第三章_机器人运动学

第三章机器人运动学2020/3/131第三章机器人运动学第三章机器人运动学目录3.1齐次坐标3.2刚体位姿描述3.3齐次坐标变换与变换矩阵3.4齐次变换矩阵运算3.5变换方程3.6欧拉角与RPY角2020/3/13第三章机器人运动学2020/3/13引言机器人的位置和姿态描述：机器人一端固定，另一端是用于安装末端执行器（如手爪）的自由端机器人由N个转动或移动关节串联而成一个开环空间尺寸链机器人各关节坐标系之间的关系可用齐次变换来描述inoa机器人（机械手）末端执行器相对于固定参考坐标系的空间几何描述（即机器人的运动学问题）是机器人动力学分析和轨迹控制等相关研究的基础机器人的运动学即是研究机器人手臂末端执行器位置和姿态与关节变量空间之间的关系第三章机器人运动学2020/3/13丹纳维特（Denavit）和哈顿贝格（Hartenberg）于1955年提出了一种矩阵代数方法解决机器人的运动学问题—D-H方法其数学基础即是齐次变换具有直观的几何意义，广泛应用于动力学、控制算法等方面的研究运动学研究运动学正问题运动学逆问题手在哪里？手怎么放那里？第三章机器人运动学2020/3/132.1齐次坐标位置描述：位置矢量(positionvector)空间任意一点p的位置可表示为：矩阵表示矢量和表示矢量的模xyzop(x,y,z)xyzpxiyjzkp222xyzp1p，单位矢量第三章机器人运动学2020/3/132.1齐次坐标点的齐次坐标•一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间实体。有一个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作一个附加于每个矢量的特定坐标—比例系数。TxyPxyzwzw式中i,j,k为x,y,z轴上的单位矢量，a=,b=,c=，w为比例系数wxwywz齐次坐标表达并不是唯一的，随w值的不同而不同。在计算机图学中，w作为通用比例因子，它可取任意正值，但在机器人的运动分析中，总是取w=1。列矩阵Paibjck第三章机器人运动学2020/3/132.1齐次坐标xAyAzAoApAp1AAAAxyzp直角坐标系{A},P点的齐次坐标：点的齐次坐标几个特定意义的齐次坐标：[0,0,0,n]T—坐标原点矢量的齐次坐标，n为任意非零比例系数[1000]T—指向无穷远处的OX轴[0100]T—指向无穷远处的OY轴[0010]T—指向无穷远处的OZ轴第三章机器人运动学2020/3/132.2刚体位姿描述接近矢量aapproach方位矢量oorientation法向矢量nnormalaonBzByBxOB[,,][,,]BBBnoaijk等价于手爪坐标系第三章机器人运动学2020/3/13BzByBxOBAyAxAzO坐标系{B}原点在{A}坐标系中的位置。oABpoABp位置描述2.2刚体位姿描述oABoAABoBoABxPyz第三章机器人运动学2020/3/13自由度(DOF,Degreeoffreedom)：物体能够相对坐标系进行独立运动的数目称为自由度。刚体的自由度数目：三个平移自由度T1,T2,T3三个旋转自由度R1,R2,R3YXZT1T2T3R1R2R3位置描述2.2刚体位姿描述第三章机器人运动学2020/3/13利用固定于物体的坐标系描述方位(orientation)。方位又称为姿态(pose)。BkBjBiAyAxAzOAkAjAioABp方位描述2.2刚体位姿描述在刚体B上设置直角坐标系{B}，利用与{B}的坐标轴平行的三个单位矢量表示B的姿态。坐标系{B}的三个单位主矢量在坐标系{A}中的描述：{,,}AAABBBijk坐标系{B}相对于坐标系{A}的姿态描述：{,,}AAAABBBBRijk第三章机器人运动学2020/3/13111213212223313233,,AAAABBBBrrrRrrrrrrijkABR表示刚体B相对于坐标系{A}的姿态。112131122232132333ABABABrirjrkrirjrkrirjrkijk刚体B与坐标系{B}固接姿态矩阵（旋转矩阵）2.2刚体位姿描述9个参量，自由度？约束方程个数？（abs(a)=1;a.b=0)第三章机器人运动学2020/3/13000AAAAAABBBBBBijjkki1,1RRRRABTABABBA旋转变换的逆等于其转置111221223132112131213222311231113211221221122232()()()AABBAABBijrrrrrrijkijrrrrrrrirrrrjrrrrkrrr111AAAAAABBBBBBiijjkk旋转矩阵中的9个元素只有3个独立变量，它满足正交条件姿态矩阵（旋转矩阵）2.2刚体位姿描述第三章机器人运动学2020/3/13相对于参考坐标系{A}，坐标系{B}的原点位置和坐标轴的方位可以由位置矢量和旋转矩阵描述。刚体B在参考坐标系{A}中的位姿利用坐标系{B}描述。