专题导数在研究函数性质中的应用及定积分二轮作业手册]1

第1页共20页专题限时集训(四)A[第4讲导数在研究函数性质中的应用及定积分](时间：10分钟＋35分钟)1．函数y＝x·ex的图象在点(1，e)处的切线方程为()A．y＝exB．y＝x－1＋eC．y＝－2ex＋3eD．y＝2ex－e2．已知函数f(x)的图象如图4－1所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是()图4－1A．0f′(2)f′(3)f(3)－f(2)B．0f′(3)f(3)－f(2)f′(2)C．0f′(3)f′(2)f(3)－f(2)D．0f(3)－f(2)f′(2)f′(3)3．设f(x)＝x2，x∈[0，1]，1x，x∈1，e](其中e为自然对数的底数)，则0ef(x)dx的值为()A.43B.54第2页共20页C.65D.764．若函数f(x)＝13x3－f′(1)x2＋x＋5，则f′(1)的值为()A．－2B．2C．－23D.231．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A．－9B．－3C．9D．152．若曲线f(x)＝xsinx＋1在x＝π2处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于()A．－2B．－1C．1D．23．已知函数f(x)＝cosxex，则函数f(x)的图象在点(0，f(0))处切线方程为()A．x－y＋1＝0B．x＋y－1＝0C．cosx·x＋y－1＝0D．ex·x＋cosx·y＋1＝04．抛物线x2＝2y和直线y＝x＋4所围成的封闭图形的面积是()A．16B．18C．20D．225．已知f(x)＝x3＋ax2－2x是奇函数，则其图象在点(1，f(1))处的切线方程为________．6.－3－21xdx＝________.第3页共20页7.已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R)．(1)若a＝2，求证：f(x)在(1，＋∞)上是增函数；(2)求f(x)在[1，e]上的最小值．8．已知函数f(x)＝(x2＋ax＋2)ex(x，a∈R)．(1)当a＝0时，求函数f(x)的图象在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)若函数y＝f(x)为单调函数，求实数a的取值范围；(3)当a＝－52时，求函数f(x)的极小值．第4页共20页第5页共20页专题限时集训(四)B[第4讲导数在研究函数性质中的应用及定积分](时间：10分钟＋35分钟)1．过点(0,1)且与曲线y＝x＋1x－1在点(3,2)处的切线垂直的直线的方程为()A．2x－y＋1＝0B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0D．x－2y＋2＝02．已知直线y＝x＋2与函数y＝ln(ex＋a)的图象相切，e为自然对数的底数，则a为()A.e2B．－e2C．2eD．－2e3．若a0，b0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()A．2B．3C．6D．94．如图4－2，设T是直线x＝－1，x＝2与函数y＝x2的图象在x轴上方围成的直角梯形区域，S是在T上函数y＝x2图象下方的点构成的区域(图中阴影部分)．向T中随机投一点，则该点落入S中的概率为()图4－2A.15B.25C.13D.12第6页共20页1．∫π20(x－sinx)dx等于()A.π24－1B.π28－1C.π28D.π28＋12．函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象如图4－3所示，则x21＋x22等于()图4－3A.89B.109C.169D.453．函数f(x)＝2x3＋3x2＋1x≤0，eaxx0在[－2,2]上的最大值为2，则a的范围是()A.12ln2，＋∞B.0，12ln2C．(－∞，0]D.－∞，12ln24．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，若f(x)在区间(－1,0)上单调递减，则a2＋b2的取值范围是()A.94，＋∞B.0，94C.95，＋∞D.0，95第7页共20页5．已知实数a为x2－2x7的展开式中x2的系数，则∫－32a1ex－1xdx＝________.6．设函数f(x)是定义在R上的可导偶函数，且图象关于点12，1对称，则f′(1)＋f′(2)＋f′(22)＋…＋f′(2100)＝________.7.已知函数f(x)＝1－axex(x0)，其中e为自然对数的底数．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与坐标轴围成的面积；(2)若函数f(x)存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为e5，求a的值．第8页共20页第9页共20页8．已知函数f(x)＝alnx－x2＋1.(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为4x－y＋b＝0，求实数a和b的值；(2)求证：f(x)≤0对任意x0恒成立的充要条件是a＝2；(3)若a0，且对任意x1、x2∈(0，＋∞)，都|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|，求a的取值范围．第10页共20页专题限时集训(四)A【基础演练】1．D【解析】因为y′＝ex＋xex，所以在点x＝1处函数的导数值是y′|x＝1＝e＋e＝2e，所以在点(1，e)处函数图象的切线方程是y－e＝2e(x－1)，即y＝2ex－e.2．B【解析】根据函数图象可得函数的导数是单调递减的，函数在[2,3]上的平均变化率小于在点2的瞬时变化率、大于在点3的瞬时变化率．所以0f′(3)f3－f23－2f′(2)，即0f′(3)f(3)－f(2)f′(2)．3．A【解析】0ef(x)dx＝01f(x)dx＋1ef(x)dx＝01x2dx＋1e1xdx＝13x3|10＋lnx|e1＝13＋1＝43.4．