立体几何题型与方法(文科)

共11页第1页立体几何题型与方法一、考点回顾1．平面（1）平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。（2）证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内），这样，可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。（3）证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。（4）经过不在同一条直线上的三点确定一个面.2.空间直线.（1）空间直线位置分三种：相交、平行、异面.相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内。（2）异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）（3）平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.（4）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.（5）空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.21,ll是异面直线，则过21,ll外一点P，过点P且与21,ll都平行平面有一个或没有，但与21,ll距离相等的点在同一平面内.（l1或l2在这个做出的平面内不能叫l1与l2平行的平面）3.直线与平面平行、直线与平面垂直.（1）空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.（2）直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）（3）直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）共11页第2页（4）直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.若PA⊥，a⊥AO，得a⊥PO（三垂线定理），得不出⊥PO.因为a⊥PO，但PO不垂直OA.4.平面平行与平面垂直.（1）空间两个平面的位置关系：相交、平行.（2）平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.（3）两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）（4）两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）（5）两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.5.锥、棱柱.（1）棱柱性质①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．．．．．.②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形.③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱.（×）（直棱柱不能保证底面是钜形可如图）②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.POAa共11页第3页（2）棱锥性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.（3）球：球的截面是一个圆面.球的表面积公式：24RS.②球的体积公式：334RV.附：①圆柱体积：hrV2（r为半径，h为高）②圆锥体积：hrV231（r为半径，h为高）③锥形体积：ShV31（S为底面积，h为高）（1）①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a，ah36，243aS底，243aS侧，得RaRaaa2224331433643aaaR46342334/42.注：球内切于四面体：hSRS313RS31V底底侧ACDB。②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.二、经典例题剖析例题1.如图，在棱长为2的正方体ABNBCMBDODCBAABCD为的中点为的中点为中,,,11111的中点，P为BB1的中点.（I）求证：CBBD11；（II）求证MNPBD平面1；（III）求异面直线MCOB11与所成角的余弦.OrOR共11页第4页P)(PAABCDDCB图5直观图俯视图2.如图6，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE平面CDE，且3AE，6AB．（1）求证：AB平面ADE；（2）求凸多面体ABCDE的体积．3.如图，四棱锥ABCDP，PAB≌CBA，在它的俯视图ABCD中，CDBC，1AD，60BADBCD．⑴求证：PBC是直角三角形；⑵求四棱锥PABCD的体积．练习：1.一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图是一个边长为2的正三角形，俯视图是一正方形，那么该几何体的侧视图的面积为()A．1B．2C．3D．4ABCDE图5共11页第5页俯视图正视图51210侧视图图1俯视图66665正视图侧视图图152.某型号儿童蛋糕上半部分是半球，下半部分是圆锥，三视图如图1，则该型号蛋糕的表面积S()A．115B．110C．105D．1003.一个底部水平放置的几何体，下半部分是圆柱，上半部分是正四棱锥，其三视图如图1所示，则这个几何体的体积V()A．3054B．69C．66D．24544.已知某一几何体的正视图与侧视图如图，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有（）[来源:Zxxk.Com]A．①②③⑤B．②③④⑤C．①②④⑤D．①②③④俯视图正视图侧视图共11页第6页图2侧视图俯视图正视图4x33x45.一空间几何体的三视图如图2所示,该几何体的体积为85123，则正视图中x的值为()A.5B.4C.3D.26.一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于()A．13B．23C．156D．62247.已知,为不重合的两个平面，直线,m那么“m”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．383cmB．343cmC．323cmD．313cm9.已知正三棱柱（侧棱与底面垂直，底面是正三角形）的高与底面边长均为2，其直观图和正(主)视图如下，则它的左(侧)视图的面积是．直观图正视图11共11页第7页10.已知空间四边形ABCD中，AB⊥BC，BC⊥CD，CD⊥AB，且AB＝2，BC＝5，CD＝7，则AD＝。11.一几何体的三视图（单位：cm）如右图所示，则此几何体的体积是cm3。12．对于平面,和直线m，试用“⊥”和“//”构造条件___________使之能推出m⊥作业：1.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(C)A．807B．967C．968D．96162.右图为一简单组合体，21世纪教育网其底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，//ECPD，且2PDEC，（1）求证：BE//平面PDA；（2）若N为线段PB的中点，求证：EN平面PDB；_N_E_D_C_B_A_P共11页第8页PABCDE3.如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求二面角B—AC—E的正弦值；（3）求三棱锥EACD的体积．4.右图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，//ECPD，且2PDADEC=2.（1）答题卡指定的方框内已给出了该几何体的俯视图，请在方框内画出该几何体的正(主)视图和侧(左)视图；（2）求四棱锥B－CEPD的体积；（3）求证：//BE平面PDA．ＤＣＡＢＥＦ共11页第9页5.如图，在长方体1111DCBAABCD中，点E在棱1CC的延长线上，且12111ABBCECCC．(Ⅰ)求证：1DE//平面1ACB；(Ⅱ)求证：平面11DBE平面1DCB；（Ⅲ）求四面体ACBD11的体积．6、给出以下四个命题：（1）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；（2）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；（3）如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；（4）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。其中真命题的个数是（）A、4B、3C、2D、17、设、、为平面，lnm、、为直线，则m的一个充分条件是（）A、lml,,B．,,mC．m,,D．mnn,,8、m、n是空间两条不同直线，、是空间不同平面，下面有四个命题：①nmnm则,//,//,②//,,//,nmnm则③nmnm则,//,//,④nnmm则,//,//,其中真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）。9、已知PA⊥正方形ABCD所在的平面，垂足为A，连PB，PC，PD，AC，BD，则互相垂直的平面有对。BEADC1A1B1C1D共11页第10页10、如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点，（1）求证：MN∥平面PAD（2）求证MN⊥CD（3）若∠PDA=45，求证MN⊥平面PCD。11、如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC=1，∠ACB=90，AA1=2，D是A1B1的中点，（1）求证：C1D⊥平面ABB1A1；（2）在BB1上找一点F，使AB1⊥平面C1DF，并说明理由。共11页第11页12、如图，平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求点D到平面ACE的距离.