搜索
第2讲函数、基本初等函数的图象与性质感悟高考明确考向(2010·江苏)已知函数f(x)＝x2＋1，x≥0，1，x0，则满足不等式f(1－x2)f(2x)的x的取值范围是_______________．解析当x＝－1时，无解．当－1x≤0时，1－x20,2x≤0，f(1－x2)f(2x)化为(1－x2)2＋11，恒成立．当0x≤1时，1－x2≥0,2x0，f(1－x2)f(2x)化为(1－x2)2＋1(2x)2＋1，即1－x22x，(x＋1)22，∴0x2－1.当1－x20，即x1或x－1时，无解．综上知，－1x＜2－1.(－1，2－1)考题分析本小题主要考查了函数的单调性，分段函数等.以分段函数的表现形式考查了转化和化归以及分类讨论的数学思想方法．体现了以知识为载体，重点考查数学思想和方法的高考理念．本题如将f(1－x2)f(2x)改为f(1－x2)≥f(2x)，也是一个不错的题目，请同学们试解．易错提醒(1)考生不能确定函数的单调性是致误的重要原因．可以画出草图，增加解题的直观性．(2)很多考生忽视了对1－x2≥02x≥0或1－x202x0的分类讨论．(3)计算错误．主干知识梳理1．函数的三要素：定义域、值域、对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．2．函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．3．函数的性质(1)单调性如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，且x1x2，都有f(x1)f(x2)成立，则f(x)在D上是增函数(都有f(x1)f(x2)成立，则f(x)在D上是减函数)．(2)奇偶性对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称),都有f(－x)＝－f(x)成立,则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立,则f(x)为偶函数)．(3)周期性周期函数f(x)的最小正周期T必须满足下列两个条件：①当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)；②T是不为零的最小正数．一般地，若T为f(x)的周期，则nT(n∈Z)也为f(x)的周期，即f(x)＝f(x＋nT)．(4)最值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)；②存在x0∈I，使f(x0)＝M，那么称M是函数y＝f(x)的最大值(最小值)．4．函数单调性的判定方法(1)定义法：取值，作差，变形，定号，作答．其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解．(2)导数法．(3)复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．5．函数奇偶性的判定方法(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．(2)对于定义域内的任意一个x，若都有f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数．若都有f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数．若都有f(－x)－f(x)＝0，则f(x)为偶函数．若都有f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)为奇函数．6．指数函数与对数函数的图象和性质指数函数对数函数定义形如y＝ax(a0且a≠1)的函数叫指数函数形如y＝logax(a0且a≠1)的函数叫对数函数图象定义域R{x|x0}值域{y|y0}R过定点(0,1)(1,0)单调性0a1时,在R上单调递减;a1时，在R上单调递增0a1时，在(0，＋∞)上单调递减;a1时，在(0，＋∞)上单调递增函数值性质0a1，当x0时，0y1;当x0时，y10a1，当x1时，y0;当0x1时，y0a1，当x0时，y1;当x0时，0y1a1，当x1时，y0;当0x1时，y0热点分类突破题型一函数的值域(或最值)例1已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab(a≠0)，当x∈(－3,2)时，f(x)0；当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)0.(1)求f(x)在[0,1]内的值域；(2)c为何值时，不等式ax2＋bx＋c≤0在[1,4]上恒成立？思维启迪利用数形结合，－3,2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，求出a，b的值，得f(x)的解析式，进而确定f(x)在[0,1]内的值域，然后利用函数g(x)＝ax2＋bx＋c的性质，确定c.解由题意得x＝－3和x＝2是函数f(x)的零点且a≠0，则0＝a·(－3)2＋(b－8)·(－3)－a－ab，0＝a·22＋(b－8)·2－a－ab，解得a＝－3，b＝5，∴f(x)＝－3x2－3x＋18.(1)如图所示，由图象知，函数在[0,1]内单调递减，∴当x＝0时，y＝18；当x＝1时，y＝12，∴f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]．(2)方法一令g(x)＝－3x2＋5x＋c.∵g(x)在[56，＋∞)上单调递减，要使g(x)≤0在[1,4]上恒成立，则需要g(x)max＝g(1)≤0，即－3＋5＋c≤0，解得c≤－2.∴当c≤－2时，不等式ax2＋bx＋c≤0在[1,4]上恒成立．方法二不等式－3x2＋5x＋c≤0在[1,4]上恒成立，即c≤3x2－5x在[1,4]上恒成立．令g(x)＝3x2－5x，∵x∈[1,4]，且g(x)在[1,4]上单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝3×12－5×1＝－2，∴c≤－2.即c≤－2时，不等式ax2＋bx＋c≤0在[1,4]上恒成立．探究提高(1)确定函数f(x)在[a，b]上的值域必须首先探求函数f(x)在其定义域内的单调情况，若f(x)是基本初等函数，则可直接利用它的图象和性质求解，若f(x)为其他函数，可利用单调性定义或导数法确定其性质，再求值域．