立体几何证明方法汇总

1EBCDAP①中位线定理例题：已知如图：平行四边形ABCD中，6BC，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点．（１）求证：GH∥平面CDE；（２）若2,42CDDB，求四棱锥F-ABCD的体积．练习：1、如下图所示：在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点。求证：AC1∥平面CDB1；2.如图，1111DCBAABCD是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点。（1）求证：//1BD平面DEC1；（2）求三棱锥BCDD1的体积.3、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，4,3PDDC，E是PC的中点。（1）证明：//PABDE平面；（2）求PAD以PA为轴旋转所围成的几何体体积。EA1B1C1D1DCBA_H_G_D_A_B_CEF2GPABCDFEABCDEF例2、如图,在矩形ABCD中,2ABBC,,PQ分别为线段,ABCD的中点,EP⊥平面ABCD.求证:AQ∥平面CEP；（利用平行四边形）练习：①如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，E、F分别是AB、PD的中点。求证：AF∥平面PCE；②如图，已知P是矩形ABCD所在平面外一点，ABCD平面PD，M，N分别是AB，PC中点。求证：//PADMN平面PABCDMN③如图，已知AB平面ACD，DE//AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点.⑴求证：AF//平面BCE；④、已知正方体ABCD-1111DCBA，O是底ABCD对角线的交点.求证：//1OC面11ABD．D1ODBAC1B1A1C3ABCDEF③比例关系例题3、P是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是PB、BC上的点，且NCBNPMBM,求证：MN//平面PCD(利用比例关系)练习：如图，四边形ABCD为正方形，EA平面ABCD，//EFAB，=4,=2,=1ABAEEF.（Ⅱ）若点M在线段AC上，且满足14CMCA,求证：//EM平面FBC；④面面平行-线面平行例题4、如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=90,AD=3,EF=2。（Ⅰ）求证：平面ABE//平面CDF（II）求证：AE//平面DCF；（利用面面平行-线面平行）练习：1、如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，2PDAB，E，F，G分别为PC、PD、BC的中点．（1）求证：；EFGPA面//；（2）求三棱锥PEFG的体积．DACBEFM4EBACNDFM1A1C1BEFGACB2、如图,在直三棱柱111ABCABC中,090ACB，,,EFG分别是11,,AAACBB的中点，且1CGCG.(Ⅰ)求证：//CGBEF平面；3、如图所示,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,,//,22ADCDABCDCDABAD.在EC上找一点M,使得//BM平面ADEF,请确定M点的位置,并给出证明．4、（2012山东文）如图，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，,CBCDECBD.(Ⅰ)求证：BEDE；(Ⅱ)若∠120BCD，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.5例题：如图，已知四棱锥ABCDP。若底面ABCD为平行四边形，E为PC的中点，在DE上取点F，过AP和点F的平面与平面BDE的交线为FG，求证：FGAP//。证明：连AC与BD，设交点为O，连OE。练习：1、如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，60BAD，N是PB中点，过A、N、D三点的平面交PC于M．求证：//ADMN；2、（2012浙江高考）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=2。AD=2，BC=4,AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点。（1）证明：EF∥A1D1；3.如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD平面BCE，BEEC.（1）求证：平面AEC平面ABE；(面面垂直性质)（2）点F在BE上，若DE//平面ACF，求BEBF的值。（线面平行的性质21）DABCPMN6例、如图，在正方体1111ABCDABCD中，E、F、G分别是AB、AD、11CD的中点.求证：平面1DEF∥平面BDG.练习：如图所示，在正方体ABCD-1111DCBA中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A的中点.求证：（1）EG∥平面BB1D1D；（2）平面BDF∥平面B1D1H.例题：已知在正方体ABCD-1111DCBA中，E,F分别是1111ADDC和上的点，点P在正方体外，平面PEF与正方体相交于AC，求证：ABCD//平面EFABCDA1B1C1D17ACBPACBDPMFEABCDG①菱形的对角线互相垂直：例题。已知E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面。求证：EF⊥平面GMC．练习：如图ABCD-1111DCBA是底面为正方形的长方体，求证：（1）BD平面AACC1（2）1ACBD②等腰三角形底边的中线垂直底边例1、如图，在三棱锥PABC中，2ACBC，90ACB，APBPAB，PCAC．求证：PCAB；练习：1、在三棱锥A-BCD中，AB=AC,BD=DC,求证：ADBCABCDABCD8③圆的直径所对的圆周角为直角例题3、如图AB是圆O的直径，C是圆周上异于A、B的任意一点，PA平面ABC，（1）图中共有多少个直角三角形？（2）若PCAH,且AH与PC交于H，求证：AH平面PBC.④利用勾股定理例4、在长方体1111DCBAABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱21AA，E是侧棱1BB的中点。