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·1·习题一1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数.A=‘出现奇数点’；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数.A=‘两次点数之和为10’，B=‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A=‘球的最小号码为1’；（4）将,ab两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A=‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A=‘通过汽车不足5台’，B=‘通过的汽车不少于3台’。解（1）123456{,,,,,}Seeeeee=其中ie=‘出现i点’1,2,,6i=L，135{,,}Aeee=。（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S=(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}；{(4,6),(5,5),(6,4)}A=；{(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B=。（3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S=(2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A=（4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),Sabababababba=−−−−−−−−−(,,),(,,,),(,,)}baabba−−−，其中‘−’表示空盒；{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}Aabababbaba=−−−−−−。（5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}SAB===LL。2．设,,ABC是随机试验E的三个事件，试用,,ABC表示下列事件：（1）仅A发生；（2）,,ABC中至少有两个发生；·2·（3）,,ABC中不多于两个发生；（4）,,ABC中恰有两个发生；（5）,,ABC中至多有一个发生。解（1）ABC（2）ABACBCUU或ABCABCABCABCUUU；（3）ABCUU或ABCABCABCABCABCABCABCUUUUUU；（4）ABCABCABCUU；（5）ABACBCUU或ABCABCABCABCUUU；3．一个工人生产了三件产品，以(1,2,3)iAi=表示第i件产品是正品，试用iA表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。解（1）123AAA；（2）123AAAUU；（3）123123123AAAAAAAAAUU；（4）121323AAAAAAUU。4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。解设A=‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则4104126()0.50410250PPA===5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求（1）5只全是好的的概率；（2）5只中有两只坏的的概率。解（1）设A=‘5只全是好的’，则537540()0.662CPAC=；（2）设B=‘5只中有两只坏的’，则23337540()0.0354CCPBC=.6．袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，求（1）3个球的最小号码为5的概率；（2）3个球的最大号码为5的概率.解（1）设A=‘最小号码为5’，则253101()12CPAC==；·3·（2）设B=‘最大号码为5’，则243101()20CPBC==.7．（1）教室里有r个学生，求他们的生日都不相同的概率；（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.解（1）设A=‘他们的生日都不相同’，则365()365rrPPA=；（2）设B=‘至少有两个人的生日在同一个月’，则212223214121141241212441()1296CCPCCCPCPB+++==；或412441()1()11296PPBPB=−=−=.8．设一个人的生日在星期几是等可能的，求6个人的生日都集中在一个星期中的某两天，但不是都在同一天的概率.解设A=‘生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天’，则2676(22)()0.011077CPA−==.9．将,,,,,,CCEEINS等7个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率是多少？解1设A=‘恰好排成SCIENCE’将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法：字母C在7个位置中占两个位置，共有27C种占法，字母E在余下的5个位置中占两个位置，共有25C种占法，字母,,INC剩下的3个位置上全排列的方法共3！种，故基本事件总数为22753!1260CC⋅⋅=，而A中的基本事件只有一个，故227511()3!1260PACC==⋅⋅；解2七个字母中有两个E，两个C，把七个字母排成一排，称为不尽相异元素的全排列。一般地，设有n个元素，其中第一种元素有1n个，第二种元素有2n个…，第k种元素有kn个12()knnnn+++=L，将这n个元素排成一排·4·称为不尽相异元素的全排列。不同的排列总数为12!!!!knnnnL，对于本题有141()7!7!12602!2!PA===.10．