2011届高考数学函数的奇偶性复习

要点梳理1.奇函数、偶函数的概念一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_______________，那么函数f（x）就叫做偶函数.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_______________，那么函数f（x）就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称.§2.4函数的奇偶性基础知识自主学习f（-x）=f（x）f（-x）=-f（x）2.判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是:（1）考查定义域是否关于____________；（2）考查表达式f（-x）是否等于f（x）或-f（x）：若f（-x）=_______，则f（x）为奇函数；若f（-x）=________，则f（x）为偶函数；若f（-x）=_______且f（-x）=________,则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f（-x）≠-f（x）且f（-x）≠f（x），则f（x）既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数.原点对称-f（x）f（x）-f（x）f（x）3.奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性______,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性______(填“相同”、“相反”）.(2)在公共定义域内，①两个奇函数的和是________,两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积是_________；③一个奇函数，一个偶函数的积是_________.奇函数偶函数奇函数相同相反基础自测1.对任意实数x,下列函数为奇函数的是（）A.y=2x-3B.y=-3x2C.y=ln5xD.y=-|x|cosx解析A为非奇非偶函数,B、D为偶函数,C为奇函数.设y=f(x)=ln5x=xln5,∴f（-x）=-xln5=-f（x）.C2.（2008·全国Ⅱ理）函数的图象关于（）A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称解析∵∴f（x）是奇函数.∴f（x）的图象关于原点对称.xxxf1)(,1)(xxxf).()1(1)(xfxxxxxfC3.下列函数中既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的函数是（）A.f(x)=sinxB.f(x)=-|x-1|C.D.解析∵函数是奇函数,排除B、C（B中函数是非奇非偶函数，C中是偶函数），∵［-1，1］∴f（x）=sinx在[-1,1]上是增函数,排除A,故选D.)(21)(xxaaxfxxxf22ln)(],2,2[D4.已知f(x）=ax2+bx是定义在[a-1，2a]上的偶函数,那么a+b的值是（）A.B.C.D.解析依题意得31312121,031,021babaa.31031baB5.（2008·福建理）函数f（x）=x3+sinx+1(x∈R),若f（a）=2，则f（-a）的值为（）A.3B.0C.-1D.-2解析设g(x)=x3+sinx,很明显g(x)是一个奇函数.∴f（x）=g（x）+1.∵f（a）=g（a）+1=2，∴g（a）=1，∴g（-a）=-1，∴f（-a）=g（-a）+1=-1+1=0.B题型一函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)(2)(3)判断函数的奇偶性,应先检查定义域是否关于原点对称,然后再比较f(x)与f(-x)之间是否相等或相反.题型分类深度剖析思维启迪;11lg)(xxxf;11)1()(xxxxf).0(),0()(22xxxxxxxf解(1)定义域关于原点对称.故原函数是奇函数.(2)≥0且1-x≠0-1≤x1,定义域关于原点不对称,故原函数是非奇非偶函数.,11011xxx),(11lg)11lg(11lg)(1xfxxxxxxxf又xx11(3)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),定义域关于原点对称,又当x0时,f(x)=x2+x,则当x0时,-x0,故f(-x)=x2-x=f(x);当x0时,f(x)=x2-x,则当x0时,-x0,故f(-x)=x2+x=f(x),故原函数是偶函数.判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:一是定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域对解决问题是有利的;二是判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.探究提高分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数,分段函数奇偶性的判断,要分别从x0或x0来寻找等式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)成立,只有当对称的两个区间上满足相同关系时,分段函数才具有确定的奇偶性.知能迁移1判断下列函数的奇偶性:(1)(2);3|3|4)(2xxxf.)1(2)1|(|0)1(2)(xxxxxxf解(1)∵∴-2≤x≤2且x≠0,∴函数f(x)的定义域关于原点对称.∴f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.,3|3|042xx,4)(4)(.4334)(2222xxxxxfxxxxxf又(2)当x-1时,f(x)=x+2,-x1,∴f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x).当x1时,f(x)=-x+2,-x-1,∴f(-x)=(-x)+2=-x+2=f(x).当-1≤x≤1时,f(x)=0,-1≤-x≤1,∴f(-x)=0=f(x).综上可知,对于定义域内的每一个x都有f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.题型二函数的奇偶性与单调性【例2】已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证：f(x)是奇函数；(2)如果x为正实数，f（x）0,并且f(1)=试求f(x)在区间［-2，6］上的最值.