1.1.2导数的概念

旧知回顾平均变化率的定义我们把式子称为函数f(x)从到的平均变化率.（averagerateofchange）2121fx-fxx-x1x2x平均速度不能反映物体在某段时间里的运动状态，那么用什么来衡量物体的状态呢？新课导入如何知道运动员在每一时刻的速度呢？汽车在每一刻的速度怎么知道呢？3.1.2导数的概念教学目标知识与能力（1）体会导数的思想及其内涵.（2）能根据导数定义，求函数的导数.（3）理解瞬时速度的概念.过程与方法（1）体会导数的思想及其内涵，通过分析实例，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数.（2）通过函数图象直观地理解导数的意义.情感态度与价值观能够在已有的经验（生活经验，数学学习经验）的基础上，更好的学习瞬时速度，导数等概念.教学重难点重点体会导数的思想及其内涵，形成导数概念.难点导数的概念及其内涵.在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度（instaneousvelociy）.平均速度反映了物体运动时的快慢程度,但要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度,也即需要通过瞬时速度来反映.例题1已知物体作变速直线运动,其运动方程为s＝s（t）(ｓ表示位移,t表示时间）,求物体在t0时刻的速度．00()()limlim.ttssttstvtt物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到t+Δt这段时间内，当Δt0时的平均速度:物体作自由落体运动,运动方程为：其中位移单位是m，时间单位是s，g=10m/s2.求：（1）物体在时间区间[2，2.1]上的平均速度；（2）物体在t=2(s)时的瞬时速度.例题221s=gt2sss(2+t)Os(2)解:__Δs1v==2g+g(Δt)Δt2(1)将Δt=0.1代入上式，得:__v=2.05g=20.5m/s.(2)Δt0,2+Δt2当./202limlim0__0smgtsvvtt即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于20(m/s).当时间间隔Δt逐渐变小时,平均速度就越接近t0=2(s)时的瞬时速度v=20(m/s).从而平均速度的极限为v还记得上节课讲的关于高台跳水问题吗？运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系:2h(t)=-4.9t+6.5t+10例题3通过列表看出平均速度的变化趋势：知道了瞬时速度的概念，那么在高台跳水运动中，如何求（比如，t=2)运动员的瞬时速度？△t0时，在[2+△t,2]这段时间内2222hhtvt24.9Δt+13.1Δt=-Δt=-4.9Δt-13.1当△t=-0.01时，=-13.051；v当△t=-0.001时，=-13.0951；v当△t=-0.0001时，=-13.09951；v当△t=-0.00001时，=-13.099951；v当△t=-0.000001时，=-13.0999951；v…...△t0时，在[2,2+△t]这段时间内h2-h2+Δtv=2-2+Δt24.9Δt+13.1Δt=-Δt=-4.9Δt-13.1当△t=0.01时，=-13.149；v当△t=0.001时，=-13.1049；v当△t=0.0001时，=-13.10049；v当△t=0.00001时，=-13.100049；v当△t=0.000001时，=-13.1000049；v…...观察当趋近于0时，平均速度有什么样的变化？tv我们发现，当趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1.Δt我们用表示“当t=2,Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值-13.1”.0limth(2+Δt)-h(2)=-13.1Δt探究那么运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎么表示?0limt00h(t+Δt)-h(t)Δt探究函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率又怎么表示？导数定义一般地，函数在处的瞬时变化率是y=fx0x=x我们称它为函数在处的导数（derivative）.yfx0xx0000limlimxxfxxfxfxx一般将导数记作,或者,即0f(x)0xxy|(Δ))00000Δx0xx0fxxf(x)f(xf(x)f(x)limlimΔxxx表示函数y关于自变量x在处的导数0|xxy0x0xxy有极限f(x)在点x0处可导f(x)在点x0处的导数概念理解是函数f(x)在以x0与x0+Δx为端点的区间[x0,x0+Δx](或[x0+Δx,x0])上的平均变化率,而导数则是函数f(x)在点x0处的变化率,它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度．00f(xΔx)f(x)ΔyΔxΔx概念理解000xx0f(x)-f(x)f(x)=limx-x知识补充事实上，导数也可以用下式表示：如果函数y=f(x)在点x=x0存在导数，就说函数y=f(x)在点x0处可导，如果极限不存在，就说函数f(x)在点x0处不可导.知识补充由导数的意义可知，求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:（1）求函数的增量00Δy=f(x+Δx)-f(x)..00f(x+Δx)-f(x)Δy=ΔxΔx（2）求平均变化率0Δx0Δyf(x)=lim.Δx（3）取极限，求得导数这里的增量不是一般意义上的增量，它可正也可负.自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择哪种形式,Δy也必须选择与之相对应的形式.注意！例题4求函数y=x2在x=1处的导数.222解：(1)Δy=(1+Δx)-1=2Δx+(Δx),2Δy2Δx+(Δx)==2+Δx,ΔxΔxx=1Δx→0Δx→0Δy∴lim=lim(2+Δx)=2,∴y|=2.Δx课堂小结1.瞬时速度的定义物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.2.导数的定义一般地，函数在处的瞬时变化率是yfx0xx00Δx0Δx0fx+Δx-fxΔflim=limΔxΔx我们称它为函数在处的导数（derivative）.yfx0xx3.求导数的步骤（1）求y；xy（2）求；（3）取极限得f(x)=lim.xyx0若f′(x0)=2，则00()()lim_____.2kofxkfxk-1随堂练习1.设函数f(x)可导，则Δx→0f(1+Δx)-f(1)lim3Δx=（）A.f(1)B.1f(1)3C.不存在D.以上都不对B2.求函数y=x+1/x在x=2处的导数.11-Δx解：Δy=(2+Δx)+-(2+)=Δx+2+Δx22(2+Δx)-ΔxΔx+Δy12(2+Δx)==1-,ΔxΔx2(2+Δx)x=2Δx→0Δx→0Δy1133∴lim=lim[1-]=1-=,∴y|=.Δx2(2+Δx)4443.4.已知函数在处的附近有定义，且，求的值.y=x0x=x0x=x1y'|=20x00解:∵Δy=x+Δx-x,0000000000x+Δx-x(x+Δx-x)(x+Δx+x)Δy∴==ΔxΔxΔx(x+Δx+x)1=.x+Δx+xΔx→0Δx→0000Δy11∴lim=lim=,Δxx+Δx+x2x0x=x00111由y'|=,得=,∴x=1.222x设函数f(x)在点x0处可导,求下列极限值.00Δx0f(x-Δx)-f(x)lim.Δx→0000Δx→0Δx→0'0f(x-Δx)-f(x)f(x-Δx)-f(x)1)原式=lim=-lim-(-Δx)-解：(Δx=-f(x);5.习题答案练习（第6页）Δyf(3+△x)-f(3)==△x-1Δx△x解：在第3h和第5h时，原油温度的瞬时变化率就是f′(3)和f′(5).根据导数的定义：x→0Δy所以，f(3)=lim=-1Δx同理：f(5)=3′′说明在第3h附近，原油的温度大约以1℃/h的速率下降，原油温度以大约以3℃/h的速率上升.