量子霍尔效应

量子霍尔效应（试用版）内容提要•引言•经典Hall效应•电子的Landau能级•磁通量子化•整数量子Hall效应(IQHE)•分数量子Hall效应(FQHE)•展望引言(1985年第一次诺贝奖)1930年,Landau证明量子力学下电子对磁化率有贡献,同时也指出动能的量子化导致磁化率随磁场的倒数周期变化.引言•1975年S.Kawaji等首次测量了反型层的霍尔电导,1978年KlausvonKlitzing和Th.Englert发现霍尔平台,但直到1980年,才注意到霍尔平台的量子化单位•1985年,KlausvonKlitzing获诺贝尔物理奖.2eh引言1998年第二次诺贝尔奖•1982年,崔琦,H.L.Stomer等发现具有分数量子数的霍尔平台,一年后,R.B.Laughlin给出了一个波函数,对分数量子霍尔效应给出了很好的解释.•1998年诺贝尔物理奖授予HorstStomer,崔琦和RobertLaughlin,以表彰他们发现分数量子霍尔效应及对这一新的量子液体的深刻理解.量子霍尔效应•Stormer,HorstL.•Email:[e-mail]•Telephone:[phone]量子霍尔效应•DANIELC.TSUI,崔琦Professor•RoomB-426,EngineeringQuadrangle•CarolAgans,AdministrativeAssistant•609-258-3217•ConnieBrown,Assistant•609-258-4641•609-258-6279(f)量子霍尔效应•Prof.RobertB.Laughlin•DepartmentofPhysics•StanfordUniversity,Stanford,CA94305•[e-mail]经典霍尔效应1879年,由JohnsHopkins大学的研究生EdwinHall发现,其导师是HenryA.Rowland教授.经典霍尔效应长条形导体:电流密度:横向电场:霍尔电阻率:电阻率与磁场成正比xjnevyEvBHyxEjBne经典霍尔效应根据德鲁特电导理论,金属中的电子在被杂质散射前的一段时间t内在电场下加速,散射后速度为零.τ称为弛豫时间.电子的平均迁移速度为电流密度为若存在外加静磁场,则电导率和电阻率都变为张量此处,仍然成立.j=EE=jdveEm20dnejnevEEm,xxxyxxxyyxyyyxyy有磁场时,加入罗仑兹力,平面电子运动的Langevin方程为稳态时,,假定磁场沿z方向,在xy平面内其中(回旋频率)(经典电导率)由此易得djnev()dddvevEvBm00xcyxycxyEjjEjjceBm20enm电导率与电阻率的关系为如果,则当时,也为0.另一方面由此,当时,,为霍尔电导0c01=xxyyxyyx220220(1)(1)xxyycxyyxcc2222(),()xxxxxxxyxyxyxxxy0xy0xxxxxyxxcneB0xxxxyyjExyHxyneB由量子力学,电子处在磁场中的哈密顿量为这里选择矢量势波函数为(因为H中不显含x,z)电子在均匀磁场中运动的Landau能级2221[()]2xyzzHpeByppSBm(,0,0)ByA(,,)()exp[()]ixzxyzypxpz根据薛定谔方程可求得电子的能量为212()2nczzEnpmSBH的本征函数为在xy平面内单位面积态之数目为其中n=0,1,2,3,4,…对于某一个Landau能级,在y方向的平衡位置数目也由决定,故能级的简并度是.