求证：AE平面11ADE；证明：1111DCBAABCD为长方体，练习：如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，2,1,PDPACDPA,求证：（1）PA平面ABCD（2）求四棱锥P-ABCD的体积.⑤间接法，用线面垂直的性质定理（blbbl,）例题：如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，60DAB，ABCDPDADAB底面,2，证明：BDPA;练习1：如图，在直三棱柱111ABCABC中，AC=3，BC=4，AB=5，14AA，点D是AB的中点。（Ⅰ）求证：1ACBC；D1C1B1A1EDCBABCDPAPACBHOa2aBDCAp9练习2：如图，四边形ABCD为矩形，BC平面ABE，F为CE上的点，且BF平面ACE.求证：BEAE；证明：因为ABEBC平面，ABEAE平面，例1如图，AB是⊙O的直径，PA垂直⊙O所在的平面，C是圆上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.练习1：如图，棱柱111ABCABC的侧面11BCCB是菱形，11BCAB2、如图，在直三棱柱111ABCABC中，E、F分别是1AB、1AC的中点，点D在11BC上，11ADBC。求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面1AFD平面11BBCC.3、如图，ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，BK⊥SC于K，连结DK，求证（1）平面SBC⊥平面KBDsACKDABCDEF10例1：如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD,O为AD中点.，求证:PO⊥平面ABCD；例2：如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是060DAB且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．（1）若G为AD的中点，求证：BG平面PAD；（2）求证：ADPB；练习：1、如图AB是圆O的直径，C是圆周上异于A、B的任意一点，PA平面ABC，（1）图中共有多少个直角三角形？（2）若PCAH,且AH与PC交于H，求证：平面PAC平面PBC.(3)AH平面PBC2、在四棱锥ABCDP中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点.求证：平面BEF⊥平面PAD3、如图，正方形ABCD所在平面与以AB为直径的半圆O所在平面ABEF互相垂直，P为半圆周上异于A，B两点的任一点，求证：○1直线AP⊥平面PBC。②平面PBC⊥平面APCABHOFEACDBPC11FGBDEAC4、如图，三角形ABC中，AC=BC=AB22，ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥底面ABC，且，若G、F分别是EC、BD的中点，（Ⅰ）求证：GF//底面ABC；（Ⅱ）求几何体ADEBC的体积V。5、如图，ABCD，，，为空间四点．在ABC△中，22ABACBC，．等边三角形ADB以AB为轴运动．（Ⅰ）当平面ADB平面ABC时，求CD；五、体积问题1.如图，1111DCBAABCD是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点。（1）求证：//1BD平面DEC1；（2）求三棱锥BCDD1的体积.EA1B1C1D1DCBADBAC12A1B1C1D1ABCDEABCDOP练习1：三棱锥PABC中，PAC和PBC都是边长为2的等边三角形，2AB，OD、分别是ABPB、的中点．（1）求证：//OD平面PAC（2）求证：平面PAB⊥平面ABC；（3）求三棱锥APBC的体积．2、如图,长方体1111DCBAABCD中，11AAAB,2AD,E是BC的中点.(I)求证：平面AEA1平面DED1；(II)求三棱锥DEAA1的体积.3、如图，在四棱锥P-ABCD中，，垂直于底面ABCDPD底面ABCD是直角梯形，,90,//oBADABDC且4222PDDCADAB（单位：cm），Ｅ为ＰＡ的中点。（１）如图，若主视方向与ＡＤ平行，请作出该几何体的左视图并求出左视图面积；（２）证明：PBC//平面DE；DCABPED134、已知某几何体的直观图(图1)与它的三视图(图2)，其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形.已知D是这个几何体的棱11CA上的中点。（Ⅰ）求出该几何体的体积；（33）（Ⅱ）求证：直线11//BCABD平面；(Ⅲ)求证:平面DAADAB11平面.5、已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，（Ⅰ）求这个组合体的体积；（Ⅱ）若组合体的底部几何体记为1111DCBAABCD，其中BABA11为正方形.（i）求证：DCABBA111平面；（ii）求证：P为棱11BA上一点，求1PCAP的最小值.CABC1A1B1D3314A例题CDEPFB六:等体积法求高（距离）：h如：三棱锥V1BECF=V1EFCB31S1BECh=31S1EFCBE例题（2010广东文数）如图，弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC平面BED,FB=a5（1）证明：EBFD（2）求点B到平面FED的距离.练习1：已知ABC―A1B1C1是正三棱柱，棱长均为5，E、F分别是AC、A1C1的中点，（1）求证：平面AB1F∥平面BEC1（2）求点A到平面BEC1间的距离2、如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD；四边形ABCD是菱形，边长为2，60BCD，经过AC作与PD平行的平面交PB与点E，ABCD的两对角线交点为F．（Ⅰ）求证：ACDE；（Ⅱ）若3EF，求点D到平面PBC的距离．BACA1B1C1FE15ABCPD3、如图4，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC∥，PAD△是等边三角形，已知24BDAD，225ABDC．（1）求证：BD平面PAD；（2）求三棱锥APCD的体