第三讲-温度场的有限元分析

什么是插值函数、形函数？什么是应变矩阵、应力矩阵？什么是单元刚度矩阵？什么是整体刚度矩阵？有限元基本步骤？回顾第二讲插值函数（或位移函数）•用以表示单元内物理量变化（如位移或位移场）的近似函数。由于该近似函数常由单元节点物理量值插值构成，故称为插值函数，如单元内物理量为位移，则该函数称为位移函数。•选择位移函数的一般原则：1）位移函数在单元节点的值应等于节点位移（即单元内部是连续的）；2）所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解。注：为了便于微积分运算，位移函数一般采用多项式形式，在单元内选取适当阶次的多项式可得到与真实解接近的近似解位移函数的构造方法•广义坐标法一维单元位移函数：为待定系数，也称为广义坐标20112012()...(){1...}{...}nnnTnuxxxxuxxxx简记为i位移函数的构造方法•插值函数法即将位移函数表示为各个节点位移与已知插值基函数积的和。11221()()()...()niiuxNxuNxuNxu如一维单元二维单元注：Ni可为Lagrange、Hamiton多项式或形函数，在+1~-1间变化11(,)(,)niiniiuxyNuvxyNv第三讲温度场的有限元分析参考：《有限单元法在传热学中的应用》，孔祥谦编著，北京：科学出版社，第三版，1998.9（TK124/7）•传热基本原理•温度场基本方程推导•平面稳态温度场的有限元法－－基于变分原理（1）泛函与变分（2）平面稳态温度场的泛函（3）单元温度场分析（4）整体温度场方程•温度场方程传热基本原理•不稳定温度场：温度场不仅在空间上变化，并且也随时间变化的温度场：•稳定温度场：不随时间而变的温度场（即温度只是坐标的函数）：t,z,y,xfTz,y,xfT传热基本原理•等温面：空间具有相同温度点的组合面。•等温线：某个特殊平面与等温面相截的交线。•温度梯度：对于一定温度场，沿等温面或等温线某法线方向的温度变化率。温度梯度越大，图形上反映为等温面（或等温线）越密集。传热基本原理•上述偏微分方程式是传热学理论中的最基本公式，适合于包括铸造、焊接、热处理过程在内的所有热传导问题的数学描述，但在对具体热场进行求解时，除了上述偏微分方程外，还要根据具体问题给出导热体的初始条件与边界条件。传热基本原理对具体热场用上述微分方程进行求解时，需要根据具体问题给出导热体的初始条件与边界条件。•初始条件：初始条件是指物体开始导热时（即t=0时）的瞬时温度分布。•边界条件：边界条件是指导热体表面与周围介质间的热交换情况。传热基本原理•常见的边界条件有以下三类：第一类边界条件：给定物体表面温度随时间的变化关系第二类边界条件：给出通过物体表面的比热流随时间的变化关系第三类边界条件：给出物体周围介质温度以及物体表面与周围介质的换热系数•上述三类边界条件中，以第三类边界条件最为常见。＝nTfwTTtzyxqnT,,,)(tfTw传热基本原理h,h传热基本原理温度场基本方程推导•一般三维问题，物体各点的温度是坐标和时间变化的，即•热平衡原理：任一dt时间内，物体内任一微元体所积蓄的热量（即温度升高所需的热量）等于传入该微元体的热量与微元体内热源所产生的热量之和。即xxqqdxxxyzdxdzdyy•Qzzqqdzzyyqqdyyzqyqxq(,,,)TTxyzt•微元温度传入微元微元内•升高=的+产生•所需热量净热量的热量温度场基本方程推导•设微元在dt内，温度升高为：•相应所积蓄的热量为：•同一时间内，微元体沿x方向传入和传出的热量之差，即净热量为：•类似，y，z方向的净热量：•即传入微元体的净热量为：•由热传导定律：热流密度与温度梯度成正比，而方向相反，即：•代入上式得传入微元体净热量为：TTTdttTcdxdydzdtt()xxxxqqqdydzdtqdxdydzdtdxdydzdtxx,yzqqdxdydzdtdxdydzdtyz()yxzqqqdxdydzdtxyz,,xxyyzzTTTqkqkqkxyz[()()()]xyzTTTkkkdxdydzdtxxyyzz温度场基本方程推导•设微元体内有热源，其热源密度为Q(x,y,z,t)，则该热源在dt内所共给的热量为：•据热平衡得一般热传导微分方程：[()()()]xyzTTTTcdxdydzdtkkkdxdydzdtQdxdydzdttxxyyzzQdxdydzdt微元体温度升高所需的热量三个方向传入微元体的净热量微元体内热源产生的热量——物体密度c——比热，单位质量物体温度升高一度所需的热量——热传导系数,,xyzkkk温度场基本方程推导•整理得：•满足上述热传导方程的解有无限多个，为了确定真实的温度场，必须知道物体初始瞬态的温度分布，即初始条件，称为第一类边界条件•同时，还需知道物体表面与周围介质间进行热交换的规律，即边界条件，有三类边界条件。()()()0xyzTTTTckkkQtxxyyzz0(,,,)(,,)tTxyztTxyz温度场基本方程推导•1、三维瞬态热传导方程及边界条件•2、二维稳态热传导方程及边界条件112()()()0(,,,)(,)()xyzaTTTTckkkQtxxyyzzTxyztTtTkTTn在内在上在上112()()0(,,)(,)()xyaTTkkQxxyyTxytTtTkTTn在内在上在上若物体内无热源，则方程退化为二维无热源稳态热传导方程平面稳态温度场的有限元法•1、泛函与变分•函数y=f(x)求y的极值，即求微分，由dy=0可得。