2010年高考数学圆锥曲线最值问题复习

圆锥曲线的最值问题高三复习专题训练：高考地位:最值问题是高考的热点，而圆锥曲线的最值问题几乎是高考的必考点，不仅会在选择题或填空题中进行考察，在综合题中也往往将其设计为试题考查的核心。方法一:圆锥曲线的定义转化法根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等，这是求圆锥曲线最值问题的基本方法。关键：用好圆锥曲线的定义例1、已知点F是双曲线的左焦点，定点A（1，4），P是双曲线右支上动点，则的最小值为.221412xyPFPA思维导图：根据双曲线的定义，建立点A、P与两焦点之间的关系两点之间线段最短FAPyx例1、已知点F是双曲线的左焦点，定点A（1，4），P是双曲线右支上动点，则的最小值为.221412xyPFPA解析：设双曲线右焦点为F/249PFPAPFPFPAPFaPAPFAFFAPyx变式训练：已知P点为抛物线上的点，那么P点到点Q（2，-1）的距离与P点到抛物线焦点的距离之和的最小值为___，此时P点坐标为_.24yxQxy回顾反思与能力提升：1、若圆锥曲线为椭圆，A为椭圆内一点，有可得出什么结论，能否自己设计出一道题目；2、体现了什么数学思想方法？3、理论根据是什么？4、此法适合解决那类问题？方法二：切线法当所求的最值是圆锥曲线上点到某条直线的距离的最值时，可以通过作与这条直线平行的圆锥曲线的切线，则两平行线间的距离就是所求的最值，切点就是曲线上去的最值时的点。例2、求椭圆上的点到直线的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标.2212xy23yx思维导图：求与平行的椭圆的切线23yx切线与直线的距离为最值，切点就是所求的点.23yxxyo例2、求椭圆上的点到直线的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标.2212xy23yx解：设椭圆与平行的切线方程为23yxyxb22(1)12yxbxy222234220(4)43(22)03xbxbbbbminmax61)3,;2362)3,.2bdbd当时代入(1)得当时代入(1)得变式训练：动点P在抛物线上，则点P到直线的距离最小时，P点的坐标为_________.2yx4yx回顾反思与能力提升：1、此法用了哪种数学思想方法？2、有没有别的办法？3、要注意画出草图，根据图形确定何时取最大值，何时取最小值.方法三:参数法根据曲线方程的特点，用适当的参数表示曲线上点的坐标，把所求的最值归结为求解关于这个参数的函数的最值的方法.关键：选取适当的参数表示曲线上的坐标例3、在平面直角坐标系中，P(x,y)是椭圆上动点，则S=x+y的最大值是________.思维导图：根据椭圆的参数方程表示x、y将S表示成关于参数的函数212xy解析：设P点坐标为则3cos(02)sinxy3cossin312(cossin)222sin()3Sxy∴当时，.6max2S变式训练：设求的最大值和最小值，并求取得最值时a、b的值.22,,26abRab2ab回顾反思与能力提升：1、参数法体现了什么数学思想方法？2、解析几何中还有哪些曲线可以做这种代换？3、理论根据是什么？4、关键是什么？方法四:基本不等式法先将所求最值的量用变量表示出来，再利用基本不等式求这个表达式的最值.这种方法是求圆锥曲线中最值问题应用最为广泛的一种方法.例4、设椭圆中心在坐标原点A（2，0）、B（0，1）是它的两个顶点，直线与椭圆交于E、F两点，求四边形AEBF面积的最大值.(0)ykxkAFEBxy思维导图：用k表示四边形的面积根据基本不等式求最值例4、设椭圆中心在坐标原点A（2，0）、B（0，1）是它的两个顶点，直线与椭圆交于E、F两点，求四边形AEBF面积的最大值.(0)ykxk解析：依题意设得椭圆标准方程为直线AB、EF的方程分别为设2214xy20,(0)xyykxk112212(,)(,)()ExkxFxkxxx221222122,41414xyxxkkykx根据点到直线距离公式及上式，点E、F到AB的距离分别为2111222222222(1214)55(14)222(1214)55(14)xkxkkhkxkxkkhk5AB又∴四边形AFBE的面积为121()2SABhh2222222214(12)2(12)525(14)(14)(12)1442214144212214kkSkkkkkkkkkmax121.222kkS当且仅当即时成立变式训练：已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，求四边形ABCD面积的最小值.22132xy回顾反思与能力提升：1、关键是什么？2、应注意什么？方法四:函数法把所求最值的目标表示为关于某个变量的函数，通过研究这个函数求最值，是求各类最值最为普遍的方法.关键：建立函数关系式例5、点A、B分别是椭圆的长轴的左右端点，F为右焦点，P在椭圆上，位于x轴的上方，且PA⊥PF若M为椭圆长轴AB上一点，M到直线AP的距离等于|MB|.求椭圆上点到点M的距离的最小值.xyABFMP思维导图：把所求距离表示为椭圆上点的横坐标的函数求这个函数的最小值2213620xy解析：由已知可得点A(-6，0)、F(4,0),设点P(x,y)，则222(6,),(4,),(6)(4)0(1)1(2)3620APxyFPxyAFFPxxyxy由(1)、(2)及y0得32532xy∴AP的方程为360xy设M(m，0)，则点M到直线AP的距离6,62mdMBm6622mmm设椭圆上点（x0,y0）到M距离为d则2200220002000max(2)54420949()1566929152dxyxxxxxxd当时，变式训练：已知双曲线C：，P为C上任一点，点A（3，0），则|PA|的最小值为________.2214xy回顾反思与能力提升：1、关键是什么？2、应注意的问题有哪些？3、参数法和基本不等式法是否也是函数法？作业:小结:圆锥曲线的最值问题解决方法较多，常见的有五种.有些题目可以用多种方法解决，遇到此类题目时，要选取适当地方法。