****1/2const()2,()2mnzznmccczzezzzxiylzxiylleBBneBhBnBn12()ncEn或磁通量子化选标量函数仅依赖方位角()212LrRAdlRR作规范变换,并选取expAAAie00expAi若波函数描述延展态,则方位角可以取任意值.若满足周期性,则单值性要求:0,0,1,2,...mm其中为磁通量子.0he整数量子Hall效应(IQHE)•二维电子系统目前,二维电子气主要以下面三个方式实现1,MOSFET(金属-氧化物-半导体场效应管)硅中空穴向z方向运动,在SiO2和Si的表面出现负电荷.电子密度为:MOSFET示意图p-Si空穴型13-210cmMOSFET的电子能级结构2,超晶格例:GaAs/AlGaAs异质结的电子能级结构电子密度:11-210cm3,液氦表面液氦表面有一个超过1eV的势垒,阻止电子透射到液氦中去,而镜象电荷(+e)势又吸引电子于表面.电子密度:9-210cm整数量子Hall效应(IQHE)•实验条件1.极低温(1.5K)2.强磁场(18T)3.比较纯的样品•实验装置示意图实验观测到的霍尔电阻3.台阶高度为,i为整数,对应于占满第i个Landau能级,精度大约为5ppm.1.霍尔电阻有台阶2hie2.台阶处纵向电阻为零.由于杂质的作用,Landau能级的态密度将展宽(如下图).两种状态:扩展态和局域态只有扩展态可以传导霍尔电流(0度下),因此若扩展态的占据数不变,则霍尔电流不变.当Fermi能级位于能隙中时,出现霍尔平台.2HhReiLaughlin(1981)和Halperin(1982)基于规范变换证明,只要第i个扩展态占满,则霍尔电阻由下式精确给出霍尔平台是怎样产生的?无序引起的金属—绝缘体相变问题朗道的费米液体理论，实质上说的是库仑相互作用仍保持动量空间中费米面的存在，或说金属—金属无相变，莫特现象反映了在窄能带的晶体场中，库仑相互作用可能导致金属—绝缘体的相变。那末在非晶体场中又怎样呢？1958年安得森指出在一个强随机场中电子的波函数会局域化，即有金属—绝缘体的相变。这一工作在当时并未引起注意，因为结论似乎是在意料之中的。•从紧束缚近似提供的能带图像不难理解，在能带中心附近的态应该保持扩展态，至少对不是非常强的无序系统来说应该成立；在能带边缘的那些态是局域态。•1968年莫特对这种从局域态到扩展态的过渡，提出了迁移率边缘的临界能量Ec的概念。•莫特在1973年又进一步提出Ec处有一个电导率的突变，即从局域态的σmin=0到扩展态σmin≠0的突变.1974年沙勒斯(Thouless)等提出了局域化问题的标度描述。1979年阿伯拉姆(Abraharms)等在沙勒斯等工作基础上提出了局域化标度理论，结论是电导率应该是连续变化而不是突变的。以后就有一系列用场论的重整化群方法研究无序引起的金属-绝缘体相变。结论是D=l，2维在无序的作用下应该是绝缘体，无相变。而在D=3时有金属-绝缘体相变。但在有磁场存在时，上述结论并不成立。负磁阻现象(D=2)表明，此时无序系统可能有扩展态。事实上，量子霍尔效应正是在研究电子的局域化问题时发现的。量子霍尔效应表明，在有磁场时，2维无序系统应有扩展态，否则σ=0了。怎么来解释实验中出现的平台呢？(见上图)。平台的存在说明有电子的态仅对电子密度n有贡献，但对无贡献。这就表明有局域态，为解释这一点必须考虑杂质的存在。杂质使朗道能级变宽而成了能带，并且互相重叠起来。理论计算表明大部分电子状态局域化了，即被杂质所束缚，只有那些处在能带中心的状态仍然是扩展态。改变电子浓度就改变了费米能级。当费米能级处在局域态区时霍尔电导取量子数值，而当费米能级跨过一个扩展态时，霍尔电导率就改变一个量子数。HH然而，考虑了局域态后，又为什么霍尔电导仍是量子化了的呢？对此，普拉格(Prange)认为局域态的存在并不影响霍尔电流。