离散数学部分概念和公式总结

命题：称能判断真假的陈述句为命题。命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。命题的赋值：设A为一命题公式，p,p,…,p为出现在A中的所有命题变项。给p,p,…,p指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。（2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。（3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A↔B是重言式，则称A与B是等值的，记作A=B。约束变元和自由变元：在合式公式xA和xA中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A↔B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A=B，称A=B为等值式。前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Qk…xkB，称A为前束范式。集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。特殊关系：（1）、空关系：Φ（2）全域关系：EA={x,y|x∈A∧y∈A}=A×A（3）恒等关系：IA={x,x|x∈A}（4）小于等于关系：LA={x,y|x,y∈A∧x≤y∈A},AR（5）整除关系：R={x,y|x，y∈ψ∧xy},ψ是集合族二元关系的运算：设R是二元关系，（1）R中所有有序对的第一元素构成的集合称为R的定义域domR={x|y（x,y∈R）}（2）R中所有有序对的第二元素构成的集合称为R的值域ranR={y|x（x,y∈R）}（3）R的定义域和值域的并集称为R的域fldR=domR∪ranR二元关系的性质：自反性，反自反性，对称性，反对称性，传递性。等价关系：如果集合A上的二元关系R是自反的，对称的和传递的，那么称R是等价关系。设R是A上的等价关系，x,y是A的任意元素，记作x～y。等价类：设R是A上的等价关系，对任意的x∈A，令[x]R={y|y∈A∧xRy}，称[x]R为x关于R的等价类。偏序关系：设R是集合A上的二元关系，如果R是自反的，反对称的和传递的，那么称R为A上的偏序，记作≤；称序偶A,R为偏序集合。函数的性质：设f:AB，（1）若ranf=B，则称f是满射（到上）的。（2）若yranf都存在唯一的xA使得f(x)=y,则称f是单射（——）的。（3）若f既是满射又是单射的，则称f是双射（——到上）的。无向图：是一个有序的二元组V,E，记作G，其中：(1)VФ称为顶点集，其元素称为顶点或结点。(2)E为边集，它是无序积V&V的多重子集，其元素称为无向边，简称边。有向图：是一个有序的二元组V,E,记作D,其中(1)V同无向图。(2)E为边集，它是笛卡尔积VV的多重子集，其元素称为有向边。设G=V,E是一个无向图或有向图。有限图：若V,E是有限集，则称G为有限图。n阶图：若|V|=n，称G为n阶图。零图：若|E|=0，称G为零图,当|V|=1时，称G为平凡图。基图：将有向图变为无向图得到的新图，称为有向图的基图。图的同构：在用图形表示图时，由于顶点的位置不同，边的形状不同，同一个事物之间的关系可以用不同的图表示，这样的图称为图同构。带权图：在处理有关图的实际问题时，往往有值的存在，一般这个值成为权值，带权值的图称为带权图或赋权图。连通图：若无向图是平凡图，或图中任意两个顶点都是连通的，则称G是连通图。否则称为非连通图。设D是一个有向图，如果D的基图是连通图，则称D是弱连通图，若D中任意两个顶点至少一个可达另一个，则称D是单向连通图。若D中任意两个顶点是相互可达的，则称D是强连通图。欧拉图：通过图中所有边一次且仅一次并且通过所有定点的通路（回路），称为欧拉通路（回路）。存在欧拉回路的图称为欧拉图。哈密顿图：经过图中每个顶点一次且仅一次的通路（回路），称为哈密顿通路（回路），存在哈密顿回路的图称为哈密顿图。平面图：一个图G如果能以这样的方式画在平面上：出定点处外没有变交叉出现，则称G为平面图。画出的没有边交叉出现的图称为G的一个平面嵌入。二部图：若无向图G=〈V,E〉的顶点集合V可以划分成两个子集V1和V2（V1∩V2=），使G中的任何一条边的两个端点分别属于V1和V2，则称G为二部图（偶图）。二部图可记为G=V1,V2,E,V1和V2称为互补顶点子集。树的定义：连通无回路的无向图称为无向树，简称树，常用T表示树。平凡图称为平凡树。若无向图G至少有两个连通分支，每个连通都是树，则称G为森林。在无向图中，悬挂顶点称为树叶，度数大于或等于2的顶点称为分支点。树的性质：性质1、设G=V,E是n阶m条边的无向图，则下面各命题是等价的：（1）G是树（2）G中任意两个顶点之间存在唯一的路径（3）G中无回路且m=n-1.（4）G是连通的且m=n-1.（5）G是连通的且G中任何边均为桥。（6）G中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的一个含新边的圈。性质2、设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。证：设T有x片树叶，由握手定理及性质1可知，2(n-1)=∑d(vi)≥x+2(n-x)由上式解出x≥2.最小生成树：设T是无向图G的子图并且为树，则称T为G的树。若T是G的树且为生成子图，则称T是G的生成树。设T是G的生成树。e∈E(G)，若e∈E(T)，则称e为T的树枝，否则称e为T的弦。并称导出子图G[E(G)-E(T)]为T的余树，记作T。最优二元树：设2叉树T有t片树叶v1,v2,…,vt，权分别为w1,w2,…,wt，称W(t)=wil(vi)为T的权，其中l(vi)是vi的层数。在所有有t片树叶，带权w1,w2,…,wt的2叉树中，权最小的2叉树称为最优2叉树。最佳前缀码：利用Huffman算法求最优2叉树，由最优2叉树产生的前缀码称为最佳前缀码，用最佳前缀码传输对应的各符号能使传输的二进制数位最省。集合恒等式：P61幂等律：A∪A=A；A∩A=A结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)；(A∩B)∩C=A∩(B∩C)交换律：A∪B=B∪A；A∩B=B∩A分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)；A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)同一律：A∪=A；A∩E=A零律：A∪E=A；A∩=排中律：A∪~A=E矛盾律：A∩~A=吸收律：A∩(A∪B)=A；A∪(A∩B)=A德摩根定律：A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)；A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)~(B∪C)=~B∩~C；~(B∩C)=~B∪~C；~=E；~E=双重否定律：~（~A)=A二元关系的运算：设F,G,H是任意的关系，（1）（F-¹)-¹=F（2）dom(F-¹)=ranF；ran(F-¹)=domF（3）（F◦G)◦H=F◦(G◦H)（4）（F◦G)-¹=G-¹◦F-¹设R是A上的关系（幂运算）（1）Rº={x，x|x∈A}（2）R^n=R^(n-1)◦R，n≥1（3）R◦Rº=Rº◦R=R图的矩阵表示：（1）无向图的关联矩阵：设无向图G=V,E,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em}，令mij为顶点vi与边的关联次数，则称（mij）nm为G的关联矩阵。记为M(G)。（2）有向图的关联矩阵：设无向图D=V,E,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em}，1,vi是ej的始点mij=0,vi与ej不关联-1，vi是ej的终点则称（mij）nm为D的关联矩阵。记为M(D)。