2011-2012年高考总复习一轮名师精讲课件：第18讲同角三角函数基本关系与诱导公式

•第十八讲•同角三角函数基本关系与诱导公式回归课本1.同角三角函数关系式是由三角函数的定义推导出来的，各恒等式“恒等”的含义是使各三角函数及各式有意义．2．同角三角函数关系式平方关系sin2α＋cos2α＝1倒数关系tanα·cotα＝1商数关系tanα＝sinαcosα•3．诱导公式产生的背景：将角的范围扩展到实数集，又给予三角函数的定义后，由于在0°～90°间的角的三角函数值可以通过查表的方式求得，因此需要用公式将任意角转化为0°～90°间的角．•设0°≤α≤90°，那么90°～180°间的角用α写成180°－α或90°＋α，180°～270°间的夹角用α写成180°＋α或270°－α，270°～360°间的角用α写成360°－α或270°＋α，以上写成的这些角的终边与α的终边可能不同，但它们的同名三角函数值只是符号上的差异，这给我们解决问题带来了许多方便．4．记忆诱导公式常用口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．其中，“奇、偶”是指“kπ2±α”(k∈R)中k的奇偶性，“符号”是把任意角α看成锐角时原函数值的符号．5．角α的终边与角180°＋α的终边关于原点对称，角α的终边与角－α的终边关于x轴对称．6．诱导公式的应用：求值、化简、证明．考点陪练1.α是第四象限角，tanα＝－512，则sinα＝()A.15B．－15C.513D．－513解析：由tanα＝sinαcosα＝－512，sin2α＋cos2α＝1，及α是第四象限角，解得sinα＝－513，cosα＝1213.•答案：D2．以下各式中可能成立的是()A．sinα＝cosα＝12B．cosα＝13且tanα＝2C．sinα＝12且tanα＝33D．tanα＝2且cotα＝－12解析：由sin2α＋cos2α≠1知A错．由tanα·cotα≠1，∴D错．由tanα＝2知sinα＝25，又cosα＝13，∵sin2α＋cos2α≠1，∴B错．由sinα＝12得cosα＝±32，∴tanα＝±33，当α为第一象限角时有tanα＝33，故选C.•答案：C•答案：A3．化简cotα－4π·cosα＋π·sin2α－3πtanπ＋α·cos3－α－π的结果是()A．1B．0C．－1D.12解析：原式＝cotα－cosα－sinα2tanα－cosα3＝cotαtanαtan2α＝1.•答案：C4．cos－796π的值为()A．－12B.12C．－32D.32解析：cos－796π＝cos796π＝cos13π＋π6＝－cosπ6＝－32，故选C.•5．(2011·天津十二区县重点学校联考)下列各选项中，与cos2008°最接近的数是()•答案：CA.32B.22C．－32D．－22解析：cos2008°＝cos(360°×6－152°)＝cos152°，故cos2008°≈cos150°＝－32.•类型一利用同角三角函数的基本关系式化简、求值•解题准备：所谓化简就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是使项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值．【典例1】化简1－cos4α－sin4α1－cos6α－sin6α.[解析]由于表达式中涉及到的函数都是同一个角α的三角函数，故考虑采用同角三角函数基本关系式进行化简，又注意到次数比较高，故考虑到降次．原式＝sin2α＋cos2α2－cos4α－sin4αsin2α＋cos2α3－cos6α－sin6α＝2cos2α·sin2α3cos2α·sin2αcos2α＋sin2α＝23.•[点评]利用同角三角函数的基本关系式化简三角表达式除从正面直接利用公式外，还要特别注意公式的逆用以及变形应用，常用到的两个技巧为：一是“1”的代换：平方关系的代换即1＝sin2α＋cos2α；倒数关系的代换即1＝tanα·cotα；二是“弦切互化”：把三角表达式中的弦函数化为切函数或者把切函数化为弦函数，究竟用哪种变化，由具体问题决定．探究：已知tanαtanα－6＝－1，求下列各式的值：(1)sin2α－3sinαcosα＋4cos2α；(2)2cosα－3sinα3cosα＋4sinα.解析：由tanαtanα－6＝－1⇒tanα＝－tanα＋6⇒tanα＝3.(1)sin2α－3sinαcosα＋4cos2α＝sin2α－3sinαcosα＋4cos2αsin2α＋cos2α＝tan2α－3tanα＋4tan2α＋1＝25.(2)2cosα－3sinα3cosα＋4sinα＝2－3tanα3＋4tanα＝－715.•类型二利用同角三角函数的基本关系式证明恒等式•解题准备：三角恒等式的证明方法灵活多样，可总结如下：•①从一边开始直接推证等于另一边，一般地，如果所证等式一边比较繁而另一边比较简时，多采用此法即由繁到简．•②左右归一法，即将所证恒等式左、右两边同时推导变形，直接推得左右两边等于同一个式子．