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本章小结1．平衡物体中的临界问题(1)临界问题：某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从某种特性变化为另一种特性时，发生质的飞跃的转折状态为临界状态，临界状态也可理解为“恰好出现”或“恰好不出现”某种现象的状态，平衡物体的临界状态是指物体所处平衡状态将要变化的状态，涉及临界状态的问题叫临界问题．(2)解决临界问题的方法：基本思想是假设法，即先假设为某状态，然后再根据平衡条件及有关知识列方程求解．(3)运用假设法解题的基本步骤是：①明确研究对象；②画出研究对象的受力图；③假设可发生的临界现象；④列出满足所发生的临界现象的平衡方程求解．2．平衡物体中的极值问题(1)极值：是指研究平衡问题中某物理量变化时出现的最大值或最小值．(2)研究极值的两种方法：①解析法：根据物体的平衡条件列方程，在解方程时采用数学知识求极值，通常用到的数学知识有二次函数求极值、讨论分式求极值、三角函数求极值以及几何法求极值．②图解法：即根据物体的平衡条件作出力的矢量图，然后根据图进行动态分析，确定最大值和最小值，此法简便直观．例1跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和物体B，物体A放在倾角为θ的斜面上，如下图(甲)所示，已知物体A的质量为m，物体A与斜面的动摩擦因数为μ(μ＜tanθ)，滑轮的摩擦不计，要使物体A静止在斜面上，求物体B的质量的取值范围(按最大静摩擦力等于滑动摩擦力处理)．探究：先选物体B为研究对象，它受到重力mBg和拉力FT的作用，根据平衡条件有：FT＝mBg①再选物体A为研究对象，它受到重力mg、斜面支持力FN、轻绳拉力FT和斜面的摩擦力作用，假设物体A处于将要上滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向下．这时A的受力情况如图(乙)所示，根据平衡条件有：FN－mgcosθ＝0②FT－Ffm－mgsinθ＝0③由摩擦力公式知：Ffm＝μFN④以上四式联立解得：mB＝m(sinθ＋μcosθ)再假设物体A处于将要下滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向上，根据平衡条件有：FN－mgcosθ＝0⑤FT＋Ffm－mgsinθ＝0⑥由摩擦力公式知：Ffm＝μFN⑦①⑤⑥⑦四式联立解得mB＝m(sinθ－μcosθ)综上所述，物体B的质量的取值范围是：m(sinθ－μcosθ)≤mB≤m(sinθ＋μcosθ)．例2如下图(甲)，火车厢中有一倾角为θ＝30°的斜面，当火车以a＝10m/s2的加速度沿水平方向向左运动时，斜面上的物体m还是与车厢保持相对静止．试分析物体m所受的摩擦力的方向．解析：方法一：m受三个力作用：重力mg，弹力FN，静摩擦力Ff，静摩擦力的方向难以确定，我们可以假定这个力不存在，那么如上图乙，mg与FN在水平方向只能产生大小F合＝mgtanθ的合力，此合力只能产生gtan30°＝3g3的加速度，小于题目给定的加速度，合力不足，故斜面对物体的静摩擦方向向下．方法二：如图丙，假定所受的静摩擦力沿斜面向上，用正交分解法有FNcos30°＋Ffsin30°＝mg…①FNsin30°－Ffcos30°＝ma…②①、②联立得Ff＝5m(1－3)N为负值，说明Ff的方向与假定的方向相反，即沿斜面向下．方法三：如图丁，设x轴与Ff共线，且向下，据Fx＝max有mgsinθ＋Ff＝macos30°解得Ff＝5m(3－1)N为正值，说明Ff与坐标轴同向，即沿斜面向下．通过本题总结的二、三两种方法，不仅在受力分析的问题上，而且也用在动量守恒定律的解题上，是用来处理未知矢量的方法．1．按时间的先后顺序对题目给出的物体运动过程(或不同的状态)进行分析(包括列式计算)的解题方法可称为程序法．2．程序法解题的基本思路是(1)划分出题目中有多少个不同的过程或多少个不同状态．(2)对各个过程或状态进行具体分析，得出正确的结果．(3)前一个过程的结束是后一个过程的开始，两个过程的交接点是问题的关键．例32t的汽车在4000N的水平牵引力作用下，沿水平公路运动了1min，然后牵引力减为3500N，又运动了1min；最后撤去牵引力，直至汽车停止，汽车与地面间的动摩擦因数μ＝0.15，求汽车在上述过程中一共走了多少路程？(g取10m/s2)答案：3825m解析：用“程序法”进行分析，汽车在运动过程中，分三个阶段，应对每一个阶段分别进行求解．以汽车为研究对象，汽车受到四个力的作用，如图所示．第一阶段，汽车以加速度a1做匀加速直线运动，由牛顿第二定律建立方程：F1－μmg＝ma1①且x1＝12a1t21②由①得a1＝0.5m/s2，代入②得：x1＝900m第二阶段，汽车以加速度a2做匀加速直线运动，由牛顿第二定律建立方程：F2－μmg＝ma2③且x2＝v1t2＋12a2t22④v1＝a1t1⑤由③得a2＝0.25m/s2由⑤得v1＝0.5×60m/s＝30m/s，则x2＝(30×60＋12×0.25×602)m＝2250m.第三阶段，汽车以加速度a3做匀减速运动，由牛顿第二定律建立方程：Ff＝μmg＝ma3⑥且v2＝v1＋a2t2⑦v＝2a3x3⑧由⑥得a3＝1.5m/s2，由⑦得v2＝(30＋0.25×60)m/s＝45m/s，由⑧得x3＝675m.全程距离x＝x1＋x2＋x3＝900m＋2250m＋675m＝3825m.