中国科学院研究生院量子力学复习计划09

09海文考研量子力学复习计划StingChu(ITP-CAS)海文考研辅导班09年量子力学复习计划09年海文考研量子力学复习计划StingChu第2页共24页(ITP-CAS)Chapter1初试复习计划§1.0初试复习概述初试复习阶段是大约从五月开始到一月研究生入学统一考试的这一阶段。由于通过初试是参加复试的必要条件，而且初试淘汰率远远高于复试，所以在整个考研过程中初试是起决定性作用的。初试的好坏不仅决定考生能否进入复试，而且在一定程度上影响考生的复试。沿用一个经验化的模式，我们把初试的复习工作分成三个阶段来进行。第一阶段是基础复习阶段：时间一般安排在2008年5月到8月底；第二阶段强化阶段：9月初到11月底；第三阶段冲刺阶段：11月底到考试之前。量子力学是二十世纪初发展出来的一门学科，它与狭义相对论和广义相对论一起构成了现代物理学的基础。量子力学的基本原理与狭义相对论相结合诞生了人类历史上最精确的一个理论——量子场论。量子场论是处理基本粒子相互作用的理论是量子化的和洛伦兹不变的（也就是相对论化的）,反映了人类目前对自然界物质组成方式的最根本观点(暂且不考虑人类在可预见的历史内几乎无法用实验验证的超弦理论)。现代物理实验证实量子场论至少在1610cm−量级都是有效的。大学本科所学习的量子力学课其实是基于薛定谔方程的非相对论性量子力学，薛定谔方程里的粒子质量是一个不变的量，这一点暴露了它的非相对论性。在本科阶段的物理学课程里量子力学可以说是最难学的。原因很简单：第一，量子力学给出的在微观领域才能被明显观察的现象是与日常生活的直观经验严重违背的；第二，这门课内容多，对数学要求高。正是由于量子力学的“难”和前述的它的重要性，很多物理学相关的专业在研究生入学考试的中都把量子力学作为专业课之一。具不完全统计，在中科院系统中，专业课包含量子力学的研究所有：理论物理研究所，物理研究所，高能物理研究所，半导体研究所，武汉数学物理研究所，兰州近代物理研究所，上海应用物理研究所，长春光机所，上海光机所等等。中国科学院系统内的研究所量子力学专业课是统一由中国科学院研究生院出题。由于量子力学课程的理论性比较重，研究生入学考试量子力学的题型为单一的计算题，这是沿用多年的传统。全卷共150分，分5道题每题30分。严格来讲，对量子力学理论本身的深入理解和实际运用是对物理专业研究生的要求，所以考察一个本科生的量子力学，一般会以考察对量子力学的基本概念和量子力学的基本计算技巧为主。我们的辅导课程将紧紧围绕中国科学院研究生院官方公布的考试大纲来展开。这个大纲考生可以在科院研究生院的网站上下载，具体网址如下：课程量子力学下面我们列出大纲中对学生的主要要求：（一）了解经典物理学的困难和量子力学诞生的实验基础与理论背景。理解量子化、波粒二象性和量子力学的几率性质。（二）熟悉波函数和薛定谔方程，其中包括：波函数的统计解释，态叠加原理，薛定谔方程的引进及其基本性质，粒子流密度和粒子数守恒，定态和非定态解，一维方势阱的束缚态解，线性谐振子，势垒贯穿。（三）熟练掌握量子力学中的力学量和算符的关系，其中包括：力学量用算符表示和算符的运算规则，动量算符和角动量算符，算符的对易关系，厄米算符的本征值与本证函数，两力学量同时有确定值的条件，不确定度关系，力学量平均值随09年海文考研量子力学复习计划StingChu第3页共24页(ITP-CAS)时间的变化，守恒量。（四）理解和基本掌握态和力学量的表象，其中包括：态的表象，算符的矩阵表示，量子力学公式的矩阵表示，幺正变换，狄拉克符号，线性谐振子的占有数表象。（五）熟练掌握中心力场问题的解法，其中包括：两体问题化为单体问题，电子在库仑场中的运动，氢原子和类氢离子，球形无穷深方势阱及三维各向同性谐振子。（六）熟练掌握微扰理论和变分方法，其中包括：非简并微扰论，简并微扰论，氢原子的一级斯塔克效应，变分法和氦原子的基态能级。