欧拉公式的应用

欧拉公式应用欧拉公式的应用绪论本文首先介绍了一下欧拉公式以及推广的欧拉公式，对欧拉公式的特点作了简要的探讨．欧拉公式形式众多，在数学领域内的应用范围很广，本文对欧拉公式在三角函数中的应用作了详细的研究，欧拉公式在求三角级数中的应用中、在证明三角恒等式时、解三角方程的问题时、探求一些复杂的三角关系时，可以避免复杂的三角变换，利用较直观的代数运算使得问题得到解决．另一方面,利用欧拉公式大降幂，能够把高次幂的正余弦函数表示为一次幂函数的代数和,克服了高次幂函数在运算上的不方便．关键词：欧拉公式三角函数降幂级数三角级数欧拉公式应用i目录绪论...........................................错误!未定义书签。目录...........................................错误!未定义书签。一、绪论......................................................1二、欧拉公式的证明、特点、作用................................1三、欧拉公式在三角函数中的应用...............................4(一)倍角和半角的三角变换......................................4(二)积化和差与差化积的三角变换................................4(三)求三角表达式的值..........................................5(四)证明三角恒等式...........................................6(五)解三角方程...............................................7(六)利用公式求三角级数的和....................................7(七)探求一些复杂的三角关系式..................................8(八)解决一些方程根的问题......................................9(九)欧拉公式大降幂..........................................10结束语.......................................................15欧拉公式应用1一、绪论欧拉公式形式众多，有多面体欧拉公式、欧拉求和公式、cossiniei、欧拉积分等多种形式、立体几何、工程方面等方面．由于欧拉公式有多种形式，在数学领域中的应用范围很广，本文只介绍欧拉公式的一种形式“cossiniei”以及这种形式在数学中的应用．二、欧拉公式的证明、特点、作用1748年，欧拉在其著作中陈述出公式cossiniei，欧拉公式在数学的许多定理的证明和计算中，有着广泛的应用．它将定义和形式完全不同的指数函数和三角函数联系起来，为我们研究这两种函数的有关运算及其性质架起了一座桥梁．同时我们知道三角函数的恒等变换是中学数学中的一个重要内容，也是一个难点，但由于三角恒等变换所用公式众多，这便给解决三角变换问题带来了诸多不便．下面将通过欧拉公式，将三角函数化为复指数函数，从而将三角变换化为指数函数的代数运算，从而使得问题简单化，并给出了欧拉公式在其它几个方面的应用，在高等数学中的部分应用．欧拉公式cossiniei它的证明有各种不同的证明方法，好多《复变函数》教科书上，是以复幂级数为工具，定义复变指数函数和复变三角函数来进行证明的．下面我们介绍一种新的证明方法：极限法．证明令1nfzin,RnN．首先证明limcossinnfzi．因为arg1ninarctgnn，所以22211cossinnniinarctginarctgnnnn．从而222lim1lim1cossinnnnninarctginarctgnnnn．欧拉公式应用2i令222(1)nnpn，则2lnln12nnpn．把1n视为连续变量，由洛必达法则有2201limlnlimln12nnp2220lim01．即0lim1nnpe．ii令arg1nninnarctgn，则0limlimnnarctg．故limlim1cossinnnnfziin．其次证明liminfze．因为ln11nninien的主值支，所以ln1arg1ln1lim1limlimnniinininnnnnnieen，而,limln10limarg1nnnininn，故limlim1ninnfzien．于是便证得：cossiniei．欧拉公式还可以推广到以下形式：已知欧拉公式cossin1iei其中为实数，则cosRsinR由1式得cossiniei2欧拉公式应用3则12得：2coscos2iiiieeee12得：2sinsin2iiiieeeeii又因为sintancosiiiieeiee3coscotsiniiiiieeee4由此便得出最重要的四个公式．这些公式具有以下特点：1实质上，这些公式给出了三角函数的复指数形式，故代入三角变换中，便将三角运算化为指数函数的代数运算，使三角运算从多种思考方法化为单一思考方法，从而降低了三角变换的难度．2观察这几个公式，ie与ie互为倒数，积为1，这一过程常常在证明过程中被应用．3在以上公式的推导过程中，分别令2,,,,22，得到以下式子：221,1,,iiieeei221,1,iiieeei．欧拉公式的桥梁作用:(1)纯虚指数值可以通过三角函数值来计算例如cos1sin1iei，2cossin22ieii，cossin1iei，3233cossin22ieii，2cos2sin210,1,2kiekikk．欧拉公式应用4由欧拉公式可以看出，在复数域内，指数函数是周期函数，具有基本周期2i．(2)任何实数的三角函数可以用纯虚指数表示，从而通过指数函数来研究三角函数的性质．在欧拉公式中用代替，则cossiniei．由cossiniei，cossiniei得到cos,sin22iiiieeeei，由上式容易看出正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．(3)引出复数的指数表示法，从而使得复数的表示法增加为代数形式、三角形式和指数形式三种形式，便于我们酌情使用．三欧拉公式在三角函数中的应用(一)倍角和半角的三角变换在此类型的题目中，大都用到以下两个技巧：2222iiiieeee及21i．例1求证sin21cos2cot证左2222iiiieeiee2222sin221cos212iiiieeiee21iiiiiiiiiieeeeieeeeieecot右所以原式成立．(二)积化和差与差化积的三角变换例2计算：1coscos2cos2sxxnx解1coscos2cos2sxxnx120212nxinxixixixixinxieeeeeeee欧拉公式应用51222ixixnixnixeeee1122112211221nxinxinixixnixixixixeeeeeeee1sin212sin2nxx.所以原式等于1sin212sin2nxx．(三)求三角表达式的值例3已知tgxa，求3sinsin33coscos3xxxx的值:解原式333331223122xixiixixxixiixixeeeeiieeee223113()3xixixixixixixixixixixixieeeeeeieeeeee由tgxaxixixixieeaiee代入上式消去xixiee原式222xixixixiaeeee2112cosax对2222221cos1coscos1xatgxxxa欧拉公式应用6所以原式2112aa．(四)证明三角恒等式例4证明32sin22coscos2xxxtgtgxx为方便计算令2x,原式变为2sin23cos2cos4tgtg证明左边3333iiiiiiiieeeeieeiee3333331iiiiiiiiiiiieeeeeeeeieeee右边22224422iiiiiieeeeee2242242iiiiiieeieeee左边．例5求证：sin21costg证明22222iiiieetgiee而sin21cos212iiiiiiiieeeeieeiee2222222iiiiiieeeeiee2222iiiieeiee欧拉公式应用72tg．(五)解三角方程例6解方程120xy1sin2sinxy2解把120yx代入2得：sin2sin120xx．由欧拉公式得：223322ixixixixeeeei，经整理得：222331212iiixeee，21xie，xiei,cossinxixi，cos0,sin1xx．所以18090xk，代入1式得到18030yk，由此即得到方程的解．(六)利用公式求三角级数的和在三角级数中，按常规方法求和常常是很麻烦的，有时甚至求不出结果．而欧拉公式：sin2iieei，cos2iiee很好的解决了这类问题．例7求三角级数sinsin2sin3sinxxxnx的前几项和．解1sinnnkskx12ikxikxnkeei1112nnikxikxkkeei欧拉公式应用811112121ixinxixinxixixeeeeieie22