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3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算把握热点考向应用创新演练第三章基本初等函数(Ⅰ)考点一考点二第二课时换底公式与自然对数返回返回返回返回返回返回返回[例1]计算下列各式的值：(1)(log43＋log83)log32；(2)log2＋log279.[思路点拨]先用换底公式化为同底的对数，再运用运算性质运算．返回[精解详析](1)原式＝(1log34＋1log38)log32＝(12log32＋13log32)log32＝12＋13＝56.(2)原式＝log22log2212)＋log332log333＝112＋23＝2＋23＝83.[一点通]利用对数的换底公式能够将不同底的对数化为常用对数或自然对数或同底的对数，即可用对数的运算性质来解决对数求值问题，同时要注意换底公式的逆用．返回1.log89log23的值是()A.23B.32C．1D．2返回解析：法一：利用换底公式将分子、分母转化为常用对数，即log89log23＝lg9lg8lg3lg2＝2lg33lg2·lg2lg3＝23.法二：利用换底公式将分母转化为以2为底的对数，即log89log23＝log29log28log23＝2log233log23＝23.答案：A返回2．计算log52·log79log513·log734的值．解：原式＝log52log513·log79log734＝log132·log349＝－12log32·32log29＝－12log32·3log23＝－32.返回3．已知log62＝p，log65＝q，则lg5＝__________．(用p，q表示)解析：lg5＝log65log610＝qlog62＋log65＝qp＋q.答案：qp＋q返回返回[例2](12分)已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，2x＝py.(1)求p；(2)求证:1z－1x＝12y.[思路点拨]先求出x，y，z的表达式，即将已知指数式化为对数式，然后求解和证明．返回[精解详析](1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k0，且k≠1)，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k.(3分)由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·log3klog34.∵log3k≠0，∴p＝2log34.(6分)(2)证明：1z－1x＝1log6k－1log3k＝logk6－logk3＝logk2＝12logk4＝12y，(11分)∴1z－1x＝12y.(12分)返回[一点通]对数式的证明和对数式的化简的基本思路是一致的，就是根据对数的运算性质和换底公式对对数式化简．返回4．解方程(lgx)2＋lgx3－10＝0.解：原方程变形为(lgx)2＋3lgx－10＝0，即(lgx＋5)(lgx－2)＝0，∴lgx＝－5或lgx＝2，∴x＝10－5或x＝100.经检验知：x＝10－5和x＝100都是原方程的根．返回5．设3x＝4y＝36，求2x＋1y的值．解：∵3x＝36，4y＝36∴x＝log336,y＝log436∴1x＝1log336＝log363，1y＝1log436＝log364，∴2x＋1y＝2log363＋log364，＝log36(9×4)＝1.返回6．如果方程(lgx)2＋(lg7＋lg5)lgx＋lg7·lg5＝0的两根是α，β，求αβ的值．解：方程(lgx)2＋(lg7＋lg5)lgx＋lg7·lg5＝0可以看成关于lgx的二次方程．∵α，β是原方程的两根，∴lgα，lgβ可以看成关于lgx的二次方程的两根．返回由根与系数的关系，得lgα＋lgβ＝－(lg7＋lg5)＝－lg35＝lg135，∴lg(αβ)＝lgα＋lgβ＝lg135，即αβ＝135.返回(1)换底公式主要用于计算、化简求值，用于计算时把底统一化成以10为底的对数．化简时，有两种思路：①根据题目特点，先换部分对数的底进行运算，最后再得结果；②直接把题中对数全换成同一底的对数进行运算．返回(2)换底公式常用推论：loganbn＝logab(a0，a≠1，b0，n≠0)；logambn＝nmlogab(a0，a≠1，b0，m≠0，n∈R)；logab·logba＝1(a0，b0，a≠1，b≠1)；logab·logbc·logcd＝logad(a0，a≠1，b0，b≠1，c0，c≠1，d0)．返回