分数指数幂

12.7分数指数幂（1）教学目标1、理解分数指数幂的意义；能将方根与指数幂互化，体会转化思想.2、能在简单运算中运用有理数指数幂的性质进行计算.教学重点及难点重点：理解分数指数幂的意义，能将方根与指数幂互化.难点：能在简单运算中运用有理数指数幂的性质进行计算.教学过程设计一、情景引入1．回顾加法与减法互为逆运算，按照“减去一个数等于加上这个数的相反数”，减法可以转化为加法；同样，除法也可以转化为乘法.那么对互为逆运算的乘方与开方，能否将开方运算转化为某种乘方形式的运算呢？2．思考：把32表示为2的m次幂的形式解：假设m223成立，那么333)2()2(m左边=21，右边=m32要使左边=右边成立，则13m，即31m所以31322[说明]因为2的任何整数指数幂都是有理数，而32是一个无理数，可知m不是整数.因此必须将指数的取值范围扩大，才有可能把32表示为m2的形式.3．讨论通过31322的转化，学生讨论方根与幂的形式如何互化？二、学习新课1．概念辨析（1）分数指数幂)0(1)0(aaaaaanmnmnmnm（其中m、n为整数，1n）.上面规定中的nma和nma叫做分数指数幂，a是底数.[说明]指数的取值范围扩大到有理数后，方根就可以表示为幂的形式，开方运算可以转化为乘方形式的运算.方根与幂的形式互化过程，以如下表格说明注意事项：方根nma分数指数幂nmaaa被开方数ma的底数底数负数没有偶次方根，所以m、n互素时，n为奇数时，a可为负数；n为偶数时，a为非负数.m被开方数ma的指数指数的分子部分n根指数指数的分母部分（2）有理数指数幂整数指数幂和分数指数幂统称有理数指数幂.（3）有理数指数幂的运算性质：设0a，0b，p、q为有理数，那么（ⅰ）qpqpaaa，qpqpaaa（ⅱ）pqqpaa)(（ⅲ）pppbaab)(，pppbaba)(2．例题分析例1把下列方根化为幂的形式：（1）35；（2）3251；（3）435；（4）49解：（1）31355（2）3232551（3）434355（4）)3339(992142424414＝＝＝或例2计算：（1）4181；（2）31)81(；解：（1）333)3(81141441441（2）21)21(])21[()81(313313313．问题拓展例3计算：（1）31)278(；（2）212182解：（1）6632)32()278(313313313331＝＝）＝（（2）44416828221221221212121＝＝）＝（＝）＝（[说明]在教学中，要注意以下几点：（1）例1为开方运算向乘方运算转化.在方根转化为幂指数的形式中，根指数在幂指数中作分母，这是学生容易出错的地方，应引起注意.（2）例2利用有理数指数幂的运算法则进行计算，与整数指数幂的运算法则进行比较，这样学生比较容易理解.（3）例3是为了熟练有理数指数幂的运算性质，两小题分别是积的乘法公式互逆运用的举例，其中（1）题解法也可以化成（2）题进行这样计算：632)3()2(2783133133131.三、巩固练习1、课本P练习12.7（1）2、把下列方根化为幂的形式：（1）46（2）537（3）4331（4）3253、计算：（1）62131)23(（2）384323)52(（3）2146)53(（4）313193四、课堂小结带领学生总结本课知识的过程中，提出两点要求：1、在理解分数指数幂意义的基础上能熟练将方根与指数幂互化；2、能在简单运算中熟练地综合运用有理数指数幂的性质（同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方）进行计算，法则不变.五、作业布置练习册P12-13，习题12.7（1）教学设计说明分数指数幂的产生是运用转化思想获得成功的范例.本节开头所述，减法可转化为加法运算，除法可以转化为乘法运算，因此试图将开方运算转化为乘方运算.在保持整数幂运算性质的前提下，探讨指数的范围，从而产生了分数指数幂.在教学中例题的选择上由浅入深，由概念的理解到运算性质的熟练运用，计算题的设计也是由易到难，并与整数指数幂的运算法则进行比较，这样学生比较容易理解，能够轻松掌握此部分知识点.