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第一章行列式主要知识点一、行列式的定义和性质1.余子式和代数余子式的定义2.行列式按一行或一列展开的公式1）2）3.行列式的性质1）2）用数k乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的k倍.推论3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数.推论4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0.5）行列式可以按任一行（列）拆开.6）行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等.二、行列式的计算1.二阶行列式和三角形行列式的计算.2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形（或对角形）行列式的计算.3.对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开.4.行列式中各行元素之和为一个常数的类型.5.范德蒙行列式的计算公式真题解析例1行列式第二行第一列元素的代数余子式A21（）A.-2B.-1C.1D.2答案B测试点余子式和代数余子式的概念解析,例2设某3阶行列式的第二行元素分别为-1,2,3对应的余子式分别为-3,-2,1则此行列式的值为.测试点行列式按行（列）展开的定理解例3已知行列式的第一列的元素为1,4,-3,2，第二列元素的余子式为2,3,4,x问x=.测试点行列式的任意一行（列）与另一行（列）元素的代数余子式的乘积之和为零.解因为第二列元素的余子式为2,3,4,x,故第二列元素的代数余子式为-2,3,-4,x因第一列的元素为1,4,-3,2，故1×（-2）+4×3+（-3）×（-4）+2x=0所以x=-11例4设多项式则f（x）的常数项为【】A.4B.1C.-1D.-4答案A测试点行列式按一行展开的定理解行列式按第一行展开得f（x）=（-1）A12+xA13故其常数项为例5已知，那么（）A.-24B.-12C.-6D.12答案B测试点行列式的性质解析例6设行列式=1，=2，则=（）A.-3B.-1C.1D.3故应选D测试点行列式的性质解例7已知3阶行列式则.答案：36d.测试点行列式的性质解例8若aibi≠0，i=1,2,3,则行列式=_____________.测试点行列式的性质解例9设A为3阶方阵，且已知则（）A.-1B.C.D.1答案B测试点方阵行列式的性质解所以.例10计算行列式D=的值.测试点行列式的计算解D=例11求4阶行列式的值.测试点行列式的计算解例12计算3阶行列式[答疑编号118010112：针对该题提问]『正确答案』例13计算4阶行列式：的值.『正确答案』例14计算行列式：测试点各行元素之和为常数的行列式的计算技巧.解例15计算行列式测试点行列式中有一行只有两个元素不为零的行列式的计算和三角形行列式的计算解例16计算行列式『正确答案』扩展例17设问（1）D（x）中，x3项的系数＝？（2）方程D（x）=0有几个根？试写出所有的根。测试点1.范德蒙行列式的判别和计算公式；2.行列式按行（列）展开的定理.解（1）x3项的系数（2）因为所以方程D（x）=0有三个根:x1=2，x2=3，x3=4第一章的重点是行列式的性质和计算。第二章矩阵主要知识点一、矩阵的概念1.要分清矩阵与行列式的区别2.几种特殊矩阵（0矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵）二、矩阵的运算1.矩阵A,B的加、减、乘有意义的充分必要条件2.矩阵运算的性质比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法、乘法的交换律和结合律；乘法关于加法的分配律）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点）.3.