从0,1,2,,9L等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：1A=‘三个数字中不含0和5’，2A=‘三个数字中不含0或5’，3A=‘三个数字中含0但不含5’.解3813107()15CPAC==.333998233310101014()15CCCPACCC=+−=，或182231014()1()115CPAPAC=−=−=，2833107()30CPAC==.11．将n双大小各不相同的鞋子随机地分成n堆，每堆两只，求事件A=‘每堆各成一双’的概率.解n双鞋子随机地分成n堆属分组问题，不同的分法共(2)!(2)!2!2!2!(2!)nnn=L‘每堆各成一双’共有!n种情况，故2!()(2)!nnPAn⋅=12．设事件A与B互不相容，()0.4,()0.3PAPB==，求()PAB与()PABU解()1()1()()0.3PABPABPAPB=−=−−=U因为,AB不相容，所以AB⊃，于是()()0.6PABPA==U13．若()()PABPAB=且()PAP=，求()PB.解()1()1()()()PABPABPAPBPAB=−=−−+U·5·由()()PABPAB=得()1()1PBPAp=−=−14．设事件,AB及ABU的概率分别为,,pqr，求()PAB及()PABU解()()()()PABPAPBPABpqr=+−=+−U()()()()()1()()()PABPAPBPABPAPBPAPAB=+−=+−−+U11qpqrpr=−++−=+−.15．设()()0.7PAPB+=，且,AB仅发生一个的概率为0.5，求,AB都发生的概率。解1由题意有0.5()()()PABABPABPAB=+=+()()()()PAPABPBPAB=−+−0.72()PAB=−，所以()0.1PAB=.解2,AB仅发生一个可表示为ABAB−U，故0.5()()()()2(),PABPABPAPBPAB=−=+−U所以()0.1PAB=.16．设()0.7,()0.3,()0.2PAPABPBA=−=−=，求()PAB与()PAB.解0.3()()()0.7()PABPAPABPAB=−=−=−，所以()0.4PAB=，故()0.6PAB=；0.2()()()0.4PBPABPB=−=−.所以()0.6PB=()1()1()()()0.1PABPABPAPBPAB=−=−−+=U17．设ABC⊂，试证明()()()1PAPBPC+−≤[证]因为ABC⊂，所以()()()()()()()1PCPABPAPBPABPAPB≥=+−≥+−U故·6·()()()1PAPBPC+−≤.证毕.18．对任意三事件,,ABC，试证()()()()PABPACPBCPA+−≤.[证]()()()()()()PABPACPBCPABPACPABC+−≤+−()PABAC=U{()}()PABCPA=≤U.证毕.19．设,,ABC是三个事件，且1()()(),()()04PAPBPCPABPBC=====，1()8PAC=，求,,ABC至少有一个发生的概率。解()()()()()()()()PABCPAPBPCPABPACPBCPABC=++−−−+UU因为0()()0PABCPAB≤≤=，所以()0PABC=，于是315()488PABC=−=UU20．随机地向半圆202yaxx−（a为正常数）内掷一点，点落在园内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x轴的夹角小于/4π的概率.解：半圆域如图设A=‘原点与该点连线与x轴夹角小于/4π’由几何概率的定义2221142()12aaAPAaππ+==的面积半园的面积112π=+21．把长为a的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.解1设A=‘三段可构成三角形’，又三段的长分别为,,xyaxy−−，则0,0,0xayaxya+，不等式构成平面域S.A发生0,0,222aaaxyxya⇔+不等式确定S的子域A，所以1()4APA==的面积S的面积解2设三段长分别为,,xyz，则0,0,0xayaza且xyza++=，不等式确定了三维空间上的有界平面域S.0ya/4πxS0a/2a/2aaA·7·A发生xyz⇔+xzy+yzx+不等式确定S的子域A，所以1()4APA==的面积S的面积.22．随机地取两个正数x和y，这两个数中的每一个都不超过1，试求x与y之和不超过1，积不小于0.09的概率.解01,01xy≤≤≤≤，不等式确定平面域S.A=‘1,0.09xyxy+≤≥’则A发生的充要条件为01,10.09xyxy≤+≤≥≥不等式确定了S的子域A，故0.90.10.9()(1)APAxdxx==−−∫的面积S的面积0.40.18ln30.2=−=23．（蒲丰投针问题）在平面上画出等距离(0)aa的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长()lla的针，求针与任一平行线相交的概率.解设A=‘针与某平行线相交’，针落在平面上的情况不外乎图中的几种，设x为针的中点到最近的一条平行线的距离。ϕ为针与平行线的夹角，则0,02axϕπ，不等式确定了平面上的一个区域S.A发生sin2Lxϕ⇔≤，不等式确定S的子域A故012()sin22LLPAdaaπϕϕππ==∫aaxzyA2aπϕx0ASsin2lxϕ=1y10.90.10ASy·8·习题二1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解设iA=‘任取一件是i等品’1,2,3i=，所求概率为13133()(|)()PAAPAAPA=，因为312AAA=+所以312()()()0.60.30.9PAPAPA=+=+=131()()0.6PAAPA==故1362(|)93PAA==.2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解设A=‘所取两件中有一件是不合格品’iB=‘所取两件中恰有i件不合格’1,2.i=则12ABB=+11246412221010()()()CCCPAPBPBCC=+=+，所求概率为2242112464()1(|)()5PBCPBAPACCC===+.3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一