2010年高考数学数形结合复习

专题二数形结合的思想方法专题二：数形结合的思想方法1.数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷.所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.2.实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义.如等式(x－2)2+(y－1)2=4知识概要3.纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以数解形”.4.数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程.这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野.知识概要专题二：数形结合的思想方法1.设命题甲：0＜x＜3，命题乙：|x－1|＜4，则甲是乙成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分也不必要条件1.A［解析］解法1：由命题乙|x－1|＜4可得：－3＜x＜5,所以命题甲是命题乙的充分不必要条件.专题二：数形结合的思想方法考题剖析解法2：将两个命题用数轴表示，如下图：从上图可以看出，命题甲是命题乙的充分不必要条件.所以选A.［点评］对于处理集合的问题，可以用数形结合的方法，如果是含字母参数的，可以画韦恩图，如果是具体的数集，则可以画数轴，都可以使集合间的关系直观化.专题二：数形结合的思想方法考题剖析2.函数y=a|x|与y=x+a的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（）A.(1，+∞)B.(－1，1)C.(－∞，－1]∪[1，+∞)D.(－∞，－1)∪(1，+∞)专题二：数形结合的思想方法考题剖析2.D［解析］画出y=a|x|与y=x+a的图象情形1：10a＞a＞a＞1专题二：数形结合的思想方法考题剖析情形2：10a＜a＜a＜－1［点评］在使用数形结合方法解决问题时，也要注意含字母参数的讨论，本题中，主要是分a＞0与a＜０两种情况.专题二：数形结合的思想方法考题剖析3.若不等式≥x(a＞0)的解集为{x|m≤x≤n}，且|m－n|=2a，则a的值为（）A.1B.2C.3D.4ax3.B［解析］画出y=，y=x的图象依题意，m=－a，n=a.ax从而=aa=0或2.故选B.aa［点评］本题很好地体现了数形结合的优越性，如果单纯地从数的观点来解题的话，得出m=－a与n=a也是有一定的难度的，但从形的角度出发，可以很直观地看出，这也就说明了解小题时，一定要重视这种思想的应用.专题二：数形结合的思想方法考题剖析4.若x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，则a的取值范围为（）A.（0，1）B.（1，2）C.（1，2］D.［1，2］4.C［解析］令y1=(x－1)2，y2=logax，若a＞1，两函数图象如下图所示，显然当x∈(1，2)时，要使y1＜y2，只需使loga2≥(2－1)2，即a≤2，综上可知当1＜a≤2时，不等式(x－1)2＜logax对x∈(1，2)恒成立.专题二：数形结合的思想方法考题剖析若0＜a＜1，两函数图象如下图所示，显然当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜logax恒不成立.可见应选C.专题二：数形结合的思想方法考题剖析5.定义在R上的函数y=f(x)在(－∞，2)上为增函数，且函数y=f(x+2)的图象的对称轴为x=0，则（）A.f(－1)＜f(3)B.f(0)＞f(3)C.f(－1)=f(－3)D.f(2)＜f(3)5.A［解析］f(x+2)的图象是由f(x)的图象向左平移2个单位而得到的，又知f(x+2)的图象关于直线x=0（即y轴）对称，故可推知，f(x)的图象关于直线x=2对称，由f(x)在（－∞，2）上为增函数，可知，f(x)在(2，+∞)上为减函数，依此易比较函数值的大小.专题二：数形结合的思想方法考题剖析6.设函数y=f(x)是最小正周期为2的偶函数，它在区间［0,1］上的图象为如右图所示的线段AB，则在区间［1,2］上，f(x)=_________.6.x(x∈［1,2］)［解析］解法1：题目已给出f(x)在区间［0,1］的图象，可运用数形结合与对称的思想方法.由y=f(x)是偶函数，由“形”对称变换到“形”，得函数y=f(x)在区间［－1,0］上的图象，如右图的线段CA.由y=f(x)是最小正周期为2的函数，再由“形”向右平移到“形”，得到函数y=f(x)在区间［1，2］上的图象，如上图所示的线段BD.由“形”到“数”，函数y=f(x)在区间［1,2］上的图象是经过B(1,1)，D(2,2)的直线，由待定系数法，求得f(x)=x(x∈［1,2］).专题二：数形结合的思想方法考题剖析解法2：也可以由“形”到“数”，用待定系数法求得，当x∈［0,1］时，f(x)=－x+2；由y=f(x)是偶函数，当x∈［－1,0］时，f(x)=f(－x)=－(－x)+2=x+2(0≤－x≤1)，由最小正周期为2，得当x∈［1,2］时，f(x)=f(x－2)=(x－2)+2=x.［点评］解法1根据偶函数与周期函数的特征作出在［1,2］上的图象，再根据图象找出解析式；解法2，先由图形确定在［0,1］上的解析式，再利用周期性和奇偶性将［1，2］上的解析式化归到［0,1］上进行处理.两种解法都恰当利用了“数”与“形”的有机结合.专题二：数形结合的思想方法考题剖析7.函数y=的最大值为________，最小值为________.xxcos2sin7.［解析］y=表示点P(cosx，sinx)与点A(－2，0)连线的斜率的取值范围，而点P在单位圆上，如下图，过A作单位圆的切线AB、AC.33,33)2(cos0sinxx易知kAB=，kAC=－为斜率的最大值和最小值,那么y的最大值为,最小值为－333333专题二：数形结合的思想方法33考题剖析［点评］对于分式型问题的处理，常可构造斜率模型，利用数形结合的思想方法进行求解.［解析］设y1=|x2－1|，y2=ax(a＞0).分别作出两个函数的图象，由.|,1|221axyxy令y1=y2，求出交点横坐标：x1=,x2=242aa242aa专题二：数形结合的思想方法考题剖析8.解关于x的不等式：|x2－1|＜ax(a＞0).从图形不难看出当函数y2的图象位于y1的图象的上方时，对应的x值的取值范围即为原不等式的解.∴＜x＜242aa242aa［点评］图象法解不等式与图象法解方程有类似之处，首先求出两函数图象交点的横坐标(即方程的根)，然后根据不等式的方向从图象中判断解的区间.专题二：数形结合的思想方法考题剖析规律总结数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.专题二：数形结合的思想方法数形结合的两个方面：即以形助数、以数解形.（1）以形助数的体现：利用曲线方程解题：利用“直线的斜率”利用“单位圆”利用“点到直线的距离”利用“两点间的距离”利用“直线的截距”利用“平行线间的距离”利用“直线的方程”利用函数的图象利用几何图形解题利用向量运算利用“三角形三边的关系”利用勾股定理构图专题二：数形结合的思想方法规律总结（2）以数解形的体现：向量坐标运算立体几何中空间向量坐标运算平面解析几何应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：（1）集合的运算及韦恩图（2）函数及其图象（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象（4）直线的方程及曲线的方程（二元方程）专题二：数形结合的思想方法规律总结以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助直线的有关概念；借助于三角形.总之，无论是解析几何、立体几何、函数问题，无法入手时尽量与“形”联系.专题二：数形结合的思想方法规律总结