线性代数模块总结

线性代数模块总结一、《线性代数》在数学的地位线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于中国古代数学名著《九章算术》）。①线性代数在数学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位②在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分；③该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的④随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。二、对《线性代数》教学的几点看法1、加强背景知识的介绍线性代数概念较为抽象，如果采用纯粹的定义、定理加推导的公式，学生容易失去兴趣，也很难深刻理解相关概念。现在许多学生在学习线性代数时，就只会一味的解题，对这门课的主要内容，相关背景一无所知。为了避免这种现象，我们有必要追溯到线性代数相关的历史，对其被经济发展状况作简单的介绍，探究那些想象力、创造力、努力交织在一起的故事。这样不仅有助于学生在轻松的环境下理解知识点的来龙去脉，并加深对概念的理解，同时还有利于脱光他们的知识面，提高他们的数学修养。2、注意知识点的合理引入俗话说：“兴趣是最好的老师”。一堂课的成功与否，知识点的引入非常关键。因为只有通过合理的引入，才能吸引学生的注意力并激发他们的兴趣，使他们的学习有被动接受转为主动参与。在关于线性代数的教学过程中，可以结合具体教学内容采用不同的引入方法。一种典型的引入方法是结合学生已经掌握的知识通过类比引入。3、注重知识点的几何意义阐述数学的教学目标是训练学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力，因而数形结合是数学教育的重要思想和方法之一。但对于线性代数这样有许多抽象概念的课程，往往过于强调抽象思维能力、逻辑推理能力，而容易忽视空间想象能力的培养，也就是容易忽视“形”概念的几何意义对教学的帮助作用。三、《线性代数》的学习方法掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。四、课程的基本要求1．理解n阶行列式的定义，会用定义计算简单的行列式2．熟练掌握行列式的基本计算方法和性质3．熟练掌握克莱姆法则4．理解矩阵的定义5．熟练掌握矩阵的运算方法和求逆矩阵的方法6．理解向量相关性的概念，会用定义判定向量的相关性7．掌握求矩阵秩的方法，理解矩阵秩与向量组的相关性之间的关系8．理解向量空间的概念，会求向量的坐标9．熟练掌握用初等变换求矩阵秩、逆矩阵，解线性方程组10．熟练掌握线性方程组的求解方法，知道线性方程组的简单应用11．熟练掌握矩阵特征值、特征向量的求法12．掌握相似矩阵的概念，矩阵对角化的概念13．熟练掌握用正交变换化二次型为标准型的方法14．理解二次型的惯性定理，会用配方法求二次型的平方和15．掌握二次型正定性概念及应用五、主要内容1、行列式n行列式共有2n个元素，展开后有!n项，可分解为2n行列式；代数余子式的性质：①、ijA和ija的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；代数余子式和余子式的关系：(1)(1)ijijijijijijMAAM设n行列式D：将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D，则(1)21(1)nnDD；将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D，则(1)22(1)nnDD；将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D，则3DD；将D主副角线翻转后，所得行列式为4D，则4DD；行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)nn；③、上、下三角行列式（◥◣）：主对角元素的乘积；④、◤和◢：副对角元素的乘积(1)2(1)nn；⑤、拉普拉斯展开式：AOACABCBOB、(1)mnCAOAABBOBC⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值；对于n阶行列式A，恒有：1(1)nnknkkkEAS，其中kS为k阶主子式；证明0A的方法：①、AA；②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax，证明其有非零解；④、利用秩，证明()rAn；⑤、证明0是其特征值；2、矩阵A是n阶可逆矩阵：0A（是非奇异矩阵）；()rAn（是满秩矩阵）A的行（列）向量组线性无关；齐次方程组0Ax有非零解；nbR，Axb总有唯一解；A与E等价；A可表示成若干个初等矩阵的乘积；A的特征值全不为0；TAA是正定矩阵；A的行（列）向量组是nR的一组基；A是nR中某两组基的过渡矩阵；对于n阶矩阵A：**AAAAAE无条件恒成立；1**111**()()()()()()TTTTAAAAAA***111()()()TTTABBAABBAABBA矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：若12sAAAA，则：Ⅰ、12sAAAA；Ⅱ、111121sAAAA；②、111AOAOOBOB；（主对角分块）③、111OAOBBOAO；（副对角分块）④、11111ACAACBOBOB；（拉普拉斯）⑤、11111AOAOCBBCAB；（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rmnEOFOO；等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若()()rArBAB；行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）若(,)(,)rAEEX，则A可逆，且1XA；②、对矩阵(,)AB做初等行变化，当A变为E时，B就变成1AB，即：1(,)(,)cABEAB；③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Axb，如果(,)(,)rAbEx，则A可逆，且1xAb；初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n，左乘矩阵A，i乘A的各行元素；右乘，i乘A的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)Eij，且1(,)(,)EijEij，例如：1111111；④、倍乘某行或某列，符号(())Eik，且11(())(())EikEik，例如：1111(0)11kkk；⑤、倍加某行或某列，符号(())Eijk,且1(())(())EijkEijk，如：11111(0)11kkk；矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)mnrAmn；②、()()TrArA；③、若AB，则()()rArB；④、若P、Q可逆，则()()()()rArPArAQrPAQ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max((),())(,)()()rArBrABrArB；⑥、()()()rABrArB；⑦、()min((),())rABrArB；⑧、如果A是mn矩阵，B是ns矩阵，且0AB，则：Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组0AX解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()rArBn⑨、若A、B均为n阶方阵，则()()()rABrArBn；三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001acb的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nnnnmnmmnnnnmmnmnnnnnnmabCaCabCabCabCbCab；注：Ⅰ、()nab展开后有1n项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!mnnnnnnnmnCCCmmnmⅢ、组合的性质：111102nmnmmmmrnrrnnnnnnnnrCCCCCCrCnC；③、利用特征值和相似对角化：伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nrAnrArAnrAn；②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAXXAAAAXX；③、*1AAA、1*nAA关于A矩阵秩的描述：①、()rAn，A中有n阶子式不为0，1n阶子式全部为0；②、()rAn，A中有n阶子式全部为0；③、()rAn，A中有n阶子式不为0；线性方程组：Axb，其中A为mn矩阵，则：①、m与方程的个数相同，即方程组Axb有m个方程；②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Axb为n元方程；线性方程组Axb的求解：①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解；③、特解：自由变量赋初值后求得；由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：①、11112211211222221122nnnnmmnmnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb；②、1112111212222212nnmmmnmmaaaxbaaaxbAxbaaaxb（向量方程，A为mn矩阵，m个方程，n个未知数）③、1212nnxxaaax（全部按列分块，其中12nbbb）；④、1122nnaxaxax（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)rArAn（n为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性m个n维列向量所组成的向量组A：12,,,m构成nm矩阵12(,,,)mA；m个n维行向量所组成的向量组B：12,,,TTTm构成mn矩阵12TTTmB；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；①、向量组的线性相关、无关0Ax有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出Axb是否有解；（线性方程组）③、向量组的相互线性表示AXB是否有解；（矩阵方程）矩阵mnA与lnB行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax和0Bx同解；()()TrAArA；n维向量线性相关的几何意义：①、线性相关0；②、,线性相关,坐标成比例或共线（平行）；③、,,线性相关,,共面；线性相关与无关的两套定理：若12,,,s线性相关，则121,,,,ss必线性相关；若12,