D【解析】由已知得f′(x)＝x2－2f′(1)x＋1⇒f′(1)＝1－2f′(1)＋1⇒f′(1)＝23.【提升训练】1．C【解析】因为y′＝3x2，所以k＝y′|x＝1＝3，所以过点P(1,12)的切线方程为y－12＝3(x－1)，即y＝3x＋9，所以与y轴交点的纵坐标为9.第11页共20页2．D【解析】f′(x)＝sinx＋xcosx，f′π2＝1，即曲线f(x)＝xsinx＋1在点x＝π2处的切线的斜率是1，而直线ax＋2y＋1＝0的斜率是－a2，所以－a2×1＝－1，解得a＝2.3．B【解析】由于f′(x)＝－sinx·ex－cosx·exe2x，所以f′(0)＝－1，又f(0)＝1，所以函数f(x)的图象在点(0，f(0))处切线方程为y－1＝－(x－0)，即x＋y－1＝0.4．B【解析】根据x2＝2y以及y＝x＋4，得x2－2x－8＝0，解得x＝－2、4，故所求的面积S＝4－2x＋4－12x2dx＝12x2＋4x－16x34－2＝24－646＋6－86＝18.5．x－y－2＝0【解析】函数f(x)是奇函数可得a＝0，此时f(x)＝x3－2x，所以f′(x)＝3x2－2，故所求切线的斜率是1，切点坐标是(1，－1)，切线方程是y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.6．ln32【解析】－3－21xdx＝ln|x||32＝ln3－ln2＝ln32.7．【解答】(1)当a＝2时，f(x)＝x2－2lnx，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＝2x2－1x0，第12页共20页所以f(x)在(1，＋∞)上是增函数．(2)f′(x)＝2x2－ax(x0)，当x∈[1，e]，2x2－a∈[2－a,2e2－a]．若a≤2，则当x∈[1，e]时，f′(x)≥0，所以f(x)在[1，e]上是增函数，又f(1)＝1，故函数f(x)在[1，e]上的最小值为1.若a≥2e2，则当x∈[1，e]时，f′(x)≤0，所以f(x)在[1，e]上是减函数，又f(e)＝e2－a，所以f(x)在[1，e]上的最小值为e2－a.若2a2e2，则：当1≤xa2时，f′(x)0，此时f(x)是减函数；当a2x≤e时，f′(x)0，此时f(x)是增函数．又fa2＝a2－a2lna2，所以f(x)在[1，e]上的最小值为a2－a2lna2.综上可知，当a≤2时，f(x)在[1，e]上的最小值为1；当2a2e2时，f(x)在[1，e]上的最小值为a2－a2lna2；当a≥2e2时，f(x)在[1，e]上的最小值为e2－a.8．【解答】f′(x)＝ex[x2＋(a＋2)x＋a＋2]第13页共20页(1)当a＝0时，f(x)＝(x2＋2)ex，f′(x)＝ex(x2＋2x＋2)，f(1)＝3e，f′(1)＝5e，∴函数f(x)的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为y－3e＝5e(x－1)，即5ex－y－2e＝0.(2)f′(x)＝ex[x2＋(a＋2)x＋a＋2]，考虑到ex0恒成立且x2系数为正，∴f(x)在R上单调等价于x2＋(a＋2)x＋a＋2≥0恒成立．∴(a＋2)2－4(a＋2)≤0，∴－2≤a≤2，即a的取值范围是[－2,2]，(3)当a＝－52时，f(x)＝x2－52x＋2ex，f′(x)＝exx2－12x－12，令f′(x)＝0，得x＝－12或x＝1，令f′(x)0，得x－12或x1，令f′(x)0，得－12x1，x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－∞，－12－12－12，11(1，＋∞)第14页共20页f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以，函数f(x)的极小值为f(1)＝12e.专题限时集训(四)B【基础演练】1．A【解析】y＝x＋1x－1＝1＋2x－1，则y′＝－2x－12在x＝3处的导数值为－12，故所求的直线的斜率是2，直线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.2．C【解析】对函数y＝ln(ex＋a)求导得y′＝eex＋a，令y′＝1，解得x＝e－ae，此时代入函数y＝ln(ex＋a)得y＝1，即切点坐标是e－ae，1，代入切线方程得1＝e－ae＋2，解得a＝2e.3．D【解析】f′(x)＝12x2－2ax－2b，∵f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝0，即12－2a－2b＝0，化简得a＋b＝6，∵a0，b0，∴ab≤a＋b22＝9，当且仅当a＝b＝3时，ab有最大值，第15页共20页最大值为9，故选D.4．B【解析】根据几何概型的意义，这个概率就是图中的阴影部分的面积和直角梯形面积之比．根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为2－1x2dx＝13x3|2－1＝3.直角梯形区域的面积是4＋12×3＝152，故所求的概率是3152＝25.【提升训练】1．B【解析】∫π20(x－sinx)dx＝12x2＋cosxπ20＝π28－1.2．C【解析】从函数图象上可知x1，x2为函数f(x)的极值点，根据函数图象经过的三个特殊点求出b，c，d，根据函数图象得d＝0，且f(－1)＝－1＋b－c＝0，f(2)＝8＋4b＋2c＝0，解得b＝－1，c＝－2，故f′(x)＝3x2－2x－2.根据韦达定理x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝49＋43＝169.3．D【解析】当x≤0时，f′(x)＝6x2＋6x，函数的极大值点是x＝－1，极小值点是x＝0，当x＝－1时，f(x)＝2，故只要在[0,2]上eax≤2即可，即ax≤ln2在(0,2]上恒成立，即a≤ln2x在(0,2]上恒成立，故a≤12ln2.4．C【解析】根据三次函数的特点，函数f(x)在(－第16页共20页1,0)上单调递减等价于函数f(x)的导数f′(x)＝3x2＋2ax＋b在区间(－1,0)上小于或者等于零恒成立，即3－2a＋b≤0且b≤0，把点(a，b)看作点的坐标，则上述不等式组表示的区域如下