14.2空间中直线与直线之间的位置关系

1、熟练掌握异面直线定义；2、理解掌握空间两直线的位置关系;3、熟练掌握平行公理4，并会简单应用;4、理解掌握等角定理及其推论;5、熟练掌握异面直线所成角定义；6、掌握求两异面直线所成角的方法。新课导入同一平面内的直线有哪些位置关系？aboab相交平行回顾旧知abo如何判断两直线相交？两直线有公共交点。如何判断两直线平行？两直线在同一平面，且无公共交点。ab立交桥ABCD六角螺母既不相交，又不平行。定义1:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。注：概念应理解为:“经过这两条直线无法作出一个平面”.或:“不可能找到一个平面同时经过这两条直线”．注意:分别在某两个平面内的两条直线不一定是异面直线,它们可能是相交,也可能是平行.一、异面直线:想一想：在空间中两条直线的位置关系？（1）相交直线——有且只有一个公共点（2）平行直线——在同一平面内，没有公共点（3）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点二、空间两直线的位置关系：(1)从公共点的数目来看，可分为：①有且只有一个公共点——两直线相交1l2lA②没有公共点两直线平行两直线为异面直线1l2l12//ll记作：All21记作：(2)从平面的性质来讲，可分为：两直线相交①在同一平面内两直线平行②不在同一平面内——两直线为异面直线异面直线的画法:Abababa为表示异面直线不共面得特点，常以平面衬托。A1B1C1D1CBDA练习：如图：正方体的棱所在的直线中，与直线A1B异面的有哪些？答案：D1C1、C1C、CD、D1D、AD、B1C1探究:HGCADBEFGHEF(B)(C)DAAB,CD,EF,GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对?相交直线有几对?平行直线有几对?abced我们知道,在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?观察:将一张纸如图进行折叠,则各折痕及边a,b,c,d,e,…之间有何关系？a∥b∥c∥d∥e∥…公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．———平行线的传递性推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行．空间四边形：如图，顺次连结不共面的四点A、B、C、D所组成的四边形叫做空间四边形ABCD.ABCD相对顶点A与C，B与D的连线AC、BD叫做这个空间四边形的对角线.例1：已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证EFGH是一个平行四边形。解题思想：∵EH是△ABD的中位线∴EH∥BD且EH=BD同理，FG∥BD且FG=BD∴EH∥FG且EH=FG∴EFGH是一个平行四边形证明：连结BD2121把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。ABDEFGHC在例1中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？四边形EFGH是菱形。探究BCADEFHG180EQFAOBCODAOBBO//DP//FQAO//CP//EQAOBCPDEFQ在平面内,我们已证明“如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”．空间中，该结论是否仍然成立？在长方体中，，，的两对边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？CDAADC与CBAADC与DCBAABCDCDAADC180CBAADCABCDABCD思考三、等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.注意：（1）定理中的“方向相同”若改成“方向相反”，则这两个角也相等。（2）若改成“一边方向相同，而另一边方向相反”，则这两个角互补。ABCCABABCCABBACCAB180BACCABBAAB//,CAAC//夹角在平面内两直线相交成四个角，不大于90°的角成为夹角。ab夹角刻画了一条直线对另一条直线的倾斜程度，异面直线通过异面直线所称的角来刻画。abaOababO已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a`//a,b`//b，我们把a`与b`所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）。为简便，O点常取在某一直线上三、异面直线所成角的定义：平移法如果两条异面直线所成的角为直角，那么就称这两条异面直线垂直。ba'aObao900异面直线a和b所成的角的范围：强调:1)范围2)与0的位置无关；3)为了方便点O选取应有利于解决问题，可取特殊点(如a或b上)；4)找两条异面直线所成的角，要作平行移动(平行线)，把两条异面直线所成的角，转化为两条相交直线所成的角.]90,0(045o例2:(1)求直线BA1和CC1所成角的度数。ABC1D1C1B1AD例2:(2)哪些棱所在直线与直线AA1垂直？ABC1D1C1B1ADNEXTBACK求异面直线所成的角的步骤是:一作(找)：作（或找）平行线二证：证明所作的角为所求的异面直线所成的角。三求：在一恰当的三角形中求出角四、异面直线所成角的求法：例3:在正方体ABCD-A’B’C’D’中，棱长为a，E、F分别是棱A’B’，B’C’的中点，求：①异面直线AD与EF所成角的大小；②异面直线B’C与EF所成角的大小；③异面直线B’D与EF所成角的大小.4560平移法OG90AC∥A’C’∥EF,OG∥B’DB’D与EF所成的角即为AC与OG所成的角,即为∠AOG或其补角.如图,已知长方体ABCD-EFGH中,AB=,AD=,AE=2(1)求BC和EG所成的角是多少度?(2)求AE和BG所成的角是多少度?3232解答：(1)∵GF∥BC∴∠EGF（或其补角）为所求.Rt△EFG中，求得∠EGF=45o(2)∵BF∥AE∴∠FBG（或其补角）为所求,Rt△BFG中，求得∠FBG=60o5.课堂练习ABGFHEDC32322不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。异面直线的定义:相交直线平行直线异面直线空间两直线的位置关系6.课堂小结公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．异面直线的求法:一作(找)二证三求空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．等角定理：异面直线的画法用平面来衬托异面直线所成的角平移，转化为相交直线所成的角补充练习一、下图长方体中平行相交异面②BD和FH是直线①EC和BH是直线③BH和DC是直线BACDEFHG㈡与棱AB所在直线异面的棱共有条?4分别是：CG、HD、GF、HE㈠说出以下各对线段的位置关系?1）分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。3）a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c是异面直线。4）a与b是共面，b与c是共面，则a与c共面。错错错错2）aα,bα,则a,b一定异面。二、判断1.两条直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线a，b的位置关系是()A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.可能是平行直线D.可能是异面直线，也可能是相交直线2.一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（）A.平行B.相交C.异面D.相交或异面三、选择BD3.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（）A.异面B.平行C.相交D.以上都有可能4.异面直线a，b满足a，b，∩=l，则l与a，b的位置关系一定是（）A.l与a，b都相交B.l至少与a，b中的一条相交C.l至多与a，b中的一条相交D.l至少与a，b中的一条平行BD