•泛函J=J[y(x)]函数y(x)为自变量，J为函数y的函数，称J为y的泛函，求泛函的极值，即求变分，由可得。•例：平面上AB两点，连接AB的曲线很多，要求一条曲线使重物靠自重由A沿此曲线滑到B所需的时间最短，即求最速下降曲线。•显然，AB间直线路径最短，但重物运动的速度增长并不是最大，即下滑的时间并非最短。0JxyvpBA设AB间有n条曲线，每条曲线对应一个时间，即T是y(x)函数，即泛函，求变分的极值则可得最速下降曲线()1,2,...iyxin1,2,...iTin平面稳态温度场的有限元法•1、泛函与变分平面稳态温度场的有限元法•1、泛函与变分平面稳态温度场的有限元法•1、泛函与变分平面稳态温度场的有限元法•1、泛函与变分平面稳态温度场的有限元法•1、泛函与变分平面稳态温度场的有限元法•1、泛函与变分平面稳态温度场的有限元法•1、泛函与变分平面稳态温度场的有限元法•1、泛函与变分平面稳态温度场的有限元法•2、平面稳态温度场的泛函第一类边界条件平面稳态温度场(,)(,)Txyfxy部分边界上的温度为已知22220TTxy22[(,)][()()]2kTTJTxydxdyxy(,)(,)Txyfxy平面稳态温度场的有限元法•2、平面稳态温度场的泛函第二类边界条件平面稳态温度场122[(,)][()()]2kTTJTxydxdyqTdsxy10Tkqn边界面上的热流密度q[w/m2]为已知22220TTxy平面稳态温度场的有限元法•2、平面稳态温度场的泛函第三类边界条件平面稳态温度场式中介质温度Ta,换热系数a,固体导热系数k均为常数12221[(,)][()()]()22akTTJTxydxdyTTTdsxy222210()aTTxyTkTTn在内在上平面稳态温度场的有限元法•2、平面稳态温度场的泛函具有内热源的平面稳态温度场1222[(,)][()()]221()2akTkTJTxyqTdxdyxyTTTds22221()0()aTTkqxyTkTTn在内在上平面稳态温度场的有限元法•2、平面稳态温度场的泛函•求满足平面温度场方程及边界条件的温度场T(x,y),设k为常数•据变分原理，此问题等价于求泛函J[T(x,y)]的极值函数，参考相关教材，可得上述热传导作为欧拉方程的相应泛函：222210()aTTxyTkTTn在内在上12221[(,)][()()]()22akTTJTxydxdyTTTdsxy求解域内部温度场相应的泛函求解域边界部分温度场相应的泛函平面稳态温度场的有限元法•3、温度场单元分析•图示求解域离散为若干三角形单元，含有边界的单元，称为边界单元，任取一个单元i,j,k,如图。•A、温度插值函数•在边界线(如ij)上的任一点的温度T，可用两个端点的节点温度线性插值表示：xyo123(,)Txyxy(,)eiijjkkTxyNTNTNTNT1()i,j,k2iiiiNabxcyA轮换(1)ijKKSSTTTSSjTxyoT(x,y)jikisiTkTksjss平面稳态温度场的有限元法•B、单元温度刚度矩阵•从温度场插值函数可知，温度场已离散到全部节点上，即求温度场实际是求节点的温度值。因而，泛函式实际已成为描述未知节点温度的多元函数，而不是温度场T(x,y)的函数，即问题转化为求多元函数的极值•设求解域有n个节点温度未知量，则泛函J[T(x,y)]转化为的形式，极值条件为：01,2,...eemmJJmnTT12[,...]nJTTT平面稳态温度场的有限元法•B、单元温度刚度矩阵•设单元只有三节点温度，jk为边界，将温度插值函数代入前述的泛函，并求导得极值条件：[()()]()0eiiieajjkJTTTTkdxdyTxTxyTyTTTT平面稳态温度场的有限元法•上式第一部分为内部单元的温度刚阵：1()i,j,k2iiiiNabxcyA轮换1()2jimijmiijjmmNNNTTTTTbTbTbxxxxA(,)(,)(,)(,)iijjmmTxyNxyTNxyTNxyT()2iiiNbTTxxA1()2jimijmiijjmmNNNTTTTTcTcTcyyyyA()2iiiNcTTyyA平面稳态温度场的有限元法•上式第一部分为内部单元的温度刚阵：•对于内部单元的温度刚阵，i,j,k三点轮换，记为矩阵形式：22[()()()]4eiiiijijjikikkiJkbcTbbccTbbccTTA22222204eiiiijijikikieeejjjkjkjjkkkekJTbcbbccbbccTJkbcbbccTHTTAbcTJT平面稳态温度场的有限元法•第二部分：•记为矩阵形式：•两部分相加可得边界单元的温度刚阵：()362iiiajkajjksssTTTTTTT1000036223ieeeiiijakiiaTsssTTHTpTssT1()0eeeeeeeHHTpHTp即平面稳态温度场的有限元法•3、整体温度场方程•为n个线性方程组，对于每个方程而言，是对绕节点m的所有单元求和，如图，节点5，则绕节点5的单