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第10课时函数模型及其应用1．几类函数模型基础知识梳理函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)2.三种增长型函数之间增长速度的比较(1)指数函数y＝ax(a＞1)与幂函数y＝xn(n＞0)在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于ax的增长xn的增长，因而总存在一个x0，当x＞x0时有.基础知识梳理快于ax＞xn(2)对数函数y＝logax(a＞1)与幂函数y＝xn(n＞0)对数函数y＝logax(a＞1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会y＝xn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使x＞x0时有.基础知识梳理慢于logax＜xn由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使x＞x0时有.基础知识梳理ax＞xn＞logax三基能力强化1．下列函数中，随x的增大而增大速度最快的是()A．y＝1100exB．y＝100lnxC．y＝x100D．y＝100·2x答案：A2．一等腰三角形的周长是20，底边y是关于腰长x的函数，它的解析式为()A．y＝20－2x(x≤10)B．y＝20－2x(x＜10)C．y＝20－2x(5≤x≤10)D．y＝20－2x(5＜x＜10)答案：D三基能力强化3．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用()A．一次函数B．二次函数C．指数型函数D．对数型函数答案：D三基能力强化4．一根弹簧原长15cm，已知在20kg内弹簧长度与所挂物体的重量成一次函数，现测得当挂重量为4kg的物体时，弹簧长度为17cm，问当弹簧长度为22cm时，所挂物体的重量应为______kg.答案：14三基能力强化5．2009年12月18日，温家宝总理代表中国政府在哥本哈根气候变化会议上做出庄严承诺：2005年至2020年，中国单位国内生产总值二氧化碳排放强度下降40%，则2005年至2020年二氧化碳排放强度平均每年降低的百分数为________．三基能力强化解析：设从2005年至2020年平均每年降低的百分数为x，则2020年的排放量为(1－x)15，即(1－x)15＝0.4，解得x＝0.059.答案：5.9%三基能力强化1．现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数是刻画实际问题的重要模型．课堂互动讲练考点一分段函数模型课堂互动讲练2．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值．课堂互动讲练例1电信局为了配合客户的不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案的应付电话费y(元)与通话时间x(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)(注：图中MN∥CD)．试问：课堂互动讲练(1)若通话时间为2小时，按方案A、B各付话费多少元？(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？【思路点拨】依据图建立话费关于通话时间的函数关系→结合解析式、图形转化解决→作答．课堂互动讲练【解】由题图可知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD，设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)，fB(x)，课堂互动讲练则fA(x)＝98，0≤x≤60，310x＋80，x60.fB(x)＝168，0≤x≤500，310x＋18，x500.(1)通话2小时，即x＝120时，fA(120)＝116，fB(120)＝168.所以A、B两种方案的应付话费分别为116元、168元．(2)方案B的每分钟收费就是fB(n＋1)－fB(n)(n＞500，n∈N*)，所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元．课堂互动讲练因为fB(n＋1)－fB(n)＝310(n＋1)＋18－310n－18＝310＝0.3.课堂互动讲练【易错警示】第(2)问中将“每分钟收费”理解为x对应的y值310x＋18而导致错误．课堂互动讲练互动探究例1的条件不变，顾客选用哪种方案更优惠？解：由图可知，当0≤x≤60时，fA(x)fB(x)；当x500时，fA(x)fB(x)；当60x≤500时，fA(x)fB(x)，课堂互动讲练解得x8803所以当通话时间在(8803，＋∞)时，方案B比方案A优惠．作为顾客业务量大的应选B.二次函数是我们比较熟悉的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的最值与范围，解决实际中的优化问题，值得注意的是一定要分析自变量的取值范围，利用二次函数的配方法通过对称轴与单调性求解是这一类函数问题的特点．课堂互动讲练考点二二次函数模型课堂互动讲练例2今有一长2米、宽1米的矩形铁皮，如图所示，在四个角上分别截去一个边长为x米的正方形后，沿虚线折起可做成一个无盖的长方体形水箱(接口连接问题不考虑)．课堂互动讲练(1)求水箱容积的表达式f(x)，并指出函数f(x)的定义域；(2)若要使水箱容积不大于4x3立方米的同时，又使得底面积最大，求x的值．【思路点拨】可先根据长方体的体积公式建立函数关系式f(x)，然后根据题目要求解决，但对自变量x的取值范围要考虑到使实际问题有意义．课堂互动讲练课堂互动讲练其中正数x满足2－2x0，1－2x0，∴0x12.∴所求函数f(x)的定义域为{x|0x12}．【解】(1)由已知得该长方体形水箱高为x米，底面矩形长为(2－2x)米，宽(1－2x)米．∴该水箱容积为f(x)＝(2－2x)(1－2x)x＝4x3－6x2＋2x.课堂互动讲练(2)由f(x)≤4x3，得x≤0或x≥13.∵定义域为{x|0x12}，∴13≤x12.此时水箱的底面积为S(x)＝(2－2x)(1－2x)＝4x2－6x＋2，x∈[13，12)．