立体几何证明题(文科)

[键入公司地址]1立体几何1.如图：梯形ABCD和正△PAB所在平面互相垂直，其中//,ABDC12ADCDAB，且O为AB中点.(I)求证：//BC平面POD；(II)求证：ACPD.2.如图，菱形ABCD的边长为6，60BAD,ACBDO.将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥BACD,点M是棱BC的中点，32DM.（Ⅰ）求证：//OM平面ABD；（Ⅱ）求证：平面ABC平面MDO；（Ⅲ）求三棱锥MABD的体积.BACDOPABABCCDMODO[键入公司地址]2ECABDP3.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，BC=12AD，PA=PD，Q为AD的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBQ；（Ⅱ）若点M在棱PC上，设PM=tMC，试确定t的值，使得PA//平面BMQ．4.已知四棱锥PABCD的底面是菱形．PBPD，E为PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面PAC平面BDE．PABCDABCDPABCDQM[键入公司地址]35.已知直三棱柱111CBAABC的所有棱长都相等，且FED,,分别为11,,AABBBC的中点.(I)求证：平面//1FCB平面EAD；（II）求证：1BC平面EAD.6.如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，90ADE，DEAF//，22AFDADE.(Ⅰ)求证：AC平面BDE；(Ⅱ)求证：//AC平面BEF；（Ⅲ）求四面体BDEF的体积.D1CFEBAC1A1BABCDFE[键入公司地址]47.如图，在四棱锥ABCDP中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF//平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD.8.如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=12PD．（I）证明：PQ⊥平面DCQ；（II）求棱锥Q—ABCD的的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值．(16)第题图[键入公司地址]59.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°。（1）证明：平面ＡＤＢ⊥平面ＢＤＣ；（2）设BD=1，求三棱锥D—ＡＢＣ的表面积。[键入公司地址]6参考答案：1.证明:(I)因为O为AB中点，所以1,2BOAB…………………1分又//,ABCD12CDAB，所以有,//,CDBOCDBO…………………2分所以ODCB为平行四边形,所以//,BCOD…………………3分又DO平面,PODBC平面,POD所以//BC平面POD.…………………5分(II)连接OC.因为,//,CDBOAOCDAO所以ADCO为平行四边形，…………………6分又ADCD,所以ADCO为菱形，所以ACDO，…………………7分因为正三角形PAB,O为AB中点，所以POAB，…………………8分又因为平面ABCD平面PAB,平面ABCD平面PABAB，所以PO平面ABCD，…………………10分而AC平面ABCD，所以POAC，BACDOP[键入公司地址]7又PODOO，所以AC平面POD.…………………12分又PD平面POD，所以ACPD.…………………13分2.（Ⅰ）证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，所以O是AC的中点.又点M是棱BC的中点，所以OM是ABC的中位线，//OMAB.……………2分因为OM平面ABD,AB平面ABD，所以//OM平面ABD.……………4分（Ⅱ）证明：由题意，3OMOD,因为32DM,所以90DOM，ODOM.……………6分又因为菱形ABCD，所以ODAC.…………7分因为OMACO,所以OD平面ABC，……………8分因为OD平面MDO，所以平面ABC平面MDO.……………9分（Ⅲ）解：三棱锥MABD的体积等于三棱锥DABM的体积.……………10分由（Ⅱ）知，OD平面ABC，所以3OD为三棱锥DABM的高.……………11分ABM的面积为11393sin120632222BABM，……………12分所求体积等于19332ABMSOD.……………13分3.证明：（Ⅰ）AD//BC，BC=12AD，Q为AD的中点，ABCMOD[键入公司地址]8∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD//BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD．∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．……………………6分（Ⅱ）当1t时，PA//平面BMQ．连接AC，交BQ于N，连接MN．∵BC//12DQ，∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，∵点M是线段PC的中点，∴MN//PA．∵MN平面BMQ，PA平面BMQ，∴PA//平面BMQ．……………………13分4.（Ⅰ）证明：因为E，O分别为PA，AC的中点，所以EO∥PC．因为EO平面BDEPC平面BDEPABCDQMN[键入公司地址]9OECDBAP所以PC∥平面BDE．……………………6分（Ⅱ）证明：连结OP因为PBPD，所以OPBD．在菱形ABCD中，BDAC因为OPACO所以BD平面PAC因为BD平面BDE所以平面PAC平面BDE．……………………13分5.（Ⅰ）由已知可得1//AFBE，1AFBE，四边形EAFB1是平行四边形，1//FBAE，……………1分AE平面FCB1，1FB平面FCB1，//AE平面FCB1；……………2分又ED,分别是1,BBBC的中点，CBDE1//，……………3分ED平面FCB1，1BC平面FCB1，//ED平面FCB1；……………4分,AEDEEAE平面EAD，ED平面EAD，……………5分平面FCB1∥平面EAD.……………6分[键入公司地址]10(Ⅱ)三棱柱111CBAABC是直三棱柱，CC1面ABC，又AD面ABC，CC1AD.……………7分又直三棱柱111CBAABC的所有棱长都相等，D是BC边中点，ABC是正三角形，BCAD，……………8分而1CCBCC，1CC面11BBCC，BC面11BBCC，AD面11BBCC，……………9分故1ADBC.……………10分四边形11BCCB是菱形，CBBC11，……………11分而CBDE1//，故1DEBC,……………12分由DDEADAD，面EAD，ED面EAD，得1BC面EAD.……………13分6.(Ⅰ)证明：因为平面ABCD平面ADEF，90ADE，所以DE平面ABCD，…………………2分所以ACDE.…………………3分因为ABCD是正方形，所以BDAC，所以AC平面BDE.…………………4分(Ⅱ)证明：设ACBDO，取BE中点G，连结OGFG,，所以，OG//12DE.……………………5分因为DEAF//，AFDE2，所以AF//OG，……………………6分从而四边形AFGO是平行四边形，AOFG//.……………………7分因为FG平面BEF,AO平面BEF,……………………8分所以//AO平面BEF，即//AC平面BEF.……………………9分[键入公司地址]11（Ⅲ）解：因为平面ABCD平面ADEF，ABAD,所以AB平面ADEF.……………………11分因为DEAF//,90ADE,22AFDADE，所以DEF的面积为122EDAD，……………………12分所以四面体BDEF的体积ABSDEF3143.……………………13分7.答案：（1）因为E、F分别是AP、AD的中点，,EFPD又,PDPCDEFPCD面面直线EF//平面PCD（2）连接BDAB=AD,BAD=60,ABD为正三角形F是AD的中点，,BFAD又平面PAD⊥平面ABCD，PADABCDAD,面面＝,BFPADBFBEF面面所以，平面BEF⊥平面PAD.8.解：（I）由条件知PDAQ为直角梯形因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=22PD，则PQ⊥QD所以PQ⊥平面DCQ.………………6分（II）设AB=a.由题设知AQ为棱锥Q—ABCD的高，所以棱锥Q—ABCD的体积311.3Va[键入公司地址]12由（I）知PQ为棱锥P—DCQ的高，而PQ=2a，△DCQ的面积为222a，所以棱锥P—DCQ的体积为321.3Va故棱锥Q—ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值为1.…………12分9.1）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，∴当ΔＡＢＤ折起后，AD⊥ＤＣ，AD⊥ＤＢ，又DBＤＣ＝Ｄ，∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ，又∵AD平面BDC.∴平面ABD⊥平面BDC．（2）由（1）知，DADB,DBDC,DCDA,DB=DA=DC=1，AB=BC=CA=2,1111,22DAMDBCDCASSS1322sin6022ABCS∴三棱锥D—ＡＢＣ的表面积是13333.222S