概率论教案

2概率论的概述一、概率论起源1、首次应用：意大利的一位贵族问伽利略:掷三粒骰子，出现9点与出现10点各有六种不同的组合,但经验上发现出现10点的次数多于9点,是何缘故?2、“点”问题：1653年梅耳问帕斯卡:他与赌友赌掷骰子每人押32个金币,约定五战三胜,在梅耳2:1领先时,梅耳接到通知要陪同国王接见外宾,赌局就此终止,梅耳应分得这64个金币的多少呢?3、梅尔猜想掷一粒骰子四次至少出现一个6的机会要比掷两粒骰子四次至少出现一对6的机会更大些，这是否成立？二、概率论的发展1、雅各.伯努利：《猜度术》、排列组合2、拉普拉斯：《分析概率论》、分析方法3、科尔莫戈洛夫：1933年建立公理化体系4、中国的概率研究现状：1）候振廷：1978年获英国戴维逊奖2）王梓坤：预报地震24次有17次准确或较准确三、概率论的应用1、管理、经济、技术、工程、物理、化学、生物、地理、天文、环境、卫生、教育、语言、国防等。2、凡有数据的门类都用到概率统计四、学习要求与参考书目1、学习要求：31）排列组合知识求导2）微积分知识:积分(二重积分)反常积分等。2、参考书目：1）周誓达《概率论与数理统计》(经管类)2）魏宗舒《概率论与数理统计教程》3）茆诗松《概率论与数理统计教程》4）浙大—盛骤《概率论与数理统计教程》5）同济大学，概率统计复习和解题指导前言1、概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。理论严谨，应用广泛，发展迅速，在理论联系实际方面，概率是最活跃的学科之一。2、“概率与数理统计”又是两个联系紧密而有区别的概念。概率论是数理统计学的基础，数理统计学是概率论的一种应用。3、概率论——从数学模型进行理论推导，从同类现象中找出规律性。4、数理统计——着重于数据处理，在概率论理论的基础上对实践中采集得的信息与数据进行概率特征的推断。5、本课程的教学目的是使大家初步掌握研究随机现象的数学基本思想和方法，从而具有一定的分析及解决问题的能力。6、通过本课程的学习，首先使大家对该学科体系有一个全面的认识，为进一步学习其它专业知识奠定学科基础，并使大家具有较完备、合理的知识结4构和实践能力,学会理论分析，使他们能够初步分析社会、经济现象的具体事例，并能给出分析结果和合理化建议。主要内容：•1、概率论的基本概念〔随机事件、样本空间〕。•2、随机事件的关系及运算。•3、随机事件的概率及其性质、计算和应用。•4、随机变量及多维随机变量的分布和性质。•5、随机变量的数字特征。•6、大数定律与中心极限定理等概率论基础知识。•7、数理统计的基本概念〔样本及其抽样分布〕。•8、参数估计和假设检验等数理统计基础知识。第一章随机事件第一节样本空间和随机事件一、随机试验和样本空间人们在生产实践和科学实验中,发现对自然界和社会所观察到的现象大体分为类：一类是事前可以预料的,即在一定条件下必然发生或必然不发生的现象,称之为必然现象或确定性现象；另一类是事前不可预料的,即在相同条件下重复进行观察或试验时,有时出现有时不出现的现象,称之为偶然现象或随机现象。关于随机现象的说明：随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现在大量重复试验或观察中呈现出的固有规律性，称为随机现象的统计规律性。概率论正是研究随机现象统计规律性的一门学科。5对自然现象的观察或进行一次试验，统称为一个试验。用大写英文字母E表示。例如：掷硬币试验：掷一枚硬币，观察出现正面还是反面.掷骰子试验：掷一颗骰子，观察出现的点数寿命试验：测试在同一工艺条件下生产出的灯泡的寿命。上面这些例子,尽管内容各异,但它们有着共同的特点。我们有以下的定义。随机试验：如果试验可以在相同条件下重复进行；试验所有发生的结果是不止一个且是已知的；但每次试验的结果事前是不能确定的，这样的试验称为随机试验。我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e或ω.全体样本点的集合称为样本空间。样本空间用S或Ω表示。二、随机事件在一次试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，简称事件。