课堂互动讲练由S(x)＝4(x－34)2－14，可知S(x)在[13，12)上是单调递减函数，∴x＝13时S(x)最大．∴满足条件的x是13.【误区警示】不能注意实际问题中的定义域，只考虑x0，而未考虑2－2x0且1－2x0.课堂互动讲练指数函数、对数函数的应用是高考的一个重点内容，常与增长率相结合进行考查．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N·(1＋p)x(其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间)的形式．另外，指数方程常利用对数进行计算，指数、对数在很多问题中可转化应用．课堂互动讲练考点三指数函数模型课堂互动讲练例32009年10月1日，某城市现有人口总数100万，如果年自然增长率为1.2%，试解答下列问题：(1)写出该城市人口总数y(万人)与年数x(年)的函数关系式；(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)．(1.01210＝1.127)【思路点拨】先写出1年后、2年后、3年后的人口总数→写出y与x的函数关系→计算求解→作答．课堂互动讲练【解】为(1)1年后该城市人口总数y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2.3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3.…课堂互动讲练x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x.所以该城市人口总数y(万人)与年数x(年)的函数关系是y＝100×(1＋1.2%)x.(2)10年后人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万)．所以10年后该城市人口总数为112.7万．课堂互动讲练【规律小结】(1)年自然增长率＝(2)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间)的形式．课堂互动讲练今年人口数－去年人口数去年人口数；课堂互动讲练互动探究例3的条件不变，试计算(1)计算大约多少年后该城市人口将达到120万人(精确到1年)；(2)如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应控制在多少？解：(1)设x年后该城市人口将达到120万人，即100×(1＋1.2%)x＝120，课堂互动讲练x＝log1.012120100＝log1.0121.20≈15(年)．所以大约15年该城市人口将达到120万人．(2)设年自然增长率为x，依题意有100×(1＋x)20≤120，由此得(1＋x)20≤1.20，由计算器计算得1＋x≤1.009，∴x≤0.9%.所以年自然增长率应控制在小于或等于0.9%.课堂互动讲练考点四函数模型的综合应用(解题示范)(本题满分12分)有一个受到污染的湖泊，其湖水的体积为V立方米，每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量，都为r立方米．现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合．用g(t)表示某一时刻t每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称其为在时刻t时的湖水污染质量分课堂互动讲练(1)当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；数满足关系式g(t)＝pr＋[g(0)－pr]e－rvt(p≥0)，其中g(0)是湖水污染的初始质量分数．(3)如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时(即污染停时)污染水平的5%?课堂互动讲练(2)求证：当g(0)＜pr时，湖泊的污染程度将越来越严重；【思路点拨】(1)水污染质量分数为常数，即g(t)为常数函数；(2)污染程度越来越严重，即证明g(t)为增函数；(3)转化为方程即可解决．课堂互动讲练课堂互动讲练【解】(1)设0≤t1＜t2，∵g(t)为常数，∴g(t1)＝g(t2)，2分即[g(0)－pr]·[e－rvt1－e－rvt2]＝0，∴g(0)＝pr.即湖水污染的初始质量分数为pr.4分课堂互动讲练(2)证明：设0≤t1＜t2，则g(t1)－g(t2)＝[g(0)－pr]·[e－rvt1－e－rvt2]＝[g(0)－pr]·ervt2－ervt1erv(t1＋t2)，6分∵g(0)－pr＜0，t1＜t2，∴g(t1)－g(t2)＜0，∴g(t1)＜g(t2)．故湖泊污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重.8分(3)污染源停止，即p＝0，此时设要经过t天能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.即g(t)＝5%·g(0)，课堂互动讲练g(t)＝g(0)·e－rvt.课堂互动讲练即有5%·g(0)＝g(0)·e－rvt.10分由实际意义知g(0)≠0，∴120＝e－rvt.∴t＝vrln20(天)，即需要vrln20天时间.12分【名师点评】高考数学试题中联系生活实际和生产实际的应用问题，其创意新颖，设问角度独特，解题方法灵活，一般文字叙述长，数量关系分散且难以把握．解决此类问题关键要认真审题，确切理解题意，进行科学的抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题，然后利用函数、方程、不等式等有关知识解答．课堂互动讲练课堂互动讲练高考检阅f(x)＝0.1＋15lnaa－x，x≤6，x－4.4x－4，x＞6(本题满分10分)(2009年高考上海卷)有时可用函数课堂互动讲练描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N*)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．(1)证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f