当电子费米能级位于局域态时，扩展态的电子会补偿应由局域态贡献的霍尔电流。后来，劳甫林(Laughlin)又提出了规范不变的观点。所谓规范不变实质即电荷守恒。从这一点来说劳甫林的这一观点是普拉格观点的另一种更实质化、一般化的说法。然而作为物理的机理来说，哈伯林(Halperin)的“边界流”观点是十分重要的。边界流是一种拓扑元激发流。正是边界流的存在，才得以使量子化在有局域态存在时仍成立。不过，对此也有人持反对意见。应该说，即使在今天，整数量子霍尔效应(IQHE)的解释还是不完全清楚的。整数量子霍尔效应的发现是在MOS器件上作出的，这是一个2维有边界的现象。所谓边界，就是系统的拓扑结构。在有一定的拓扑结构下考虑无序(杂质)问题，这本身就是一个新问题。在这一方面，一些形式上拓扑问题的研究固然重要，但可能还只是问题的第一步，真正的物理还在于考虑无序后的局域态、扩展态和边界流等问题。应用:1.1990年起,国际电阻标准为:精度2.精细结构常数精度82100.3ppm225812.806he2146453.2015he克利青电阻分数量子霍尔效应整数霍尔效应发现才2年，紧接着崔琦(Taui，美籍华裔)、斯多麦(Stormer)和谷沙特(Gossard)又发现了分数量子霍尔效应(FQHE)，这就提出了更深层的问题。他们在GaAs—AlGaAs异质结上观察到，上述的表示式中M为分数，而不仅是整数。实验是在高度净化，温度更低(～1K)，磁场更强(约15特斯拉)的条件下进行的。此后的大量实验却发现M=p/q，p是奇数或偶数，而对最低朗道能级，q总是奇数。1987年后又发现偶分母分数态M=5/2。H如前所述整数量子霍尔效应(IQHE)可以用单粒子近似很好地描述，其物理图像已基本清楚。不过仍存在一些问题值得深入研究。分数量子霍尔效应(FQHE)必须是高迁移率的样品在更低的温度下才能观察到。分数量子霍尔效应也是一个强磁场中的电子强关联系统，因为要解释分数量子霍尔效应必须考虑电子相互作用。这从理论上提出了一类全新的问题。分数效应崔琦,Stomer等发现,当Landau能级的占据数这里p,m为整数,m为奇数时,有霍尔平台.()cnpgEm2HhRe分数量子霍尔效应不可能在单粒子图象下解释,引入相互作用在超强磁场下,电子位于第一Landau能级.其单粒子波函数为这里z=x+iy.这一状态对应于电子在一由下式给出的面积内运动.2212[()]iiimiijijeAeHpVrcrr2*21exp(/4)2!mcmmzzImLaughlin建议了如下形式的波函数这一状态的占据数为.Laughlin计算了m=3,m=5时这一波函数的能量,发现比对应密度下CDW的能量要低.这一状态称为分数量子霍尔态,或Laughlin态,当密度改变从而偏离占据数1/3,1/5时,对应于准粒子激发,激发谱具有能隙,准粒子的电荷为分数(1/3,1/5?).因此Laughlin态是一个不可压缩的量子液体状态.FQHE态.绿球代表被暂时冻结的电子,蓝色为代表性电子的电荷密度,黑色箭头代表磁通线.同IQHE一样,Fermi能级处于能隙位置时,出现FQHE平台.不同之处在于IHQE的能隙来源于单粒子态在强磁场中的量子化,而FQHE的能隙来源于多体关联效应.Haldane和Halperin,利用级联模型,指出Laughlin态的准粒子和准空穴激发将凝聚为高阶分数态,如从1/3态出发,加入准粒子导致2/5态,加入空穴导致2/7态.准粒子由这些态激发出来并凝聚为下一级的态?.P为偶数,对应于粒子型元激发对应于空穴型元激发级联模型的特点:1,无法解释那一个子态是较强的态.2,几次级联后,准粒子的数目将超过电子的数目.3,系统在分数