(2)不等式恒成立问题的常见解法：①数形结合法，如本例第(2)问方法一，令g(x)＝－3x2＋5x＋c，结合函数g(x)的图象和性质，建立参数c的关系式进行求解．②分离参数与主元，如本例第(2)问方法二，即将主元x与参数c进行分离化为c≤3x2－5x，故c≤(3x2－5x)min，为所求．变式训练1设f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．解f(x)＝x2－2ax＋2的对称轴为：x＝a.①当a≤－1时，f(x)在[－1，＋∞)上是增函数，∴f(x)min＝f(－1)＝3＋2a，∴3＋2a≥a，∴a≥－3.即－3≤a≤－1.②当a－1时，f(x)min＝f(a)＝a2－2a2＋2＝2－a2，∴2－a2≥a，即a2＋a－2≤0，解之得：－1a≤1，综上所述：－3≤a≤1.题型二函数的性质及应用例2设函数f(x)＝x2＋|2x－a|(x∈R,a为实数)．(1)若f(x)为偶函数，求实数a的值；(2)设a2，求函数f(x)的最小值．思维启迪(1)f(x)为偶函数⇒f(－x)＝f(x)⇒a＝0.(2)含绝对值的函数的实质是分段函数，可以通过对x取值的分类讨论，去掉绝对值符号，得到分段函数．解(1)由已知f(－x)＝f(x)，即|2x－a|＝|2x＋a|，解得a＝0.(2)f(x)＝x2＋2x－a，x≥12a，x2－2x＋a，x12a，当x≥12a时，f(x)＝x2＋2x－a＝(x＋1)2－(a＋1)，由a2，x≥12a，得x1，从而x－1，故f(x)在x≥12a时单调递增，f(x)的最小值为f(a2)＝a24；当x12a时，f(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋(a－1)，故当1≤xa2时，f(x)单调递增，当x1时，f(x)单调递减，则f(x)的最小值为f(1)＝a－1.由a24－(a－1)＝(a－2)240，知f(x)的最小值为a－1.探究提高(1)对于偶函数可得f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；对于奇函数，若x＝0有意义，则总有f(0)＝0.(2)含绝对值的函数一般都要去掉绝对值符号，化成分段函数．(3)分段函数的单调性和最值问题，一般是在各段上分别说明，然后再合并说明．变式训练2已知函数y＝x＋ax有如下性质：如果常数a0，那么该函数在(0,a]上是减函数,在[a,＋∞)上是增函数．(1)如果函数y＝x＋2bx在(0,4]上是减函数，在[4，＋∞)上是增函数，求实常数b的值；(2)设常数c∈[1,4]，求函数f(x)＝x＋cx(1≤x≤2)的最大值和最小值．解(1)由函数y＝x＋ax的性质知:y＝x＋2bx在(0,2b]上是减函数，在[2b，＋∞)上是增函数，∴2b＝4，∴2b＝16＝24，∴b＝4.(2)∵c∈[1,4]，∴c∈[1,2]．又∵f(x)＝x＋cx在(0,c]上是减函数,在[c,＋∞)上是增函数，∴在x∈[1,2]上，当x＝c时，函数取得最小值2c.又f(1)＝1＋c，f(2)＝2＋c2，f(2)－f(1)＝1－c2.当c∈[1,2)时，f(2)－f(1)0，f(2)f(1)，此时f(x)的最大值为f(2)＝2＋c2.当c＝2时，f(2)－f(1)＝0，f(2)＝f(1)，此时f(x)的最大值为f(2)＝f(1)＝3.当c∈(2,4]时，f(2)－f(1)0，f(2)f(1)，此时f(x)的最大值为f(1)＝1＋c.综上所述，函数f(x)的最小值为2c；当c∈[1,2)时，函数f(x)的最大值为2＋c2；当c＝2时，函数f(x)的最大值为3；当c∈(2,4]时，函数f(x)的最大值为1＋c.题型三函数的图象及应用例3设函数f(x)＝x2＋bx＋c(x≤0)，2(x0)，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，求关于x的方程f(x)＝x的解的个数.思维启迪由两个已知条件求出b，c，再利用函数图象或解方程求解．解方法一由f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，可得16－4b＋c＝c，4－2b＋c＝－2，∴b＝4，c＝2，∴f(x)＝x2＋4x＋2(x≤0)，2(x0)，∴方程f(x)＝x等价于x0，x＝f(x)＝2，或x≤0，x2＋4x＋2＝x.即x＝2，或x≤0，x2＋3x＋2＝0.∴x＝2，或x＝－1，或x＝－2，即f(x)＝x有3个解．方法二由f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，可得b＝4，c＝2.∴f(x)＝x2＋4x＋2(x≤0)，2(x0)，图象如图所示．方程f(x)＝x解的个数即y＝f(x)与y＝x图象的交点个数．由图知两图象有A、B、C三个交点，故方程有3个解．探究提高函数的图象从直观上很好地反映出了函数的性质，所以在研究函数时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用，但要注意，利用图象求交点个数或解的个数问题时，作图要十分准确，否则容易出错．变式训练3已知则下列函数的图象错误的是()],,[,),,[,)(1010112xxxxxf解析函数的图象如图所示．函数f(x－1)的图象只需将y＝f(x)的图象向右平移一个单位，故A正确；函数f(－x)的图象只需将y＝f(x)的图象关于y轴对称，故B正确；函数f(|x|)的图象只需将y＝f(x)的图象y轴右侧图象不变，左侧部分图象与右侧部分关于y轴对称，故C正确；由于函数恒大于零，故|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象相同，故D项错误．],[,),,[,)(1010112xxxxxf],[,),,[,)(1010112xxxxxf答案D题型四基本初等函数例4设函数f(x)＝loga(1－ax)，其中0a1.(1)证明：f(x)是(a，＋∞)上的减函数；(2)解不等式f(x)1.思维启迪(1)利用单调性的定义证明．(2)依据函数f(x)的单调性进行转化．(1)证明任取x1，x2∈(a，＋∞)，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝loga(1－ax1)－loga(1－ax2)＝