14.3-空间直线与平面的位置关系

14.3空间直线与平面的位置关系1、直线与平面垂直1.回忆空间两条直线的位置关系相交异面平行交点个数：几何语言：2.联想直线与平面垂直空间直线和平面的位置关系直线垂直于平面直线斜交于平面直线平行于平面直线在平面内交点个数：几何语言：3.空间直线垂直于平面的定义定义：如果一条直线l垂直于平面α内的任何直线，那么就称这条直线l和这个平面α垂直l记作ll叫做平面的，与的交点叫垂线做垂足。定义中的任意改成无数多条可不可以？4.体会要验证旗杆是否与地面垂直，你有什么好的方法？直线与平面垂直的性质过一点有且只有一条直线和一个平面垂直过一点有且只有一个平面和一条直线垂直5.空间直线垂直于平面的判定定理垂直。与平面都垂直，那么直线、上的两条相交直线与平面：如果直线定理lbal21、若相交改为平行，会有什么结果？ADCBB1A1C1B12、从右边的长方体中体会定理2。6.判定定理的应用例题1、已知（见右图）长方体ABCD-A1B1C1D1中，B1G⊥BC1且交BC1于G。过A1B1的平面交BC1于H，交AD1于K,使四边形A1B1HK为平行四边形求证（1）B1G⊥平面ABC1D1;（2）四边形A1B1HK为矩形GHKD1C1DCB1A1BA注意证明过程中推理演绎的运用PAoABOCoAAEPCEAEPBC例2、已知垂直于圆所在的平面，是圆的直径，是圆上任意一点，过作于。求证：平面证明:连结AC∵PA⊙O所在的平面PABC∵AB为⊙O的直径ACBC∵PAAC=ABC平面PAC∵AE平面PACBCAE又∵PCAEAE平面PBC7.课堂小结直线与平面的位置关系直线与平面垂直的定义和一些性质直线与平面垂直的判定定理回家作业2、直线与平面的交角14.3空间直线与平面的位置关系1.直线和平面垂直的定义和判定定理分别是什么？定义：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直.定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.一．复习：2.当直线与平面相交时，对于直线与平面垂直的情形，我们已作了一些相关研究，对于直线与平面不垂直的情形，我们需要从理论上作些分析.l1．一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,称这条直线和这个平面斜交.(l与斜交)2．称这条直线是这个平面的斜线.(斜线l)3．斜线和平面的交点叫做斜足.(斜足Q)4．斜线上一点和斜足间的距离叫做这个点到这个平面的斜线段.(斜线段PQ)Ql5、直线P1Q叫做斜线PQ在内的射影PP1过平面外一点P向平面引垂线,垂足P1叫做P在平面内的射影二、斜交的相关概念平面的一条斜线与这个平面总存在一个相对倾斜度，我们设想用一个平面角来反映这个倾斜度，并且这个角的大小由斜线与平面的相对位置关系所确定，那么角的顶点宜选在何处？αl思考1:如图，AB为平面α的一条斜线，A为斜足，AC为平面α内的任意一条直线，能否用∠BAC反映斜线AB与平面α的相对倾斜度？为什么？αCAB思考2:反映斜线与平面相对倾斜度的平面角的顶点为斜足，角的一边在斜线上，另一边在平面内的哪个位置最合适？为什么？αPAB思考3:定义：直线和平面的交角一般地,平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角.l则l与的交角是直角l//则l与的交角是0o角斜线AB与的交角是ABDADCB斜线AC与的交角是ACD垂线AD与的交角是直角直线和平面所成角的范围[0,/2]三．直线和平面的交角当直线垂直于平面时,直线在平面内的射影为一个点(垂足).当直线不垂直于平面时,直线在平面内的射影为直线上任意两点在此平面内的射影所确定的直线.ABA1B1２．那么过一点作一个平面的斜线有多少条？３．斜线l在平面α内的射影有几条？４、两条异面直线在一个平面内的射影可能是：两条相交直线，两条平行直线，一条直线与直线外一点。1．直线l与平面所成角的大小与点A在l上的取法是否有关？练一练５．两条平行直线同一个平面内的射影可能是哪些图形？６、三角形在一个平面内的射影可能会是线段、三角形７、一平面多边形在平面内的射影可能会是平面多边形、线段那两条相交直线呢？可以证明:从平面外一点向平面引斜线段有：（１）如果斜线断的长相等,那么它们在平面内的射影长也相等;（２）如果两条斜线段的长不相等,那么它们在平面内的射影长也不相等,并且斜线段较长的其射影长也较长;（３）如果斜线段在平面内的射影长相等,那么这两条斜线段的长也相等；（４）如果斜线段在平面内的射影长不相等,那么这两条斜线段的长也不相等,并且射影较长的其斜线段也较长;例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中.（1）求直线A1B、AC1和平面ABCD所成的角；（2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.D1ABA1CB1C1DO（３）求直线AC1和平面BB1D1D所成角的大小．四．例题例2:P是△ABC所在平面外一点,且PA=PB=PC,求证:P点在平面ABC内的射影是△ABC的外心.例３如图，AB为平面α的一条斜线，B为斜足，AO⊥平面α，垂足为O，直线BC在平面α内，已知∠ABC=60°，∠OBC=45°，求斜线AB和平面α所成的角.ABCOαD4、∠BOC在平面内,OA是平面的斜线,若AOB=AOC=60O,OA=OB=OC=a,BC=,求OA和平面所成的角.2aAOCBα5、点P是直角梯形ABCD所在平面外一点,BAD=90O,AD//BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA底面ABCD,PD与底面成30O角.(1)若AEPD,E为垂足,求证:BEPD(2)求异面直线AE与CD所成角的大小(用反三角函数表示)思考:如图，直线l是平面α的一条斜线，它在平面α内的射影为b，直线a在平面α内，如果a⊥b，那么直线a与直线l垂直吗？