对于直线二级倒立摆，由于其复杂程度，在这里利用拉格朗日方程推导运动学方程。由于模型的动力学方程中存在三角函数，因此方程是非线性的，通过小角度线性化处理，将动力学非线性方程变成线性方程，便于后续的工作的进行。2）系统的MATLAB仿真依据建立的数学模型，通过MATLAB仿真得出系统的开环特性，采取相应的控制策略，设计控制器，再加入到系统的闭环中，验证控制器的作用，并进一步调试。控制系统设计过程中需要分析内容主要包括得出原未加控制器时系统的极点分布，系统的能研究生课程实验报告二阶倒立摆实验2观性，能控性。3）LQR控制器设计与调节实验利用线性二次型最优（LQR）调节器MATLAB仿真设计的参数结果对平面二阶倒立摆进行实际控制实验，参数微调得到较好的控制效果，记录实验曲线。4）改变控制对象的模型参数实验调整摆杆位置，将摆杆1朝下，摆杆2朝上修改模型参数、起摆条件和控制参数，重复3的内容。3.实验步骤1）倒立摆系统模型在忽略了空气流动，各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车、匀质杆和质量块组成的系统，如图1所示。图1直线两级倒立摆物理模型下面利用拉格朗日方程推导运动学方程。拉格朗日方程为：,,,LqqTqqVqq(1)idLLfdtqq(2)123MmmmTTTTT(3)研究生课程实验报告二阶倒立摆实验3111mmmTTT(4)222mmmTTT(5)212MTMx(6)2211111122211111111sinsin1211cos22mdxldlTmdtdtmxmlxml(7)222221111111111112236mpTJmlml(8)则'''2221111111111112cos23mmmTTTmxmlxml(9)同样可以求出22'112211222222221112222111222(2sinsin(2coscos)1122112coscos2sinsin22mdxlldllTmmdtdtmxllmll(10)''2222222222222211112236mTJmlml(11)'''22222111222222221122121221122coscos21444cos23mmmTTTmxxllmllll(12)研究生课程实验报告二阶倒立摆实验42211113322233111311(2sin)(2cos)1212cos22mdxldlTmdtdtmxmlxml(13)因此，可以得到系统的总动能为：1232222111111112211122222222112212122122233111311112cos223122coscos21444cos2312cos22MmmmTTTTTMxmxmlxmlmxxllmllllmxmlxml(14)系统的总势能为：12311131121122cos2cos2coscosmmmVVVVmglmglmgll(15)从而拉格朗日算子：2222111111112211122222222112212122122233111311111311211112cos223122coscos21444cos2312cos2cos22cos2cosLTVMxmxmlxmlmxxllmllllmxmlxmlmglmglmgl22cosl(16)由于因为在广义坐标21,上均无外力作用，有以下等式成立：110dLLdt(17)研究生课程实验报告二阶倒立摆实验5220dLLdt(18)展开（17），（18）式，分别得到（19），（20）式2222121231122221123116sin()4(3())3(2cos()(2())(sincos))0mlmmmlmlmmmgx(19)22111222112123sin6sin()46cos()3cos0glllx(20)将（19），（20）式对21,求解代数方程，得到以下两式111213122122221121212212211213121222112321(3(2sin4sin4sin3cos()sin6cos()sin()4sin()2cos4cos4cos3cos()cos))/(2(412129cos(gmgmmgmgmlmlmxmxmxmxlmmmm2)))(21)22221231221112222212122221212311222222212312212124((3())(3sin6sin()3cos)92cos()(6sin()3(2())(sincos)))/316((3())4cos())9mmmmllglxmllmlmmmgxmmmmllmll(22)表示成以下形式：111212(,,,,,,)fxxx(23)221212(,,,,,,)fxxx(24)取平衡位置时各变量的初值为零，1212(,,,,,,)(0,0,0,0,0,0,0)0Axxx(25)将（23）式在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，令:研究生课程实验报告二阶倒立摆实验611100AfKx(26)1231120112313(244)2(4312)AgmgmgmfKmmml(27)121302123192(4312)AfmgKmmml(28)11400AfKx(29)115010AfK(30)116020AfK(31)123117012313(24)2(4312)AmmmfKxmmml(32)带入（21）式，得到线性化之后的公式112113217KKKx(33)将（24）式在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，令22100AfKx(34)123222012212322(2())164(3())9AgmmmfKmlmmml(35)123223022212324(3())163(4(3()))9AgmmmfKmlmmml(36)22400AfKx(37)研究生课程实验报告二阶倒立摆实验7225010AfK(38)226020AfK(39)123123227022123242(2())(3()3164(3())9AmmmmmmfKxmlmmml(40)带入（22）式，得到222123227KKKx(41)即：112113217KKKx(42)222123227KKKx(43)现在得到了两个线性微分方程，由于我们采用加速度作为输入，因此还需加上一个方程ux(44)取状态变量如下：1213245162xxxxxxxx(45)由（33），（41），（42）式得到状态空间方程如下：研究生课程实验报告二阶倒立摆实验8112233445121351762223627000100000001000000010000000100000000xxxxxxuxxxKKxKxKKxK(46)其中直线两级倒立摆系统参数为：M小车质量2.32kg1m摆杆1质量0.04kg2m摆杆2质量0.132kg3m质量块质量0.208kg1摆杆1与垂直向上方向的夹角2摆杆2与垂直向上方向的夹角1l摆杆1到转动中心质心的距离0.09m2l摆杆1到转动中心质心的距离0.27mF作用在系统上的外力由以上方程，将以下参数代入123121.320.040.1320.2089.80.090.27Mmmmgll(47)求出各个K值：研究生课程实验报告二阶倒立摆实验912221323172777.0642-38.5321-21.192737.81865.7012-0.0728KKKKKK(48)得到状态矩阵为：A=0001.00000000001.00000000001.0000000000086.6907-21.61720000-40.311239.4500000B=0001.00006.6402-0.0877C=100000010000001000000100000010研究生课程实验报告二阶倒立摆实验10000001D=[000000]'2）根据建模结果仔细计算并寻找合适的理论控制器参数。设R=1，Q=diag([200300300000])，利用matlab提供的lqr函数，可求得：K=14.1421103.1881-174.169115.26823.0199-28.24513）进入matlabcommand窗口，键入仿真文件，进行仿真实验利用固高公司提供的Simulink方框图，输入控制参数k，进行实物仿真，并通过调整Q的值来调整k的值，以达到控制系统的设计要求。通过调节参数请仔细观察思考控制器参数对系统瞬态响应和稳态响应的影响。找到几组合适的控制器参数作为实际控制的参数。4）倒立摆系统实物调试具体步骤如下：将小车推到导轨的中央，并且使摆杆处于自由下垂的静止状态，给小车的驱动器的电源接通电源，进入MATLAB的SIUMLINK中，调出实物仿真文件，填入设计的控制器参数(0,pi,pi)，编译，连接实物，双手将倒立摆竖直的缓慢的立起，倒立摆进入到与竖直方向夹角小于10度的范围内，控制器启动，观察控制器的控制效果。成功后，从新设计控制器，并使参考位置为设为(