（七）掌握量子跃迁的基本解法，其中包括：跃迁几率的计算，光的发射与吸收的半经典处理方法，选择定则。（八）掌握量子散射的基本处理方法，其中包括散射过程的一般描述，散射截面，分波法，散射振幅和相移，方势阱和方势垒的散射，玻恩近似，质心系和实验室系。（九）熟悉自旋与全同粒子的概念，掌握其处理方法，其中包括：电子自旋的实验基础，自旋算符和自旋波函数，塞曼效应，两个角动量的耦合，光谱的精细结构，全同粒子的特性，全同粒子波函数和泡利原理，两个电子的自旋函数，氦原子的微扰论解法。在阅读大纲的时候考生要特别注意每一个知识点条目最开头的那个词，如“熟悉”“了解”“基本了解”“熟练掌握”“基本掌握”等等。这些词反映了大纲对不同知识点的不同要求。紧扣大纲坚持用“两点论和重点论”相结合的辨证思想指导整个复习备考过程，将会大大节约我们的专业课复习时间，提高复习的效率。在这一小节的最后再谈谈参考数目。这里先列出书目稍后对书目进行分析。[1]曾谨言《量子力学教程》（第一版）科学出版社；[2]曾谨言《量子力学（卷一）》（第三版或第四版）科学出版社；[3]曾谨言《量子力学习题精选与剖析》（第二版）科学出版社；[4]费曼《费曼物理学讲义（卷三）》前七章上海科学技术出版社；[5]J.J.Sakurai《ModernQuantummechanics》RivisedEdition世界图书出版公司影印版Addison-WesleyPublishingCompany文献[1]是研究生院考试大纲指定参考教材，内容与考研大纲基本相对应，是基础阶段复习的必读书目，该书必须在强化阶段到来之前全部看完(如果没有系统上过量子力学课那你可要加油了)，掌握基本概念和量子力学的形式体系.文献[2]大概是世界上发行量最大的量子力学书,有悠久的版本史，见证了中国改革开放以来的量子力学教育的发展，各大学物理系学生几乎人手一本，是最经典的中文初等量子力学教材。该文献内容多篇幅大,不适合做教材,它和它的第二卷合在一起可以做一个量子力学辞典。文献[1]其实是它的教材版,适合做一学期量子力学课程的教材.我们的考研复习应该紧扣贴近大纲的文献[1]并适当参考文献[2]。文献[3]和文献[2]有着同样悠久的历史,笔者认为是中文量子力学习题集里面成就最高的一本，虽然这本书对考研来讲在数学要求上偏高，但是我们还是推荐考生通做这本书。这本书将是我们的核心习题册。文献[4]放在一个考研辅导的参考书目里面,在某些人看来似乎有点过分。我想持这样的意见的人大概是没有看过这本书。费曼是二十世纪大师级的人物，是就算在顶尖物理学家里面也少有的，能用大家（这里所说的“大家”当然应该至少有中学物理知识和微积分的能力）能够听得懂的方式解释深奥物理学理论的人。第三卷的前七章讲非相对论性量子力学的基本概念，有利于我们从物理思想上理解量子力学，理解某些我们看起来很奇怪的数学背后的物理内涵。当然如果你觉得你的时间有限可以在初试之后复试之前看，这本书对你复试的时候跟“老板”们Argue物理图像很有帮助。文献[5]是世界名著,是日裔美籍物理学家樱木的遗作，该书起源于樱木先生英年早逝前的一些量子力学手稿。樱木的好朋友美籍华裔物理学家段三复教授是本书的整理修订者。该书区别于某些量子力学书的特色是，他抛开了量子力学的发展轨迹，转而以量子力学自身的公理化体系贯穿全文，每个公式定理务必追求它的公理出处，以强大的逻辑性给人以美的享受。读完这本书的前几章你就会发现：原来“量子力学也是讲理的”。当然坦率的说09年海文考研量子力学复习计划StingChu第4页共24页(ITP-CAS)这本书并不适合初学者，列在这里只供学有余力的同学参考，也可供复试之前阅读。§1.1基础复习阶段基础复习阶段是对以前所学过的量子力学课的系统复习。如果考生本科上课用的不是文献[1]作的教材,那么我们建议要通读文献[1]，以其为标准查漏补缺。我们对于基础复习阶段的预期效果是：对全书的基本概念有比较好的理解，能单独重复书上有的公式定理的推导。