[A,B,C……]不可能事件——在一次试验中不可能发生的事件，常用Φ表示。必然事件——在试验中必定发生的事件，常用S或Ω表示;例如，“掷出点数小于7”是必然事件；而“掷出点数8”则是不可能事件。第二节事件的关系与运算为了研究事件的需要，下面介绍事件间的几种主要关系以及事件的运算。1、事件之间的关系(1)包含关系：则称A为B的子事件。(2)相等关系：AB若发生发生，.AB记作：,,,iABCA设为样本空间，为事件，ABABBA且BABA6(3)互斥关系(互不相容)：事件A与事件B不能同时发生，则称A与B为互斥事件或互不相容事件。即A∩B＝Φ2、事件的运算(1)和事件(事件的并)(2)积事件(事件的交)(3)事件的差(4)对立事件(互逆事件)若事件A与事件B满足条件则称事件A与事件B为对立事件。注意：“对立”与“互斥”是不同的概念①对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立。②在一次试验中，互斥的两事件有可能都不发生，但对立事件必有一个发生。补充说明：由于事件是用集合表示的，所以事件的关系与运算与集合的运算完全相同。例1设A，B，C是三个事件，则(1)“A发生而B，C都不发生”可表示为：,,.ABABABABAB发生或发生，即至少有一个发生，称为的和事件（并）.记作：或,,ABABABAB同时发生，称为的积事件(交),记作：或,ABABAB发生，但不发生，称为的差事件.记作：,ABAB且BA记作：ABABBABAABABSABSABABAB7(2)“A与B发生而C不发生”可表示为：(3)“A，B，C三个事件至少发生两个”可表示为：作业：1231232.3,,,,.(1)1(2)1(3)2(4)3AAAAAA例向一目标射击枪,分别用表示第1,2,3枪命中目标,试用表示下列各事件只有第枪命中；至少有枪命中；至少有枪命中;枪都没有命中.5646P习题一、8第二章事件的概率第一节概率的概念一、概率的含义对于事件发生的的可能性大小，需要用一个数量指标去刻画它，这个指标应该是随机事件本身所具有的属性，不能带有主观性，且能在大量重复实验中得到验证，必须符合常情。我们把刻画事件发生的可能性大小的数量指标叫做事件的概率。二、概率的统计定义在一般情况下，对一个随机试验，如何度量随机事件发生的可能性的大小呢？为了回答这个问题，我们先引进频率的概念。设随机事件A在n次试验中发生了r次，则称比值r/n为这n次试验中事件A发生的频率，即在了解了定义之后，我们从试验入手，揭示随机事件一个极其重要的特征：如抛硬币的试验：历史上抛硬币试验的若干结果频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小。尽管每进行一连串（n次）实验者抛硬币次数出现正面次数频率德莫根蒲丰费勒皮尔逊皮尔逊204810610.5181404020480.50691000049790.49791200060190.501624000120120.5005()nrfAn9试验，所得到的频率可以各不相同，但只要n相当大，频率与概率是会非常接近的。因此，概率是可以通过频率来“测量”的,频率是概率的一个近似。频率稳定性：指的是：当各轮试验次数n1,n2,…,ns充分大时，在各轮试验中事件A出现的频率之间、或者它们与某个常数相差甚微。即是说，在试验次数足够大的条件下，各频率都能够与某个常数比较接近。这种稳定性为用统计方法求概率的数值开拓了道路。在实际中，当概率不易求出时，人们常取实验次数很大时事件的频率作为概率的估计值。并称此概率为：统计概率。这种确定概率的方法称为频率方法。概率的统计定义：在相同条件下重复进行的n次试验中,事件A发生的频率稳定地在某一常数p附近摆动,且随n越大摆动幅度越小,则称p为事件A的概率,记作P(A)对本定义的评价：优点——直观、易懂；缺点——粗糙、模糊、不便使用注：1、给出了概率的近似求法。2、实际中被大量应用，且有时是必须的。