③比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“左边右边＝1”．④分析法，从被证的等式出发，逐步地探求使等式成立的充分条件，一直到已知条件或显然成立的结论为止，就可以判断原等式成立．【典例2】求证：cosα1－sinα＝1＋sinαcosα.[证明]证法一：左边＝cos2αcosα1－sinα＝1－sin2αcosα1－sinα＝1－sinα1＋sinαcosα1－sinα＝1＋sinαcosα＝右边．证法二：右边＝1＋sinα1－sinαcosα1－sinα＝1－sin2αcosα1－sinα＝cos2αcosα1－sinα＝cosα1－sinα＝左边．证法三：左边＝cos2αcosα1－sinα，右边＝1＋sinα1－sinαcosα1－sinα＝1－sin2αcosα1－sinα＝cos2αcosα1－sinα，∴左边＝右边，∴等式成立．证法四：∵cosα1－sinα－1＋sinαcosα＝cos2α－1＋sinα1－sinαcosα1－sinα＝cos2α－1－sin2αcosα1－sinα＝cos2α－cos2αcosα1－sinα＝0，∴cosα1－sinα＝1＋sinαcosα.证法五：左边＝cosα1－sinα＝cosα1＋sinα1－sinα1＋sinα＝cosα1＋sinα1－sin2α＝1＋sinαcosα＝右边．证法六：∵(1－sinα)(1＋sinα)＝1－sin2α＝cos2α，∴cosα1－sinα＝1＋sinαcosα.证法七：若证cosα1－sinα＝1＋sinαcosα成立，只需证cosα·cosα＝(1－sinα)(1＋sinα)，即证cos2α＝1－sin2α，此式成立，∴原等式成立．•[点评]同角三角函数的基本关系式的两种关系中平方关系应用最多，变化也最多，在证明同角的三角恒等式时，往往方法众多，要注意合理运用相关公式与结论，选择恰当的方法及变形证明．•类型三利用诱导公式化简求值•解题准备：三角函数的诱导公式为我们进行三角函数的求值提供了有利的方法及依据，在做题过程中，应熟练掌握“奇变偶不变，符号看象限”的原则．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：•任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→•0°～360°的角的三角函数→锐角三角函数【典例3】求值：(1)sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1；(2)sin[k＋1π＋θ]cos[k＋1π－θ]sinkπ－θcoskπ＋θ(k∈Z)．[解析](1)原式＝sin2α－(－cosα)·cosα＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2.(2)当k＝2n(n∈Z)时，原式＝sin[2n＋1π＋θ]cos[2n＋1π－θ]sin2nπ－θcos2nπ＋θ＝－sinθ－cosθ－sinθcosθ＝－1.当k＝2n＋1(n∈Z)时，原式＝sin[2n＋2π＋θ]cos[2n＋2π－θ]sin2nπ＋π－θcos2nπ＋π＋θ＝sinθcosθsinθ－cosθ＝－1.总之对任意k∈Z，原式＝－1.•[点评](1)掌握诱导公式，关键掌握函数名及符号，口诀“奇变偶不变，符号看象限”．•(2)k是奇数还是偶数，直接影响到用哪组诱导公式．•类型四同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用•解题准备：已知角α的三角函数值求角α的一般步骤是：①由三角函数值的符号确定角α所在的象限；②据角α所在的象限求出角α的最小正角；③最后利用终边相同的角写出角α的一般表达式．【典例4】已知sin(3π－α)＝2cos3π2＋β和3cos(－α)＝－2cos(π＋β)，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值．[解析]已知条件可转化为sinα＝2sinβ①3cosα＝2cosβ②由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2(sin2β＋cos2β)＝2即sin2α＋3(1－sin2α)＝2∴sin2α＝12sinα＝±22∵0＜α＜π∴sinα＝22∴α＝π4或3π4把α＝π4，α＝3π4分别代入②，得cosβ＝32cosβ＝－32又0＜β＜π∴β＝π6或β＝5π6因此α＝π4，β＝π6或α＝3π4，β＝5π6.•快速解题•技法已知θ∈(0，π)，且sinθ，cosθ是方程25x2－5x－12＝0的两个根，求sin3θ＋cos3θ和tanθ－cotθ的值．快解：方程25x2－5x－12＝0的两根分别为45和－35，∵θ∈(0，π)，∴sinθ0，cosθ0，则sinθ＝45，cosθ＝－35，∴sin3θ＋cos3θ＝453＋－353＝64125－27125＝37125.tanθ－cotθ＝sinθcosθ－cosθsinθ＝45－35－－3545＝－43＋34＝－712.