电磁学-静电场

第一章静电场1—1氢原子由一个质子（即氢原子核）和一个电子组成。根据经典模型，在正常态下，电子绕核作圆周运动，轨道半径是115.2910m。已知质子质量271.6710kgm，电子质量319.1110kgm。电荷分别为C191060.1，万有引力常数11226.6710Nm/kgG.（1）求电子所受的库仑力；（2）库仑力是万有引力的多少倍？（3）求电子的速度.解：（1）由库仑定律知，电子所受的库仑力为22388212222011.60108.2310N448.85105.2910eFr库（2）由万有引力定律知，电子所受的万有引力为2731114722221.67109.11106.67103.6310N5.2910mmFGr万库仑力与万有引力之比为20238112731123941.60106.67101.67109.111043.148.85102.2710FeFGmm库万（3）电子绕核作圆周运动，根据牛顿第二定律有rvmre222041所以电子的速度为8113168.32105.92109.11102.1910m/sv1—2两个相同的气球，充满氦气，它们的表面均匀带同号电荷，电量为Q，质量为5g的重物通过两根质量可以忽略的细线挂于两个气球上，整个系统悬浮与空中，如图1—1（a）所示，假定把两带电气球作点电荷处理，是求Q的量值.（a）（b）（c）图1—1解：系统处于静态平衡状态，对气球和重物进行受力分析如图1—1（b）和如图1—1（c）所示，其中f是气球所受到的浮力；F是气球所受到的库仑力；T是气球和重物所受到的拉力；mg是重物所受到的重力。由平衡条件2201cos4QFTr．．．．．．．．．．．．．．①2cosTmg．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②由①②式解得3212200.35109.84cos48.85100.60.952cos121mgQr75.5510C1—3两自由电荷q和4q距离l为，第三个电荷怎样放置，使整个系统处于平衡，求第三个电荷的位置和电量符号.解：设所放的点电荷的电量为q，若q与q同号，则二者相排斥，不可能达到平衡，故只能与q异号，若q放在q和4q的连线之外的任何地方，也不可能达到平衡。由此可知，只有q与q异号，且q放在q和4q的连线上，才有可能达到所要求的平衡．设这时q到q的距离为x，e为从q到4q方向上的单位矢量，如图1—2所示．则q所受的力为2200220114()44()144()qqqqxlxqqxlxFeee平衡时0F，所以22()4lxx，解得3lx和xl（在联线之外舍去）这时q所受的力为2220020114443944qqqllqqqlFeee图1—2平衡时0F，故得49qq很容易验证，这时4q所受的力也是零，即三个电荷都达到平衡。1—4两个小球都带正电，总共带有电荷为55.010C。如果当这两个小球相距2.0m时，任意球受另一个球之斥力为1.0N，问总电荷在球上如何分配？解：根据已知条件和库仑定律列方程如下5125.010Cqq．．．．．．．．．．．．①12201.0N4qqFr．．．．．．．．．．．．．．②将①代入②得5111225.0101.048.85102qq25711510444.62410qq4271121088.9100qq2351411888.9101.1610C410q523.8410Cq1—5两个相同的导体带有异号电荷，相距0.5m时彼此以0.108N的力相吸，两球用一导线连接，然后将导线拿去，此后彼此以0.036N的力相斥。问两球上原来的电量各是多少？解:设两导体球带电量分别为1q、2q，由库仑定律得108.05.042021qq．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．①两球用导线连接后，两球带相等电量q，再由库仑定律得036.05.04202q．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②由电荷守恒定律知qqq221．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．③①式÷②式得2123qqq．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．④①式－②式得12221102qqq．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．⑤④式代入⑤式得12210q610Cq．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．⑥⑥式代入④式得1212310qq．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．⑦⑥式代入③式621102qq．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．⑧由⑧式得612102qq．