摄动方法讲义

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1第1章引论科学研究和工程中经常需要将一个函数写成在给定的参数或变量附近的近似表达式,这里函数可以是已知的、或某个方程的解。用摄动(渐近)方法求函数的近似表达式,是本书的主题。按这些方法,解用一个渐近展开式(参见1.4节)头几项表示。此展开式可以按方程中所含有的参数引入,称为参数摄动;也可以按坐标引入,称为坐标摄动。1.1参数摄动和坐标摄动1.参数摄动例例1.1考虑含小参数的代数方程310xx(1.1.1)的解。当0时,解为1x。现求1时,1附近的解。假定2121xxx(1.1.2)代入(1.1.1)式232121321(1)(3)(33)0xxxxxx(1.1.3)由于上式应当对所有都成立,从而各阶的系数均为零,解得231312x(1.1.4)例1.2考虑下列常微分方程2(1)0xxxx(1.1.5)的解。当0时,解为cos()xat。现求1时,cos()xat附近的解。假定2012(;)()()()xtxtxtxt(1.1.6)式中0cos()xat,代入(1.1.5)得22220120122222220010001ddddddddd(1)(1)2dddxxxxxxtttxxxxxxxttt(1.1.7)从而2002d0dxxt(1.1.8)2201102dd(1)ddxxxxtt(1.1.9)2202120012ddd(1)2dddxxxxxxxttt(1.1.10)等等。显然0()xt满足方程(1.1.8);如果我们要求的是0cos()xat附近的解,则只需2逐次求方程(1.1.9)、(1.1.10)、所对应的齐次初值条件的解,然后代入(1.1.6)就可以了。2.坐标摄动例例1.3零阶Bessel方程22dd0ddyyxxyxx(1.1.11)这个方程在0x处有一正则奇点,从而假定0x附近的解可写成(Frobenius级数)0iiiyax(1.1.12)代入(1.1.11)可得21100()0iiiiiiiaxax可以写为212210122(1)[()]0iiiiaxaxiaax由于上式是关于x的恒等式,所以关于x的各次幂的系数为零2021220(1)0()0,2,3,iiaaiaai(1.1.13)这样可以得两个线性无关的解。第一个解为012222122201,011(1),0,1,2,(2)2(2)iiiiaaaaaiii从而202201(1)2(2)iiiyxi(1.1.14)这就是零阶Bessel函数(0J)。第二个解为012121222210,111(1),0,1,2,(21)3(21)iiiiaaaaaiii从而2112201(1)1(21)iiiyxi(1.1.15)3例1.4考虑d1dyyxx在x时的解。作变量代换1/xt则原问题化为方程2ddytytt在0t附近的坐标摄动问题。一般来说,我们讲的摄动问题,是指求在给定参数(或给定坐标)附近的近似解,从而可以通过参数(坐标)变换把问题归结为小参数(或坐标原点附近)的摄动问题。除特别指出外,以后我们指的摄动问题均是指小参数(或坐标原点附近)的摄动问题。1.2阶的符号假定我们对一个实参数的函数()f感兴趣。我们关心的是∶当趋近零时(用0表示)()f极限。这个极限值有时取决于趋近零时的方式∶当由负值趋近零时,用0表示;当由正值趋近零时,用0表示。若()f的极限存在(它在0处不是一个本性奇点,如sin(1/)),则有三种可能00lim(),0fAA(1.2.1)在第一、三种情形时,其趋向极限的速率往往需要和一些已知函数(称为标准函数)进行比较。最常用的标准函数是2112,,,,,1,,,,,nn在某些情形下还需要用1111ln,ln(ln),,ee等等,下面将标准函数记为()g。1.符号定义1.1()如果存在与无关的正数A和一个00,使得0()(),fAg记为当0时,()[()]fg(1.2.2)称为()f的阶次不大于()g的阶次。这个条件等价于0()lim()fg(1.2.3)例1.54223211sin(),sin7(),sin(),sin()cos(1),1cos(),tan(),cot()sinh(),cosh(1),tanh(),coth()定义1.2(,)fx是和另一个变量x的函数,而(,)gx是一个标准函数。如果存在与无关的正数A和一个00,使得0(,)(,),fxAgx同样可记为当0时,(,)[(,)]fxgx特别当A与x无关时,称(,)[(,)]fxgx一致成立。例1.6sin()(1)[sin()]xx一致成立;1()te非一致成立;()xx非一致成立。2.符号定义1.3()如果对每一个与无关的正数,可以找到00,使得0()(),fg记为当0时,()[()]fg(1.2.4)称()f是()g的高阶小量,反之称()g是()f的低阶小量。