书上的课后习题一般是以增加对课文的理解为目的的，有的题目能给出一些课文中没有的小结论，希望考生能在有参考资料的情况下完成课后的习题，并尽可能记住那些小结论。§1.1.1基础复习的建议以文献[1]《量子力学教程》为例阐述。第一章这一章是讲量子力学的薛定谔表述的基础。很多基本概念在此章建立。§1.1理解波函数统计诠释的意义，感受“统计诠释是把粒子很和波动性统一起来的唯一方法”的物理内涵。区分概率幅()rϕ，概率密度()2rϕ，概率()23Vrdrϕ∫∫∫。从傅立叶分析的角度和物理意义上理解动量概率幅()()()33212iprpredrψϕπ−=∫i，理解()rϕ和()pψ的等价性。理解不确定性关系的物理意义，注意各种在不确定性关系上的流行的错误。看§1.1.5的例1，2，3。掌握力学量平均值的计算公式，知道Pi∧=−∇的来历和意义，同时还要记住222Tm∧=−∇，lrP∧∧=×，riP∧∂=∂以及()222HVrm∧=−∇+§1.2熟记薛定谔方程，会推导概率守恒的积分以及微分表达式。熟练掌握§1.2.3和§1.2.4的所有内容，要求会从含时薛定谔方程推导不含时薛定谔方程（也即能量本征方程）。理解定态的数学表达，理解其物理性质，知道定态下的其他力学量的行为。§1.3知道量子态的物理意义和数学表达。理解态叠加原理和“测量”的物理意义，和在数学上对波函数的影响。第二章这一章是重中之重，由于一维定态问题往往有严格解，而且不是很难解所以这一章的题目比较适合用来考试。提醒考生注意。§2.1该小节的七个定理必须熟记，他对我们在求解一维问题的微分方程时有很大帮助。§2.2§2.3方势以及后续章节的δ势是经常出现在考研的试卷上的，这种问题没有理论上的难度，但可以检验考生的数学素质，经常作为基本题来考察，考生一定要自己动手把这两节的例题给推导一遍，还要在此基础上到习题册里找相关的题目练习。§2.4这一小节跟上两小节一样也是出题人比较喜欢的知识点。谐振子问题是整个量子力学中少有的能够写出严格的解析解的问题，一维谐振子的基态波函数要熟记，高能级波函数的递推关系（参见习题2.7，2.8），各能级波函数的宇称要清楚。由于波函数特别是基态波函数可以严格解析的写出来，所以一维谐振子问题和其他一09年海文考研量子力学复习计划StingChu第5页共24页(ITP-CAS)维定态问题会经常用来作为其他问题的背景，比如要你求一维谐振子基态的各种力学量的平均值，分布，涨落等等（参见习题2.22.32.92.122.16）。第三章量子力学和经典力学的一个重要区别在于他们表达力学量的方式不一样，前者用作用于态的非对易算符来表达，后者用可以对易的实数来表达。这个区别使量子力学在微观领域所预言的现象跟经典力学大相径庭。由于算符乘积的不对易性，一些在经典力学量的代数里成立的等式到量子力学体系下不成立了。事实上测不准原理变是位置算符和动量算符不对易的直接结果。,ijijxPiδ⎡⎤=⎣⎦§3.1掌握算符的运算规则。其实算符的运算规则跟实数相差仅仅在于乘法的交换律。记住常用的对易关系和算符恒等式，并会在实际算式中应用。掌握算符的逆运算，转置运算，复共轭运算和厄米共轭运算。掌握厄米算符的定义和性质，理解“可观测量在量子力学中用厄米共轭算符表示”的物理和数学意义。（习题3.33.43.73.10，记住3.173.18的结论）§3.2会证明厄米算符的本征值为实数，厄米算符属于不同本征值的本征函数，彼此正交。例1，例2，例3，例４的证明过程和结论必须熟练掌握。了解简并的意义。§3.3会严格推导不确定度关系2xxPΔΔ≥。§3.3.2非常重要，是角动量理论的基础，也是求解类氢原子能级和波函数的基础。熟悉球谐函数性质。（习题3.15）§3.4了解归一化的概念，了解δ函数归一化的意义。§3.4.4重点阅读，掌握力学量完全集的意义。熟记本节最后一段总结的三个结论，这有利于量子力学的理论框架在