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．⑨将⑨式代入⑦式得0103102121621qq210124102661q66110C310C或将1q代入⑨式得662110C310Cq或1—6电子电荷的大小（即基本电量e）最先是由密立根通过著名的油滴试验测出的，密立根设计的试验装置如图1—3所示，被喷雾器喷入空气中的微小油滴，由于与空气摩擦而带电，设一很小的带负电的油滴通过小孔进入由两带电平行板产生的电场E内，调节E，当作用在油滴上的向上电场力和空气的浮力等于该油滴受到的重力时，它在电场中就会悬住不动，而这油滴的半径r则可在无电场存在时，通过测量油滴在空气中下落的收尾速度0，并根据斯托克斯公式求得，即gvr290（式中为空气的粘度，和分别是空气和油滴的密度）.如果油滴的半径41.6410cmr，“平衡”时，51.9210NCE。试求油滴上的电荷（设30.851g/cm，约为0.00129g/cm3）图1—3解：设油滴上的电荷为q，当油滴平衡时，根据平衡条件有'qEVgVg3''4()()3rgVgqEE318351943.141.64109.8(0.8510.00129)1031.92108.0210C1—7两个电量为q的同号点电荷A、B，固定在相距为r的两点上，今将点电荷B释放，当两者相距为2r时，测得点电荷B的速度为，试求运动电荷B的质量m。（设电量q以C为单位，距离r以m为单位，速度以ms为单位。）解：B受到的库仑力为2024rqF在库仑力作用下B将作加速运动，根据牛顿第二定律有dtdmdtrdmrq222024．．．．．．．．．．．．．．．．①dtdr．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②将②式代入①式得dmrdrq2024222004rvrqdrmdr220111422qmrr所以220kg4qmr1—8如图1—4所示是一种电四极子，它由两个电偶极矩qlp的电偶极子组成，这两偶极子在一直线上，但方向相反，它们的负电荷重合在一起，试证明：在它们的延长线上离中心（即负电荷）为r处的场强为4043rQElr式中22qlQ称为电四极子的电四极矩图1—4证明：由点电荷公式得2220001121444qqqrrlrlEeee22201124qrrlrle22222202224qrlrrleerlrlrrqˆ114222222220式中e为单位矢，方向由电荷指向A点.当lr时，根据21112!xxx上式方括号内可化为111111112222222222222222rlrlrlrlrlrlr1222112222222rlrlrl12112222rlrl12314422rlrl223rl于是得222400213ˆ344qlQerrrEe其中22qlQ称为电四极子的电四极矩1—9一细玻璃棒被弯成半径为R的半圆环，半根玻璃棒均匀带正电，另半根均匀带负电，电量都是q，如图1—5（a）所示.试求半圆中心O点的电场强度.解：设半圆环的电荷线密度为2qR，在半圆环上取一电荷元dqRd，如图1—6（b）所示。正负电荷元在半圆中心O点的电场强度都是2200144dqRddERR但二者方向不同，如图所示。根据对称性知，O点的总电场强度只有y轴分量，并沿y轴负向，总场强大小为2222000002coscos22qEdEdRRR其矢量式为220qREj图1—5（a）图1—5（b）1—10求均匀带电的细棒在（1）通过自身端点并垂直于棒的平面上、（2）自身的延长线上的场强分布，设棒长为2L，电量为q.解：（1）在棒上取元电荷dqdx，如图1—6（a）所示，该元电荷在y轴上任一点的场强为22014rdxdxyEe将dE在x轴和y轴方向分解得232204sinyxxdxdEdEx232204cosyxydxdEdEy图1—6（a）LLxyxyxxdxE202202023220144212204114yLy122201184qLyLy由积分公式11222222212321nnndxxxnnaaxaxax得2222220002444LyyxLEyxyyLy1222044qyLy（2）如图1—6（b）所示，元电荷在x轴上任一点的场强为202084xrlqdxxrdqdE所以208LLqdxElrx0011188LLqqlrxlrLrL2204()qrL图1—6（b）1—11电量为q的点电荷位于一带电细棒的延长线上。棒长为l，电荷线密度lx210，0为一常数，q与棒相近的一端之间的距离为a，如图1—7所示.试求此点电荷所受的作用力.图1—7解：（1）求带电细棒在点电荷处激发的场强。在细棒上取一元电荷dqdx，由点电荷场强公式得2002141xaldxlxdE20024xaldxxll所以022004llaxdxaxdxEllaxlax0222004ldlaxadxxdxllaxlaxlaxalaaalalaaaaallln1ln4000022ln4llalalaala（2）求点电荷所受的作用力，根据公式qFE得0022ln4allqlalaaalFi1—12半径为R的细圆环，由两个分别带有等量异号电荷的半圆环所组成