离散考试题库

离散试卷及答案第1页共91页一、单项选择题1．设图G的邻接矩阵为0101010010000011100000100，则G的边数为(D)．A．5B．6C．3D．42．设图G＝V,E，则下列结论成立的是(C)．A．deg(V)=2EB．deg(V)=EC．EvVv2)deg(D．EvVv)deg(3．设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如下图所示，则下列结论成立的是(A)．A．（a）是强连通的B．（b）是强连通的C．（c）是强连通的D．（d）是强连通的4．给定无向图G如右图所示，下面给出的结点集子集中，不是点割集的为（B）．A．{b,d}B．{d}C．{a,c}D．{b,e}5．图G如右图所示，以下说法正确的是(C)．A．{(a,c)}是割边B．{(a,c)}是边割集C．{(b,c)}是边割集D．{(a,c),(b,c)}是边割集6．无向图G存在欧拉通路，当且仅当(D)．A．G中所有结点的度数全为偶数B．G中至多有两个奇数度结点C．G连通且所有结点的度数全为偶数D．G连通且至多有两个奇数度结点7．若G是一个欧拉图，则G一定是(C)．A．平面图B．汉密尔顿图C．连通图D．对偶图8．设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r=(A)．A．e－v＋2B．v＋e－2C．e－v－2D．e＋v＋29．设G是有n个结点，m条边的连通图，必须删去G的(A)条边，才能确定G的一棵生成树．A．1mnB．mnC．1mnD．1nmabdce4题图abcde5题图离散试卷及答案第2页共91页10．已知一棵无向树T中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T的树叶数为（B）．A．8B．5C．4D．3二、填空题1．已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是15．2．设给定图G(如右由图所示)，则图G的点割集是{f,c}．3．设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则G的结点度数等于边数的两倍．4．设有向图D为欧拉图，则图D中每个结点的入度等于出度．5．设G=V，E是具有n个结点的简单图，若在G中每一对结点度数之和大于等于n-1，则在G中存在一条汉密尔顿路．6．设无向图G＝V，E是汉密尔顿图，则V的任意非空子集V1，都有W(G-V1)V1．7．设完全图Kn有n个结点(n2)，m条边，当当m=2n时，Kn中存在欧拉回路．8．设图GV,E，其中Vn，Em．则图G是树当且仅当G是连通的，且mn-1．9．连通无向图G有6个顶点9条边，从G中删去4条边才有可能得到G的一棵生成树T．10．设正则5叉树的树叶数为17，则分支数为i=4．三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．(1)如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路．．(2)图G1，(如下图所示)是欧拉图．解：(1)错，图G是无向图，当且仅当G是连通的，且所有结点度数均为偶数，这里不能确定G图是否是连通的。(2)对，由欧拉图的定理“无向图G具有一条欧拉路，当且仅当G是连通的，且有零个或两个奇数度结点”得到，这里可找到如下一条欧拉回路v4v5v2v6v4v1v2v3v4。离散试卷及答案第3页共91页2．图G2（如下图所示）不是欧拉图而是汉密尔顿图．解：对，由欧拉图的定理“无向图G具有一条欧拉路，当且仅当G是连通的，且有零个或两个奇数度结点”，这里结点a,b,d,f的度数都为奇数；它是汉密尔顿图，因为找到了如下一条汉密尔顿回路abefgdca。3．(1)设G是一个有7个结点16条边的连通图，则G为平面图．(2)设G是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G有7个面．