(1)根据函数的奇偶性的定义进行证明,只需证f(x)+f(-x)=0;(2)根据函数的单调性定义进行证明，并注意函数奇偶性的应用.思维启迪,21(1)证明∵函数定义域为R,其定义域关于原点对称.∵f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.（2）解方法一设x,y为正实数，∵f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（x+y）-f（x）=f（y）.∵x为正实数，f（x）0,∴f(x+y)-f(x)0,∴f(x+y)f(x).∵x+yx,∴f(x)在（0，+∞）上是减函数.又∵f（x）为奇函数，f（0）=0，∴f（x）在（-∞,+∞）上是减函数.∴f（-2）为最大值，f(6)为最小值.∵f(1)=∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2[f（1）+f（2）]=-3.∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.,21方法二设x1x2,且x1,x2∈R.则f(x2-x1)=f［x2+(-x1)］=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).∵x2-x10,∴f(x2-x1)0.∴f(x2)-f(x1)0.即f(x)在R上单调递减.∴f（-2）为最大值，f（6）为最小值.∵f（1）=∴f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1f（6）=2f（3）=2[f（1）+f（2）]=-3.∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.,21探究提高（1）满足f(a+b)=f(a)+f(b)的函数，只要定义域是关于原点对称的，它就是奇函数.（2）运用函数的单调性是求最值（或值域）的常用方法之一，特别对于抽象函数，更值得关注.知能迁移2函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).（1）求f(1)的值；（2）判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；（3）如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)在(0，+∞)上是增函数，求x的取值范围.解（1）∵对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)，∴令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),∴f(1)=0.(2)令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1).∴f(-1)=f(1)=0.令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x),∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.（3）依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,f（16×4）=f（16）+f（4）=3，∵f(3x+1)+f(2x-6)≤3,∴f((3x+1)(2x-6))≤f(64)(*)21∵f(x)在（0，+∞）上是增函数，∴(*)等价于不等式组∴x的取值范围为.331313753.R331537313,64)62)(13(0)62)(13(64)62)(13(0)62)(13(xxxxxxxxxxxxxxxx或或或或或}.533313137|{xxxx或或题型三函数的奇偶性与周期性【例3】（12分）已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x).（1）求证：f(x)是周期函数；（2）若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)=求使f(x)=在［0，2009］上的所有x的个数.(1)只需证明f（x+T）=f（x），即f（x）是以T为周期的周期函数；(2)由第(1)问可知只需求一个周期中f(x)=的x的个数便可知在[0,2009]上的x的个数.思维启迪,21x2121（1）证明∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），［2分］∴f（x）是以4为周期的周期函数.［3分］（2）解当0≤x≤1时，f(x)=设-1≤x≤0,则0≤-x≤1,∵f(x)是奇函数，∴f（-x）=-f（x）,［5分］故f(x)=(-1≤x≤1).［6分］,21x.21)(21)(xxxf.21)(,21)(xxfxxf即x21解题示范又设1x3,则-1x-21,∴f（x-2）=（x-2）.［7分］又∵f（x-2）=-f（2-x）=-f((-x)+2)=-[-f（-x）]=-f（x），∴-f（x）=（x-2），∴f（x）=（x-2）（1x3）.［8分］［9分］212121)31()2(21)11(21)(xxxxxf由f(x)=解得x=-1.∵f（x）是以4为周期的周期函数，∴f(x)=的所有x=4n-1(n∈Z).［10分］令0≤4n-1≤2009,则又∵n∈Z，∴1≤n≤502（n∈Z）,∴在[0，2009]上共有502个x使f(x)=［12分］判断函数的周期只需证明f（x+T）=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题.,2121,2005141n.21探究提高知能迁移3已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），则f（9）的值为（）A.-1B.0C.1D.2解析∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=f［(x+2)+2］=-f(x+2)=f(x).∴f（x）是周期为4的函数.∴f（9）=f（2×4+1）=f（1）.∵f（x+2）=-f（x），令x=-1,得f(1)=-f(-1)=-f(1),∴f(1)=0.∴f(9)=0.B1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题:(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件;(2)f(-x)=-f(