{}oAABBBRpIRAB0oABp当表示位置时当表示方位时位置与姿态的表示2.2刚体位姿描述（单位矩阵）第三章机器人运动学2020/3/13平移坐标变换：在坐标系{B}中的位置矢量Bp在坐标系{A}中的表示可由矢量相加获得。ABABpppxAyAzAoAApxByBzBoBBp{A}{B}ApBxAzAoABp{A}oAxBzByAyBpRpBABApRpRpATABABAB•旋转坐标变换：坐标系{B}与坐标系{A}原点相同，则p点在两个坐标系中的描述具有下列关系：2.3齐次变换与齐次变换矩阵一般变换第三章机器人运动学2020/3/13分别绕x,y,z轴的旋转变换(基本旋转变换)：任何旋转变换可以由有限个基本旋转变换合成得到。100(,)00Rxcssc(,)ABRxpp2.3齐次变换与齐次变换矩阵基本旋转变换yByAxBzBoABp{B}xAzA{A}P,00100),(csscyR10000),(cssczR第三章机器人运动学2020/3/13ACAABACBBpppRppAABABBpRppyCxAyAzAoAApxByBzBoBBp{A}{B}ApBxCzC{C}复合变换：平移和旋转构成复合变换。CCBABBBpRpRp2.3齐次变换与齐次变换矩阵基本复合变换第三章机器人运动学2020/3/13BkBjBiAyAxAzOAkAjAioABpPApBp{B}{A}oAABABBRp=p+p110001oAAABBBRppp=2.3齐次变换与齐次变换矩阵齐次变换齐次变换是在齐次坐标描述基础上的一种矩阵运算方法，齐次变换使齐次坐标作移动、旋转、透视等几何变换。非齐次齐次第三章机器人运动学2020/3/13BkBjBiAyAxAzOAkAjAioABpPApBp{B}{A}110001oAAABBBRppp=1311oAABBABRTfsp=旋转平移透视比例（缩放）计算机图形学0001oAABBABRTp=齐次变换矩阵2.3齐次变换与齐次变换矩阵齐次变换矩阵第三章机器人运动学2020/3/13透视变换（Perspectivetransformation）举例pp:P[x1]PP[x1]1()1ppppTTppppppppppppppppppppppppyzyzyzzfyzzyfyfzxyfzxyyfyyfyfyyfyyffxxy以光心为原点O，光轴与y轴重合，P为物点，用齐次坐标表示求的齐次坐标，即求根据三角形相似原理：注意是负值，是正值，所以实际上为相减关系又有设111000010000100001111pppppppppppppfppppyzyzyzfffxxxyyyTzzzyf用矩阵表示：zyPypfozpfpz'Ppy第三章机器人运动学2020/3/13pp:P[x1]PP[x1]1()1ppppTTppppppppppppppppyzyzypzpzpfypzpzpypfypfzxyfzxyyfyyfyfyyfyyffxxy以光心为原点O，光轴与y轴重合，P为物点，用齐次坐标表示求的齐次坐标，即求根据三角形相似原理：注意是负值，是正值，所以实际上为相减关系又有设111000010000100001111pppppppppppppfppppyzyzyyfffxxxyyyTzzzyf用矩阵表示：因此，进行机器人运行学计算时，不能省略透视矩阵，有摄像头时，透视矩阵为[0-0]，没有摄像头时为[000]。f1p1000010000101001111pppppffppppxxxyyyTTzzzyff用矩阵表示：透视变换（Perspectivetransformation）举例第三章机器人运动学2020/3/13,100000000001),(Rotcsscx平移齐次坐标变换旋转齐次坐标变换1000100010001),,Trans(cbacbaTranslationtransformation,100000001000),(Rotcsscy100001000000),(RotcssczRotationtransformation2.4齐次变换矩阵运算齐次坐标变换注意：平移矩阵间可以交换，平移和旋转矩阵间不可以交换第三章机器人运动学2020/3/13对于坐标系{A}、{B}，{A}是参考坐标系，{B}相对于{A}的联体坐标系。{B}相对于{A}的描述为：{A}相对于{B}的描述为：01oAABBABRpT110101ooAAATATABBBBBBAABRpRRpTT2.4齐次变换矩阵运算齐次坐标变换的逆变换第三章机器人运动学2020/3/13例题1：坐标系{B}的初始位姿与参考坐标系{A}相同，坐标系{B}相对于{A}的zA轴旋转30，再沿{A}的xA轴移动12，沿{A}的yA轴移动6。求位置矢量ApB和旋转矩阵。假设p点在坐标系{B}的描述为Bp=[590]T，求其在坐标系{A}的描述。RAB0294.1683.1106120951000866.05.005.0866.00612;1000866.05.005.0866.01000303003030)30,(BABABABAABppRppcssczRR解：2.4齐次变换矩阵运算第三章机器人运动学2020/3/131101AAABBBAABABBRppppRpppTpBA