解：(1)错，没有提到面。(2)对，由欧拉定理得到：结点-边+面=2，即为连通平面图，这里6-11+7=24．下图给出的树是否同构的．解：(a)不与(b)、(c)同构，但(b)、(c)同构。因为由图的同构相关联，得到同构的必要条件：(1)结点数目相同；(2)边数相同；(3)度数相同的结点数目相同。四、计算题1．设G=V，E，V={v1，v2，v3，v4，v5}，E={(v1,v3)，(v2,v3)，(v2,v4)，(v3,v4)，(v3,v5)，(v4,v5)}，试(1)给出G的图形表示；(2)写出其邻接矩阵；(3)求出每个结点的度数；(4)画出其补图的图形．解：(1)G的图形如下离散试卷及答案第4页共91页(2)G=0110010110110110110000100(3)v1度数为1，v2度数为2，v3度数为4，v4度数为3，v5度数为2(4)其补图的图形如下2．图G=V,E，其中V={a,b,c,d,e,f}，E={(a,b),(a,c),(a,e),(b,d),(b,e),(c,e),(d,e),(d,f),(e,f)}，对应边的权值依次为5，2，1，2，6，1，9，3及8．(1)画出G的图形；(2)写出G的邻接矩阵；(3)求出G权最小的生成树及其权值．解：(1)G的图形如下(2)G=011000101111110010010001011001010110(3)最小生成树是{(a,e),(e,c),(b,d),(d,f),(a,b)}权值为1+1+2+3+5=12离散试卷及答案第5页共91页3．已知带权图G如右图所示．(1)求图G的最小生成树；(2)计算该生成树的权值．解：(1)最小生成树为{1,3,2,7,5}(2)权值为1+2+3+5+7=184．设有一组权为2,3,5,7,17,31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权．解：(1)相应的最优二叉树图如下(2)由图得到最优二叉树的权为：65五、证明题1．设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于3的奇数．证明图G与它的补图G中的奇数度顶点个数相等．离散试卷及答案第6页共91页证明：由于n是大于等于3的奇数，令n=2m+1，则完全图Kn每个结点的度数都是偶数2m，G是一个n阶无向简单图，G是G相对于完全图Kn的一个补图，若G中某个结点的度数为奇数2s+1，则它的补图G中该结点的度数为2m-(2s+1)=2(m-s-1)+1，也为奇数，所以图G有多少个度数为奇数的结点，则它的补图G中也有相同个的度数为奇数的结点。即图G与它的补图G中的奇数度顶点个数相等。2．设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加2k条边才能使其成为欧拉图．证明：由于是连通图并且有k个奇数度的结点，根据定理“一个无向图具有一条欧拉回路，当且仅当该图是连通的，并且它的结点度数都是偶数。”，就必须对图G中k个奇数度的结点添加1个度数使它成为偶数度数，一共添加了k个度数，每两个度数成为一条边，k个度数变成了2k条边。所以在图G中至少要添加2k条边才能使其成为欧拉图。一、选择题（4个备选中只有1个正确，填入括号内。）1、下面命题为真的一个是[C]A．Ø∈Ø；B．Ø∈{{Ø}，a}；C．Ø{{Ø}}；D．ØØ2、令p：经一堑；q：长一智。命题’’只有经一堑，才能长一智’’符号化为[B]A．p→q；B．q→p；C．p∧q；D．﹁q→﹁p3、设集合S={N，Z，Q，R}，下面命题为真的是[A]A．NQ，QR，则NR；B.-1Z，ZS，则-1S；C．NQ，QR，则NS；D．1N，NS，则1S。4、集合P={0，1，3，5，7，……}，其正确的谓词表达是[C]A．P={x︱x=2n+1且n∈N}+0；B.P=N－{x︱x=2n且n∈N}；C．P={x︱x=0或x=2n+1且n∈N}；D．P=Z+5、10阶无向简单图G中有4个奇数度顶点，其补图中必有r个奇数度顶点[C]A．