二项式定理

菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练第三节二项式定理菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练考纲要求：1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练[基础真题体验]考查角度[二项式定理]1．(2011·课标全国卷)x＋ax2x－1x5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()A．－40B．－20C．20D．40菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练【解析】由题意，令x＝1得展开式各项系数的和为(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1.∵二项式2x－1x5的通项公式为Tr＋1＝Cr5(－1)r·25－r·x5－2r，∴x＋1x2x－1x5展开式中的常数项为x·C35(－1)3·22·x－1＋1x·C25·(－1)2·23·x＝－40＋80＝40，故选D.【答案】D菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练2．(2013·课标全国卷Ⅰ)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝()A．5B.6C．7D.8菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练【解析】(x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为Cm2m，∴a＝Cm2m.同理，b＝Cm＋12m＋1.∵13a＝7b，∴13·Cm2m＝7·Cm＋12m＋1.∴13·2m！m！m！＝7·2m＋1！m＋1！m！.∴m＝6.【答案】B菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练3．(2014·课标全国卷Ⅰ)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)【解析】x2y7＝x·(xy7)，其系数为C78，x2y7＝y·(x2y6)，其系数为－C68，∴x2y7的系数为C78－C68＝8－28＝－20.【答案】－20菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练[命题规律预测]命题规律从近几年的高考试题看，对本节内容的考查主要体现在以下两个方面：1.求二项展开式中特定项及特定项的系数是考查的热点，在考查双基的同时，注重方程思想和等价转化思想的考查．2.题型为选择题和填空题，分值5分左右，属基础题．考向预测预测2016年高考将重点考查二项式系数和通项公式的应用，求系数和、求特定项会是命题的热点.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练考向一通项公式及其应用【命题视角】二项式定理的通项公式是解决与二项式有关问题的关键，也是高考命题的热点，多以选择、填空题的形式出现，难度不大，常见的命题角度有以下几种：(1)求二项展开式中的特定项；(2)求二项展开式中项的系数；(3)已知特定项求参数的值．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练角度一：求二项展开式中的特定项【例1－1】(2014·太原模拟)设a＝0πsinxdx，则二项式ax－1x6的展开式中的常数项是________．【思路点拨】菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练【解析】a＝0πsinxdx＝(－cosx)π0＝2，所以二项展开式的通项是Tr＋1＝Cr6(2x)6－r－1xr＝Cr6·26－r·(－1)rx3－r，令3－r＝0，得r＝3，故二项展开式中的常数项是－C36×23＝－160.【答案】－160菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练解决此类问题时，先要合并通项中同一字母的指数，然后结合题意列方程求解．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练角度二：求二项展开式中项的系数【例1－2】(2014·大纲全国卷)xy－yx8的展开式中x2y2的系数为________．(用数字作答)【思路点拨】写出二项展开式的通项，令x，y的幂指数为2求得x2y2的系数．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练【解析】由Tr＋1＝Cr8xy8－r－yxr＝(－1)rCr8x8－3r2·y32x－4知，要求x2y2的系数，则8－3r2＝2，32r－4＝2，解得r＝4，∴x2y2的系数为(－1)4C48＝70.【答案】70菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练先求通项，再结合字母指数列方程求解．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练角度三：已知特定项求参数的值【例1－3】(2014·湖北高考)若二项式2x＋ax7的展开式中1x3的系数是84，则实数a＝()A．2B.54C．1D.24【思路点拨】写出二项展开式的通项公式，令x的幂指数为－3，求a的值便可．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练【解析】二项式2x＋ax7的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr7(2x)7－raxr＝Cr727－rarx7－2r，令7－2r＝－3，得r＝5.故展开式中1x3的系数是C5722a5＝84，解得a＝1.【答案】C菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式求取值范围．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练考向二求二项式系数和或各项系数和[典例剖析]【例2】(1)若C3n＋123＝Cn＋623(n∈N*)且(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝________.(2)在二项式x＋3xn的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则展开式中常数项的值为________．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练【思路点拨】【解析】(1)由C3n＋123＝Cn＋623，得3n＋1＝n＋6(无整数解)或3n＋1＝23－(n＋6)，解得n＝4，问题即转化为求(3－x)4的展开式中各项系数和的问题，只需在(3－x)4中令x＝－1即得a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝[3－(－1)]4＝256.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练(2)令x＝1，得各项系数的和为4n，而各项的二项式系数的和等于2n，根据已知，得方程4n＋2n＝72，解得n＝3.所以二项展开式的通项Tr＋1＝Cr3(x)3－r3xr＝3rCr3x32－32r，显然当r＝1时，Tr＋1是常数项，值为3C13＝9.【答案】(1)256(2)9菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练赋值法的应用：(1)二项式定理给出的是一个恒等式，对于a，b的一切值都成立．因此，可将a，b设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令a，b等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f1＋f－12，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f1－f－12.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练[对点练习](1)二项式x＋2x2n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中常数项是()A．180B．90C．45D．360(2)若(1－2x)2014＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2014x2014(x∈R)，则a12＋a222＋a323＋…＋a201422014的值为________．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练【解析】(1)由二项式系数的性质，得n＝10，∴Tr＋1＝Cr10(x)10－r2x2r＝2rCr10·x5－52r，令5－52r＝0，则r＝2，从而T3＝4C210＝180.(2)令x＝0，得a0＝(1－0)2014＝1.令x＝12，则a0＋a12＋a222＋…＋a201422014＝0，∴a12＋a222＋…＋a201422014＝－1.【答案】(1)A(2)－1菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练考向三二项式定理的应用[典例剖析]【例3】(1)已知2n＋2·3n＋5n－a能被25整除，求正整数a的最小值；(2)求1.028的近似值．(精确到小数点后三位)【思路点拨】(1)6n＝(5＋1)n，二项式定理展开求值．(2)1.028＝(1＋0.02)8，展开前四项求近似值即可．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练【解】(1)原式＝4·6n＋5n－a＝4(5＋1)n＋5n－a＝4(C0n5n＋C1n5n－1＋…＋Cn－2n52＋Cn－1n5＋Cnn)＋5n－a＝4(C0n5n＋C1n5n－1＋…＋Cn－2n52)＋25n＋4－a，显然正整数a的最小值为4.(2)1.028＝(1＋0.02)8≈C08＋C18·0.02＋C28·0.022＋C38·0.023≈1.172.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练1．整除问题的解题思路利用二项式定理找出某两个数(或式)之间的倍数关系，是解决有关整除性问题和余数问题的基本思路，关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断．2．求近似值的基本方法利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练[对点练习](2012·湖北高考)设a∈Z，且0≤a13，若512012＋a能被13整除，则a＝()A．0B．1C．11D．12菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提升练【解析】512012＋a＝(52－1)2012＋a＝C02012·522012－C12012·522011＋…＋C20112012·52·(－1)2011＋C20122012·(－1)2012＋a，∵C02012·522012－C12012·522011＋…＋C20112012·52·(－1)2011能被13整除，且512012＋a能被13整除，∴C20122012·(－1)2012＋a＝1＋a也能被13整除．因此a可取值12.【答案】D菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养误区分析课时提