2017考研数学基础班、张宇高等数学辅导讲义

注：仅对数一要求的部分标有“*”，仅对数二，数三要求的部分相应标有“○”，“△”.目录第一讲函数极限连续性……………………………………………(1)第二讲导数与微分……………………………………………………(7)第三讲微分中值定理及导数的应用……………………………………(11)第四讲一元函数积分学…………………………………………………(15)第五讲微分方程…………………………………………………………(20)第六讲多元函数微分学…………………………………………………(23)第七讲重积分……………………………………………………………(28)第八讲曲线积分与曲面积分*…………………………………………(23)第九讲无穷级数*△……………………………………………………(38)2015考研数学基础班高等数学辅导讲义第一讲函数、极限、连续性一、函数1.函数(1)函数的定义设数集DR，则称映射f:DR为定义在D上的函数，简记为yf(x),xD，其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记为Df，f(D)为值域，记为Rf.(2)函数定义的两要素：定义域，对应法则.2.函数的特性(1)有界性：若M0，对于xI，都有f(x)M，则称f(x)在I上有界.(2)单调性：设函数f(x)的定义域为D，区间ID，若对于x1,x2I，当x1x2时，有f(x1)f(x2)(f(x1)f(x2))，则称f(x)在区间I上单调增加(单调减少).(3)奇偶性：设函数的定义域为I，对于xI，若f(x)f(x)，则称f(x)是奇函数；若f(x)f(x)，则称f(x)是偶函数.注：任何一个定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和的形式，即：f(x)f(x)f(x)f(x)f(x).22(4)周期性：设f(x)的定义域为I，若T0，对于xI，使得f(xT)f(x)(xTI)，则称f(x)为周期函数，T为f(x)的周期，通常周期是指最小正周期.3.反函数(1)反函数的定义设函数f:Df(D)是单射，则它存在逆映射f1:f(D)D，则称映射f1为函数f的反函数.(2)结论：f1[f(x)]x，f[f1(x)]x.12015考研数学基础班高等数学辅导讲义(3)单调函数存在反函数，反之不成立.4.复合函数(1)复合函数的定义设函数yf(x)的定义域为Df，函数ug(x)的定义域为Dg，且其值域RgDf，则函数yf[g(x)],xDg称为由函数ug(x)与函数yf(u)构成的复合函数.(2)只有当函数u(x)的值域与yf(u)的定义域的交非空时，才能将它们复合成复合函数.5.初等函数(1)基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数.(2)初等函数：由常数和五类基本初等函数进行有限次的四则运算和复合构成的可用一个式子表示的函数.(3)初等函数必须能用一个式子表示，不能用一个式子表示的函数不能称为初等函数，故分段函数一．般．不．是．初等函数.二、极限1.数列极限(1)数列极限的定义设xn为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数，总存在正整数N，使得n当nN时，有xna成立，则称数列xn收敛于a，记为limana.n2(2)数列极限的基本性质：①(唯一性)如果数列xn收敛，那么它的极限唯一.②(有界性)如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界，即：M0，使得n有xnM.③(保号性)如果limxna，且a0(或a0)，那么NN，当nN时，有xn0(或xn0).(3)数列极限的四则运算法则设有数列xn，yn.如果limxnA，limynB，则：nn①lim(xnyn)AB；②limxnynAB；nn2015考研数学基础班高等数学辅导讲义BxnAnyn③当yn0且B0时，lim.(4)数列极限存在的判定①(夹逼法则)如果数列xn，yn，zn满足：1)ynxnzn(n1,2,3…)；2)limyna，limzna，nn那么数列xn的极限存在，且limxna.n②(单调有界准则)单调增加(或单调减少)且有上界(或有下界)的数列xn必定存在极限.2.函数极限(1)xx0时，函数极限的定义o设函数f(x)在U(x0)内有定义，如果存在常数A，对于0，总存在0，使得当x满足0xx0时，有f(x)A，那么常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限，记作limf(x)A.xx0xx0xxxx00注：limf(x)Alimf(x)limf(x)A.(2)x时，函数极限的定义设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数，总存在正数X，使得当x满足不等式xX时，有f(x)A，那么常数A就叫做函数f(x)当x时的极限，记作limf(x)A.x(3)函数极限的性质①(唯一性)如果limf(x)存在，那么它的极限唯一，即：若limf(x)A，且limf(x)B，xx0xx0xx0则AB.xx0②(局部有界性)如果limf(x)A，那么M0和0，使得当0xx0时，有f(x)M.