庞加莱映射

先对庞加莱映射作一简介，为了更清楚地了解运动的形态，庞加莱对连续运动的轨迹用一个截面（叫庞加莱截面）将其横截，那么根据轨迹在截面上穿过的情况，就可以简洁地判断运动的形态，由此所得图像叫庞加莱映像。在截面图上，轨迹下一次穿过截面的点可以看成前一次穿过的点的一种映射（n=0,1,2,…）这个映射就叫庞加莱映射。它把一个连续的运动化为简洁的离散映射来研究在庞加莱映射中的不动点反映了相空间的周期运动，如果运动是二倍周期的，则庞加莱映射是两个不动点，四倍周期则有四个不动点等绘制庞加莱映射是在普通的相平面上进行，它不是像画相轨道那样随时间变化连续地画出相点，而是每隔一个外激励周期（）取一个点，例如取样的时刻可以是t=0,T,2T…相应的相点记为，，…这些离散相点就构成了庞加莱映射自激振动1.实验题目研究范·德·波耳（Vanderpol）方程（2.19.1）所描述的非线性有阻尼的自激振动系统，其中是一个小的正的参量，是常数。下面简称范·德·波耳方程为VDP方程在VDP方程中，增加外驱动力项所得到的方程（2.19.2）称强迫VDP方程，其中外驱动力的振幅，角频率分别是V和，试研究强迫VDP方程的行为2.实验目的和要求⑴演示VDP方程所描述的系统在非线性能源供给下，从任意初始条件出发都能产生稳定的周期性运动⑵采用庞加莱映像，演示强迫VDP方程在不同参数下所存在四种吸引子，即周期1吸引子，周期2吸引子，不变环面吸引子和奇怪吸引子⑶对于强迫VDP方程，在V和为定值条件下，逐渐增大值，将出现周期倍分岔和混浊现象3.解题分析自激系统是一个非线性有阻尼的振动系统，在运动过程中伴随有能量损耗，但系统存在一种机制，使能量能够由非振动的能源通过系统本身的反馈调节，及时适量地得到补充，从而产生一个稳定的不衰减的周期运动，这样的振动称为自激振动对VDP方程，可从机械振动角度理解，是阻尼系数，它是变化的，如果，则阻尼系数为正，系统将受阻尼，能量将逐渐减少，但如果，则发生负阻尼，意味着不仅不消耗系统的能量，反而给系统提供能量。此系统能通过自动的反馈调节，使得在一个振动过程中，补充的能量正好等于消耗的能量，从而系统作稳定的周期振动取方程中的，，（这些值可适当调整）。给出任一初始条件，通过计算机数值求解可以证明它的相轨道都将趋向于一条闭合曲线，这一条闭合曲线，成为极限环，极限环以外的相轨道向里盘旋，而极限环以内的相轨道则向外盘旋，都趋向极限环（如图2.36所示），说明不论初始情况如何，系统最终都到达以极限环描述的周期性运动。由于这段程序较简单，我们没有专门编写，事实上，只要将下面编写的关于强迫VDP方程的程序中令V＝0，再取不同的初始条件，就能看到这个现象下面研究强迫VDP方程的行为，我们同时采用时间历程图，相图，庞加莱映像图来研究系统在不同参数条件下的动力学行为，可以看到存在不同的吸引子，即周期1吸引子，周期2吸引子，不变环面吸引子和奇怪吸引子先对庞加莱映射作一简介，为了更清楚地了解运动的形态，庞加莱对连续运动的轨迹用一个截面（叫庞加莱截面）将其横截，那么根据轨迹在截面上穿过的情况，就可以简洁地判断运动的形态，由此所得图像叫庞加莱映像。在截面图上，轨迹下一次穿过截面的点可以看成前一次穿过的点的一种映射（n=0,1,2,…）这个映射就叫庞加莱映射。它把一个连续的运动化为简洁的离散映射来研究在庞加莱映射中的不动点反映了相空间的周期运动，如果运动是二倍周期的，则庞加莱映射是两个不动点，四倍周期则有四个不动点等绘制庞加莱映射是在普通的相平面上进行，它不是像画相轨道那样随时间变化连续地画出相点，而是每隔一个外激励周期（）取一个点，例如取样的时刻可以是t=0,T,2T…相应的相点记为，，…这些离散相点就构成了庞加莱映射设，，则（2.19.2）式可化为（2.19.3）取，，进行以下数值计算研究⑴在，V＝1，条件下，存在周期1吸引子，它的周期等于外激励的周期，代表主谐波运动，如图2.37所示⑵在，V＝1，条件下，存在周期2吸引子，它的周期等于外激励的整数倍，代表次谐波运动，如图2.38所示⑶在，V＝1，条件下，存在不变环面吸引子，它代表准周期（拟周期）运动，如图2.39所示⑷，V＝1，条件下，存在奇怪吸引子，它代表混浊运动，如图2.40所示⑸保持V和为定值，逐渐增大，将显示系统状态演化过程全貌的图，如图2.41所示，而前四种情况中，看到的只是取4个值的片断情况，图形显示，当由0.9连续变化到1.2时，系统运动状态逐渐由周期1过渡到周期2（发生了周期倍分岔）再过渡到混浊状态在程序中，这几种过程的计算是相同的，所以用for循环来完成前面四种计算，这就是程序zjzd.m计算中在每个外激励周期内计算1000个相点，为了作出庞加莱映射，每隔1000个点保留一个点数据，所以程序运行的时间较长，对第五种情况，由于计算量大，将它另外编写一个程序，这就是程序zjzd1.m计算中在每个周期内计算100个相点，庞加莱映射是每隔100个点保留一个点数据，图2.41是在CPU为P4的计算机上运算约半小时所得到的结果4.思考题⑴画出不同的吸引子的功率谱，观察它们的差别⑵当值由0.6连续变化到0.9时，计算强迫VDP方程的庞加莱映射⑶将参考程序zjzd.m中解微分方程的时间增加到足够长，在庞加莱映射图上可以看到一个更完整的奇怪吸引子形状，请试一试5.参考程序参考程序zjzd.m如下：u=[0.85,1.02,0.66,1.08];x0=1;w0=1;v=1;w=0.44;T=2*pi/w;str{1}='庞加莱截面—周期1吸引子';str{2}='庞加莱截面—周期2吸引子';str{3}='庞加莱截面—不变环面吸引子';str{4}='庞加莱截面—奇怪吸引子';forj=1:4[t,y]=ode23('zjzdfun',[0:T/1000:50*T],[4,4],[],u(j),x0,w0,v,w);figuresubplot(2,1,1)plot(t,y(:,1));title('位移曲线');xlabel('x');ylabel('v');subplot(2,2,3)plot(y(3000:end,1),y(3000:end,2));axis([-33-44])xlabel('x');ylabel('v');title('相图');subplot(2,2,4)axis([-31-11])holdonfori=7000:1000:14000plot(y(i,1),y(i,2),'r.');endtitle(str{j});end参考程序zjzd1.m如下：u=0.8:0.001:1.2;v=1;x0=1;w0=1;w=0.44;T=2*pi/w;axis([0.91.2-0.81])holdonforj=1:length(u)[t,y]=ode23('zjzdfun',[0:T/100:70*T],[4,4],[],u(j),x0,w0,v,w);plot(u(j),y(500:100:1400,2),'linewidth',2);end函数文件是一个独立的文件，文件名为zjzdfun.mfunctionydot=vdbfun(t,y,flag,u,x0,w0,v,w)ydot=[y(2);u*(x0^2-y(1)^2)*y(2)-y(1)*w0^2-v*cos(w*t)];