转置对称阵和反对称阵1）转置的性质2）若AT=A（AT=-A），则称A为对称（反对称）阵4.逆矩阵1）方阵A可逆（也称非异，非奇异，满秩）的充分必要条件是.当A可逆时，.2）方阵A的伴随阵的定义。重要公式；与A-1的关系（当方阵A可逆时，）3）重要结论：若n阶方阵A,B满足AB=E，则A,B都可逆，且A-1=B，B-1=A.4）逆矩阵的性质：;;.5）消去律：设方阵A可逆，且AB=AC（BA=CA），则必有B=C。（若不知A可逆，仅知A≠0结论不一定成立。）5.方阵的行列式6.分快矩阵矩阵运算时分快的原则；分快矩阵的运算规则；分快矩阵的转置三、矩阵的初等变换和初等矩阵1.初等变换的定义和性质方阵经初等变换后的行列式是否变化？（分别就三种初等变换说明行列式变化的情况）初等变换不改变方阵的可逆性；初等变换不改变矩阵的秩；行初等变换必能将矩阵化为行最简形，初等变换必能将矩阵A化为标准形，其中r为矩阵A的秩.2.初等矩阵的定义和性质1）初等矩阵的定义2）初等变换和矩阵乘法之间的关系3）对任意m×n阶矩阵A，总存在一系列m阶初等阵和一系列n阶初等阵使得四、矩阵的k阶子式和矩阵秩的概念，求矩阵秩的方法五、矩阵方程的标准形及解的公式真题解析例1设矩阵A=（1,2），，，则下列矩阵运算中有意义的是（）A.ACBB.ABCC.BACD.CAB『正确答案』B测试点:矩阵相乘有意义的充分必要条件例2若，则下列矩阵运算的结果为3×2矩阵的是（）A.ABCB.ACTBTC.CBAD.CTBTAT例3设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（）A.A+ATB.A-ATC.AATD.ATA『正确答案』B测试点1.对称阵和反对称阵的定义AT=A（AT=-A），则称A为对称阵（反对称阵）2.转置的性质：例4设A为n阶方阵，为实数，则=（）『正确答案』C测试点矩阵数乘的定义和行列式的性质例5设A为n阶方阵，令方阵B=A+AT，则必有（）A.BT=BB.B=2AC.BT=-BD.B=0『正确答案』A例6设矩阵A,B,C为同阶方阵，则（ABC）T=（）A.ATBTCTB.CTBTATC.CTATBTD.ATCTBT『正确答案』B测试点:转置的反序性例7设矩阵，，则A+2B=_____________.『正确答案』测试点:矩阵运算的定义解.例8设矩阵，，则ATB=____________.『正确答案』测试点:矩阵运算的定义解例9设3阶矩阵A的行列式,则【】A.4B.1C.-1D.-4『正确答案』D测试点矩阵的数乘的定义和行列式的性质例10设A,B为任意n阶矩阵,E为单位矩阵,O为n阶零矩阵,则下列各式中正确的是【】A.（A+B）（A-B）=A2-B2B.（AB）2=A2B2C.（A+E）（A-E）=A2-ED.由AB=O必可推出A=O或B=O『正确答案』C测试点矩阵乘法的性质,特别是没有交换律.例11设2阶矩阵，则＝（）『正确答案』A测试点伴随矩阵的定义,二阶方阵的伴随阵例12设3阶矩阵，则=_____________.『正确答案』测试点重要公式.13.设，则____________.『正确答案』测试点伴随矩阵的概念；若A是n阶方阵，则.解例14矩阵的逆矩阵是（）[答疑编号118020114：针对该题提问]『正确答案』C测试点1.二阶可逆阵的逆矩阵的公式;2.验证B是A的逆矩阵的方法.例15设3阶矩阵，则（AT）-1=_____________.[答疑编号118020115：针对该题提问]『正确答案』测试点1.逆矩阵的性质2.分块矩阵求逆矩阵的方法例设则解注意要验算例16设A为2阶可逆矩阵，且已知=，则A=（）[答疑编号118020116：针对该题提问]『正确答案』D测试点逆矩阵的性质解由=,所以故例17设A是3阶方阵，且则（）A.-2B.C.D.2[答疑编号118020117：针对该题提问]『正确答案』A测试点方阵行列式的性质.例18已知A2-2A-8E=O则（A+E）-1_____________。