三、概率的性质第二节古典概型古典概型是一类比较简单,直观的随机试验,有以下两个明显特征:（1）试验所有可能的结果个数有限,即基本事件个数有限，分别记为样本空间可表示为12121210()1(1)2()1(2)3,,()()()(3)PAPAAPAAPAPA、非负性：、正则性：、可列可加性:若两两互不相容，则有12,,,,n123,,,,n；10（2）各个试验结果在每次实验中发生的可能性是相同的.下列随机试验是否为古典概型？1.将一只红球和一只白球随机放入4个不同的盒子中。2.某个射手一次射击命中的环数。3.一昼夜120接到的呼叫次数。定义：设试验E是古典概型,其样本空间Ω由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成。则定义事件A的概率为：称此概率为古典概率；这种确定概率的方法称为古典方法。即把求概率问题转化为计数〔统计频数〕。注意：排列组合是计算古典概率的重要工具。例1一批产品由90件正品和10件次品组成，从中任取一件，问取得正品的概率多大？解：设“取得一件产品是正品”这一事件为A，则因为每一件产品都有可能被抽出来，总的抽取方法有（90+10）种，而取得正品的取法有90种，按古典概率的定义，所求概率为注意：1.一定要学会用字母表示事件。2.满足古典概型的两个特征例2一批产品由95件正品和5件次品组成，连续从中抽取两件，第一次取出后不再放回，问第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率多大？例3在例2中，若仍是不放回抽取两件产品，计算“抽得一件为正品，一件为次品”，的概率。摸奖的公平性：在一个彩票箱中有7张有奖彩票和93张无奖彩票，现有两种摸奖12,,,n()kAPAn包含的样本点数包含的样本点总数90()0.99010PA11方式：（放回抽样）(1)每个人摸出彩票后，看中奖与否，再放回票箱搅匀。（不放回抽样）(2)每个人摸出彩票后不放回票箱，后面的人从剩下的彩票中随机摸取。问：第k个人中奖的概率？(k=1,2,…,100)第1人第2人第3人…第k-1人第k人k999897…99-k+2中奖7n1009998…100-k+2100-k+1例4〔盒子模型〕把m个球随机放入N(mN)个盒子中，求：①指定的m个盒子各有一个球的概率；②恰有m个盒子各有一个球的概率。例5〔生日问题〕n(n365)个人的生日各不相同的概率是多少？至少有两个人生日相同的概率是多少？小概率事件：若P(A)0.01,则称A为小概率事件.小概率原理（即实际推断原理）——一次试验中小概率事件一般是不会发生的。若在一次试验中居然发生了，则可怀疑该事件并非小概率事件。例6区长办公室某一周内曾接待过9次来访,这些来访都是周三或周日进行的，是否可以断定接待时间是有规定的？作业：第三节几何概型早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的。在古典概型中,把试验个数有限改为无限，等可能性不变。人们引入了几何概型。由此形成了确定概率的另一方法——几何方法151625P、12几何概型：设A是平面区域Ω中任一小区域,向区域Ω上随机投掷一点,则该点落入区域A内的概率是：注：1.P(A)只与A的面积成比例,而与A的形状和位置无关。2.几何概型也适用于线段或空间区域，即：3.与古典概型一样，样本点必须具有等可能性.例1〔候车问题〕某公共汽车站每隔5分钟来一班车,乘客到达车站的时刻是任意的，求该乘客候车时间不超过3分钟的概率。例某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率.例2〔会面问题〕甲、乙两个相约在0到T这段时间内在预定地点会面，先到的人等候另一个，经过时间t离去。设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的，且两人到达的时刻互不影响。试求甲、乙两人能会面的概率？例两船欲停同一码头,两船在一昼夜内独立随机地到达码头。若两船到达后需在码头停留的时间分别是1小时与2小时，试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率。用几何概型可以回答