③(局部保号性)如果limf(x)A，且A0(或A0)，那么0，使得当xx00xx0时，有f(x)0(或f(x)0).32015考研数学基础班高等数学辅导讲义(4)函数极限的四则运算法则如果limf(x)A，limg(x)B，则xx0xx0①lim[f(x)g(x)]AB；xx0②lim[f(x)g(x)]ABxx0f(x)A③limxx0g(x)B(B0)；④limf(x)g(x)AB(A0).xx0推论1：如果limf(x)存在，c为常数，则lim[cf(x)]climf(x).xx0xx0xx0nxx0xx0xx0推论2：如果limf(x)存在，而n是正整数，则lim[f(x)]nlimf(x).(5)函数极限存在的判定准则①(夹逼法则)如果函数f(x)，g(x)，h(x)满足：○xx0xx01)当xU(x0,)时，g(x)f(x)h(x)；2)limg(x)A，limh(x)A，那么limf(x)存在，且limf(x)A.xx0xx0000②(单调有界准则)设f(x)在x的某左邻域内单调有界，则f(x)在x的左极限f(x)必定存在.(6)复合函数的极限：设yf[g(x)]是由函数ug(x)和yf(u)复合而成的，yf[g(x)]在x0的某去心邻域有定义，若limg(x)u0，limf(u)A且在x0的邻域内xx0uu0g(x)u0，则limf[g(x)]limf(u)A.xx0uu0(7)两个重要极限xx0①limsinx1；1x0x1xxn14nn②lim(1x)xe或lim1e(lim1e).3.无穷小与无穷大(1)无穷小量的定义如果当xx0时函数f(x)极限为零，那么称函数f(x)为当xx0时的无穷小.(2)无穷小的性质：2015考研数学基础班高等数学辅导讲义①有限个无穷小的和仍是无穷小.②有限个无穷小的乘积仍是无穷小.③有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)无穷小的比较：设,是在自变量的同一变化过程中的无穷小，且0则：①如果lim0，称是的高阶无穷小，记作：o()；②如果lim，称是的低阶无穷小.③limc0，称是的同阶无穷小；k④limc0，称是的k阶无穷小.⑤lim1，称与是等价无穷小，记作：~.(4)等价无穷小替换定理：设在自变量x的同一变化过程中，1，2，1，2都是无穷小，1152121而且1~2，1~2，如果limA，则limlimA.三、函数的连续性1.函数连续性的定义(1)函数f(x)在x0点连续的定义xx0设函数f(x)在U(x0)内有定义，如果limf(x)f(x0)，那么称函数f(x)在点x0连续.0000(2)函数f(x)在x处连续f(x)f(x)f(x).2.间断点及其分类(1)间断点的定义若函数f(x)在点x0不连续，则点x0称为函数f(x)的间断点.(2)间断点的分类：；间断点第二类间断点(左、右极限至少有一个不存在)；跳跃间断点(左极限右极限)可去间断点(左极限右极限)第一类间断点(左、右极限都存在)2015考研数学基础班高等数学辅导讲义3.闭区间上连续函数的性质：(1)有界最值定理若函数f(x)在[a,b]上连续，则它在[a,b]上有界且一定能取到最大值和最小值，即：K0，使得x[a,b]，有f(x)K，以及在[a,b]上有1，2使得f(1)m，f(2)M，其中m，M分别为f(x)在[a,b]上的最大值和最小值.(2)零点定理设函数f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)0，则(a,b)使得f()0.(3)介值定理设函数f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)，c是介于f(a)和f(b)间的一个常数，则(a,b)使得f()c.推论：若函数f(x)在[a,b]上连续，m，M分别为f(x)在[a,b]上的最大值和最小值，mcM，则[a,b]使得f()c.第二讲导数与微分一、导数1.导数定义(1)导数的定义设函数yf(x)在U(x0)内有定义，当自变量x在点x0处取得增量x，相应的函数00x0x0y取得增量yf(xx)f(x)；如果limlimxf(x0x)f(x0)x存在，则称函xx0数yf(x)在点x0处可导，记为f(x0)，或y，dydf(x)dxdxxx0xx0，.(2)导函数的定义若函数yf(x)在开区间I内可导，对于xI，都对应着f(x)的一个确定的导数dxdx6值.这样就构成了一个新的函数，这个函数叫yf(x)的导函数，记作y，dy或df(x).(3)左、右导数的定义2015考研数学基础班高等数学辅导讲义0f(x0x)f(x0)f(x)limylimx0xx00xf(x0x)f(x0)f(x)limylimx0xx0x(4)函数在x0点可导的充要条件：f(x0)存在f(x0)f(x0).(5)可导与连续性的关系：若函数yf(x)在x0点可导，则它在x0点连续.(6)导数的几何意义函数yf(x)在x0点处的导数f(x0)在几何上表示曲线yf(x)在点M(x0,y0)处的切线的斜率，即f(x0)tan，其中为切线的倾角.(7)切线方程与法线方程曲线yf(x)在M(x0,y0)处，1f(x0)切线方程为yy0f(x0)(xx0)，法线方程为yy0(xx0).v2(x)2.导数的计算(1)函数的和、差、积、商的求导法则如果函数uu(x)及vv(x)都在点x具有导数，那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数，且①u(x)v(x)u(x)v(x)；②u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)；③v(x)u(x)u(x)v(x)u(x)v(x)(v(x)0).(2)高阶导数的定义dnydxn二阶及二阶以上的导数统称高阶导数.记为，n2，3，….其中，x07d2yddyf(xx)f(x)xdx2dxdxlim00.①如果函数f(x)在点x具有n阶导数，那么f(x)在