r=4；B．r=5；C．r=6；D．r=76、S={a,b,c},S上的等价关系至多有[C]A.3;B.4;C.5;D.6离散试卷及答案第7页共91页二、判断下列各题的是非1、自然数N={1，2，3，．．．．．}+{0}。[非]2、每条边都是桥的无向连通图必是树。[是]3、自然数N与其上的普通加法+构成的代数系统〈N，+〉是群[非]4、命题公式A=﹁（p→q）∧q的主析取范式为A〈=〉∑（0）。[非]5、边数m等于n-1的n阶无向图都是树。[非]6、G（n，m）图的每一棵生成树都有n-1条树枝。[是]7、非平凡无向树T至少两片树叶。[是]8、设个体域是自然数集合，p代表xy彐zF（x－y=z），则p是真命题。[非]三、填空题1、令F（x）：x是兔子；G（y）：y是乌龟；H（x，y）：x比y跑得快。将命题“并非所有兔子比某些乌龟跑得快”符号化为[彐x（F（x）∧﹃彐y（G（y）∧H（x，y）））]。2、设A={a，b}，B={1，2}，A到B的函数的数目4个，其中双射函数有几个2个。3、设函数f：{1，2}→{a}，则f是（满）射函数。4、10阶无向连通图G有m条边，T为G的一棵生成树，则G对应T的基本割集数目为（9）；基本回路数为（m-9）。5、设A={1，2，3，4，5，6，7}，A上的二元关系R={〈x，y〉︱（x-y）/3}，则自然映射g：A→A/R使g（3）={3，6}四、1.设S={1，2，3}，S上的关系R如下：R={〈x，y〉︱x能被y整除}，试完成下列要求:(1)给出R的所有元素。R={〈2，1〉〈3，1〉}∪IS。(2)给出ranR的表达式。ranR={1，2，3}(3)复合R。R有几个元素。5个。(4)指出R的性质。自反，反对称，传递。2、设A={-2，-1，0，1，2}，R={〈x，y〉︱︱x︱=︱y︱}是A上的关系，试求：（1）R的表达式。={〈-2，2〉，〈-1，1〉，〈2，-2〉，〈1，-1〉}∪IA离散试卷及答案第8页共91页（2）R的性质。自反，对称，传递.五、1.设Z为整数集合，在Z上定义二元运算。，对于所有x，y∈Z都有x。y=x+y试问〈Z，。〉能否构成群，为什麽？答：二元运算满足结合律，半群；有幺元0，独异点；每个元素都有逆，群。2、设N为自然数集合，在N上定义二元运算。，对于所有x，y∈N都有x。y=x+y试问〈N，。〉能否构成群，为什麽？答：二元运算满足结合律，半群；有幺元0，是独异点；无逆，非群。六、8个字母在通讯中出现的频率分别是A=30%；B=20%；C=15%；D=11%；E=9%；F=6%；G=5%；H=4%；以此百分数为权重，求：。100（1）最优二元树T：60。30．。30。4015．。C20。。209．。FE。。DH．。G（2）T的权W（T）=274。（3）每个字母的编码：A（01），B（11），C（001），D（101），E（100），F（0001），G（00001），H（00000）。七、证明题用附加前提法证明下面的推理：说明如下:前提：P，q∨﹁r，q→（p→s）。结论：r→s.结论中的前提r移过来,与前提2推理正确。构成公式3,从而得到q,q与前提3构成公式3,从而得到（p→s）,（p→s）再与前提1构成公式3,S.证毕.扣题说:推理正确.离散数学考试试题（A卷及答案）一、（10分）判断下列公式的类型（永真式、永假式、可满足式）？1)((PQ)∧Q)((Q∨R)∧Q)2)((QP)∨P)∧(P∨R)离散试卷及答案第9页共91页3)((P∨Q)R)((P∧Q)∨R)解：1)永真式；2）永假式；3)可满足式。二、（8分）个体域为{1，2}，求xy（x+y=4）的真值。解：xy（x+y=4）x（（x+1=4）∨（x+2=4））（（1+1=4）∨（1+2=4））∧（（2+1=4）∨（2+1=4））（0∨0）∧（0∨1）1∧10三、（8分）已知集合A和B且|A|=n，|B|=m，求A到B的二元关系数是多少？A到B的函数数是多少？解：因为|P(A×B)|=2|A×B|=2|A||B|=2mn，所以A到B的二元关系有2mn个。因为|BA|=|B||A|=