上述条件等价于0()lim0()fg(1.2.5)例1.71232210sin(1),sin(),cos(),()()coth(),1cos3()J1cot()nn,对于正的n;2exp()()n,对于所有n.如果函数表达式中含有其它变量如x,则可以定义(1.2.5)一致成立的情形。例1.813sin()()x一致成立;121()te非一致成立;34()xx非一致成立。3.符号ord5定义0.4(ord)如果存在与无关的正数,aA和一个00,使得0()()(),agfAg则称()f和()g为同阶量,记为当0时,()ord[()]fg(1.2.6)显然ord是一等价关系,满足对称性、反身性和传递性。这个条件等价于00()()0limlim()()ffgg(1.2.7)习题1.1当0时,决定下列各式的阶∶322tan01cosln(12)(1),ln(1),,,,ln1,d1cos1sin(12)sees1.2按小量(0)的降阶,排列下列各式∶13112222111121,,ln(ln),1,ln,ln,ln,,,,lne1.3渐近级数例1.9在1.1节中我们讨论过的方程d1dyyxx(1.3.1)它的一个特解为2311!2!(1)!nnyxxxx(1.3.2)对所有的x都是发散的,所以在通常意义是不能使用的。我们可以通过求(1.3.1)的一个准确解、然后逐次用分部积分得到上述的级数1231d11!2!(1)!!dxxxxxnxnyeexxnnexexxxxx当x为负值时,上述积分形式的准确解是收敛的;但当n时对应的级数是发散的,这是因为余项1limlim!d,0xxnxnnnRnexexx为了使得级数(1.3.2)的部分和有用,则必须固定n,使得上述余项111!!d!dxxxnxnxxnnnRnexexnxeexx足够小。很明显,当x时,余项nR可以任意小,从而级数(1.3.2)可写成61(1)!()nniiiyxx,当x时(1.3.3)这样的级数称为Poincare型渐近级数。例1.10我们考虑渐近级数的第二个例子是计算积分0()dxefxx(1.3.4)其中是一个大的正数。我们仍可用逐次分部积分得到20023001200()d()2d()()(1)!(1)(1)!d()xxxxxixnninieefxxxeeexxxxienxx其余项为21300(1)!(1)!d(2)!d()()xxnnnneneRnxnxxx因为3310011dd()()()(2)xnnnnexxxxn所以()nnR其渐近级数为0(1)!()()inniiif,当(1.3.5)一般收敛的函数项级数是指当变量x固定、项数n趋向无穷时,级数的余项趋向零;而渐近级数是项数n固定、变量x趋向某一值时,相应的余项是高阶小量。渐近级数从级数收敛角度看,有时甚至是发散级数,如式(1.3.3)、(1.3.5),但它们仍可以视为当x或很大时的近似值。函数更一般的渐近表示见下节。1.4渐近序列和渐近展开1.定义1.5(渐近序列)我们不必非用幂级数的部分和来表示某一函数的渐近表达式,代之可以利用一般的函数序()n的部分和,只要当0时,1,()[()]nnn(1.4.1)这样的序列称为渐近序列,如7/3{},{},{(ln)},{(sin)},{(cot)}nnnnn(1.4.2)等等。1.2节中列出的标准函数都可以构成渐近序列。此外,如果是复数,则往往需要限定在复平面上某一扇形区域中,(1.4.1)式才能成立。今后若非特别声明,我们限定0。定义1.6(渐近展开式)由渐近序列()n所构成的级数0()nnna(式中na与无关),被称为某一函数y在0时的渐近展开式,当且仅当010()[()],1nmmnmyan(1.4.3)记为当0时,0()Nmmmya(1.4.4)当展开式中的()n是幂函数时,也称为渐近级数。渐近展开式定义中的式(1.4.3)也可以用下列等价条件代替0()()0,1()nmmmnyan,当0时(1.4.5)2.渐近展开式的唯一性当渐近序列()n给定时,渐近展开式(1.4.4)中的系数na可以逐次决定100()()lim,0,1,2,()nmmmnnyaan(1.4.6)这样,展开式(1.4.4)是唯一确定的。但对不同的渐近序列,同一函数可以有不同的渐近展开式,如35123153531285312232703tan()sin(sin)(sin)cosh()[cosh()](1.4.7)反过来,不同的函数可以用同一个渐近展开式表示,如00exp(),as0!exp()exp(1/),as0!nnnnnn(1.4.8)这是由于exp(1/)是比任意n高的无穷小量。类似地,当0时3164316sinsinsin(1.4.9)习题81.3将下列表达式按小量展开,并保持三项∶(a)2411128tt;(b)1(1cos)f;(c)2212(1);(d)212sin()sss;(e)1sin1;(f)2312ln12.1.4设2012ee,对3113(1)2h
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