为什么？反之成立吗？aαlbabal回家作业由一点S出发作三条射线SA、SB、SC，若90BSC，60BSA，45ASC，求SA与底面SBC所成的角。已知P是ΔABC所在平面外一点，且ABCPC平面，90ACB。若ΔABC、ΔPBC、ΔPAC的面积分别为321,,SSS，求ΔPAB的面积14.3空间直线与平面的位置关系3、直线与平面平行αa直线与平面α相交a∩α=A有且只有一个交点αAaaα直线与平面α平行a∥α无交点直线在平面α内aα有无数个交点（零）直线与平面的位置关系分类标准：“公共点的个数”直线在平面外定义：一条直线和一个平面没有公共点，叫做直线与平面平行.（一）线面平行的定义1．生活中，我们注意到门扇的两边是平行的.当门扇绕着一边转动时，观察门扇转动的一边l与门框所在平面的位置关系如何？l观察：2：若将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？llα3．图中直线l和平面α平行吗？思考：如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α外，猜想在什么条件下直线a与平面α平行？baαa//ba∥αa∥baαbα证明：假设直线a不平行于平面α，则a∩α=P。如果点P∈b，则和a∥b矛盾；如果点P∈b，则a和b成异面直线，这也与a∥b矛盾。所以a∥α。aαb线线平行线面平行平面外一条直线和此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.（二）直线和平面平行的判定定理a∥αa∥baαbα（1）直线a∥平面α，平面α内有n条互相平行的直线，那么这n条直线和直线a()（A）全平行（B）全异面（C）全平行或全异面（D）不全平行也不全异面（2）直线a∥平面α，平面α内有无数条直线交于一点，那么这无数条直线中与直线a平行的（）（A）至少有一条（B）至多有一条（C）有且只有一条（D）不可能有CB练习：31//(2)34//0123llllaaABCD下列命题正确的个数是（）若直线上有无数个点不在平面内，则若直线与平面平行，则与平面内的任意一直线平行（）两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行（）若一直线和平面内一直线平行，则（）个（）个（）个（）个A4//aAaBaCaDa如果直线平面，那么（）平面内不存在与垂直的直线（）平面内有且只有一条直线与垂直（）平面内有且只有一条直线与平行（）平面内有无数条直线与不平行D例1、求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面。求证：EF∥平面BCDABCDEF已知：空间四边形ABCD，E、F分别是AB、AD的中点。（三）例题分析例2：ABCDMNNBCPCMBAPABBBBPDCBAABCD平面求证：）、（异于中，点－长方体//,,11111111分析证法2ABA1DB1D1PCC1MN证法1要证明线面平行，只需证线线平行(1)平行公理(2)三角形中位线(3)平行线分线段成比例(4)相似三角形对应边成比例(5)平行四边形对边平行证法1利用相似三角形对应边成比例及平行线分线段成比例的性质111111AACCCCPBNCPNNCCPBNAAPBMAPMMAAPBM∽NCPNMAPM∽（略写）ABCDACABCDMNMNAC面面//ABCDMN面//ABA1DB1D1PCC1MN证法2思考：教室内日光灯管所在的直线与地面平行，如何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行？定理内容：符号语言：作用：图形：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。简记为：线面平行，则线线平行。babaa//,,,//则若可作判定线线平行的依据。（四）直线与平面平行的性质定理αmβl例1、面面平行,,,:abab已知求证简记为：面面平行，则线线平行。例2：ABCDMNNBCPCMBAPABBBBPDCBAABCD平面求证：）、（异于中，点－长方体//,,11111111分析证法2ABA1DB1D1PCC1MN证法1线//线线//面线//线线//面例2：证法2ABA1DB1D1PCC1MN111111111111////CACACAACACCACCAACAAC面面长方体中、连结MNBCAACPNBCPCMPABAACPACBCAAC111111//面面面面ABCDACABCDMNMNAC面面//ABCDMN面//例3：111111111//2//ABCABCDACABDBCEBBBDAECEBB已知－是正三棱柱，是的中点（）求证：平面；（）若是上的一点，且平面求证为的中点分析：证明A1BB1EAC1CD例3：证明1111111(1)//BCBCODODACDOACBDOABABDBCDODBC连结交于，连结为的中点，为的中位线面面11//DBCAB面A1BB1EAC1CDO(2)证明的中点是、，连结的中点为设ACDEFDFFCA1111//21//BBAAAADF四点共面BDFEEBFD,,,//FEDBEFEFDBCEAEFDBBDEACBD////1面面面面EBFD//又四边形EFDB为平行四边形。BBAAFDEB112121即E为B1B的中点。A1BB1EAC1CDF练习1－2的位置关系是与平面中点，为中，－、正方体ACEBDDDEDCBAABCD1111111平行正确的有不中则，若则，若则，若则，若则且若则命题平面、设直线babababababbaabbaabbababa//,////)5(//,//)4(//,//,//)3(//,//)2(//,,)1(,,,,2（2）、（4）、（5）√√体会练习3－4ABDMNACDABCNMABCD平面的重心，求证：和分别是、中，、在四面体//3DDAAMNBMNBDBBANMDCBAABCD1111111111//4平面求证：，＝上的点，和分别为、中，－、正方体体会学习体会1、线//面