[答疑编号118020118：针对该题提问]『正确答案』测试点关于逆矩阵的重要推论若A,B都是n阶矩阵，且满足AB=En则A,B都可逆，且A-1=B，B-1=A解由A2-2A-8E=O得A2+A-3A-3E-5E=0，即（A+E）（A-3E）=5E，即，故例19设n阶方阵A满足Am=O，其中m为正整数，证明E-A可逆，且[答疑编号118020119：针对该题提问]『正确答案』例20下列矩阵中，是初等矩阵的为（）[答疑编号118020120：针对该题提问]『正确答案』C测试点初等矩阵的定义例21下列矩阵中不是初等矩阵的为（）[答疑编号118020121：针对该题提问]『正确答案』D测试点初等矩阵的定义；矩阵的初等变换的定义解析因为，故A.是初等矩阵。B是单位矩阵经第三行加第一行的（-1）倍得到的，故也是初等矩阵，C是单位矩阵的第二行乘以2所得，也是初等矩阵，所以D不是初等矩阵。例22设矩阵则必有（）A.P1P2A=BB.P2P1A=BC.AP1P2=BD.AP2P1=B[答疑编号118020122：针对该题提问]答案A测试点矩阵的初等变换和矩阵乘法之间的关系；初等方阵以及初等方阵的功能。解方阵是由经过两次初等行变换得到的，（1）第一行的一倍加到第二行上，相应的初等方阵是；（2）第一行和第二行两行互换，相应的初等方阵是根据初等方阵的功能：用初等方阵左（右）乘矩阵A就等于对矩阵A做相应的初等行（列）变换.故B=P1P2A，所以验算：；例23设矩阵，则A中（）A.所有2阶子式都不为零B.所有2阶子式都为零C.所有3阶子式都不为零D.存在一个3阶子式不为零[答疑编号118020123：针对该题提问]『正确答案』D测试点矩阵的k阶子式的概念.例24设矩阵，则行列式___________.[答疑编号118020201：针对该题提问]『正确答案』测试点方阵行列式的性质解例25设矩阵，矩阵，则矩阵B的秩=______________.[答疑编号118020202：针对该题提问]『正确答案』测试点矩阵秩的概念解例26设A是4×5矩阵，，则（）A.A中的4阶子式都不为0B.A中存在不为0的4阶子式C.A中的3阶子式都不为0D.A中存在不为0的3阶子式[答疑编号118020203：针对该题提问]『正确答案』D测试点矩阵秩的概念例27设三阶矩阵,若存在初等矩阵P,使得则P=【】[答疑编号118020204：针对该题提问]『正确答案』B测试点矩阵的初等变换和用初等矩阵乘的关系例28已知矩阵，E为2阶单位矩阵，令求B[答疑编号118020205：针对该题提问]『正确答案』测试点方阵多项式的概念;例29设求[答疑编号118020206：针对该题提问]测试点求逆矩阵的方法解所以注意一定要验算例30设矩阵，，求矩阵方程XA=B的解X.[答疑编号118020207：针对该题提问]『正确答案』测试点解矩阵方程的方法解验算!例31设A,B均为3阶矩阵，E为3阶单位矩阵,且满足：.若已知求矩阵B.[答疑编号118020208：针对该题提问]测试点解矩阵方程的方法解因为，故从而，又显然A-E可逆，应用消去律得.验算所以确有例32已知矩阵满足方程矩阵X满足方程AX+BX=D-C，求X。[答疑编号118020209：针对该题提问]测试点求矩阵方程的解解由AX+BX=D-C得(A+B)X=D-C故验算例33设矩阵，问a为何值时，（1）秩(A)=1；（2）秩(A)=2.[答疑编号118020210：针对该题提问]『正确答案』测试点求矩阵秩的方法解所以当a=9时，秩(A)=1；当a≠9时，秩(A)=2例34证明：若A为3阶可逆的上三角矩阵，则也是上三角矩阵.[答疑编号118020211：针对该题提问]证因为A为3阶可逆的上三角矩阵，设，设，其中所以必为上三角矩阵，命题得证例35设A为m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，则矩阵B=AC的秩为__________.[答疑编号118020212：针对该题提问]『正确答案』r例36设令，试求.[答疑编号118020213：针对该题提问]『正确答案』测试点矩阵乘法的一个常用技巧解因为,所以37.设3阶方阵A的秩为2，则与A等价的矩阵为（）[答疑编号118020214：针对该题提问]『正确答案』B测试点矩阵等价的概念；等价矩阵有相等的秩；反之同形的两个矩阵只要其秩相等，必等价.解因为A,C,D的矩阵的秩都为1