长沙理工大学概率论与数理统计试题

长沙理工大学数计学院概率论与数理统计模拟试题一考试类别：闭考试时量：120分钟一．填空题(每空2分，共32分)：1．设7.0)(,4.0)(BAPAP,若BA,互不相容,则)(BP;若BA,独立,则)(BP.2．若)4,1(~NX,则~21XY.3．已知6.0)(,8.0)(BAPAP,则)(BAP,)|(ABP.4．从(0,1)中随机地取两个数ba,,则ba大于0的概率为.5．若],2,0[~UX则12XY的概率密度函数为)(yf.6．随机变量),2(~2NX,若3.0)40(XP,则)0(XP.7．设X的分布列为5.0)1()1(XPXP,则X的分布函数为)(xF.8．设随机变量X有分布函数2,120,sin0,0)(xxxAxxF,则A,)6|(|XP.9．一颗均匀骰子被独立重复地掷出10次,若X表示3点出现的次数,则X~.10．设),(YX的联合分布列为则a,Y的分布列为;若令2)2(XZ,则Z的分布列为.11．若)9,2(~NX,且)()(cXPcXP,则c.二．选择题(每题3分，共12分)：1．设BA,为两事件,且1)(0AP,则下列命题中成立的是()A.BA,独立)|()|(ABPABPB.BA,独立BA,互不相容C.BA,独立BAD.BA,独立0)(ABP2．设1,110,20,0)(xxxxxF,则()A.)(xF是一个连续型分布函数XY12311/61/91/1821/3a1/9B.)(xF是一个离散型分布函数C.)(xF不是一个分布函数D.5.0)1(XP3．设随机变量X的概率密度函数为)(xf,且)()(xfxf,)(xF是X的分布函数,则对任意实数a,有()A.adxxfaF0)(1)(B.adxxfaF0)(21)(C.)()(aFaFD.1)(2)(aFaF4．设随机变量}5{},4{).5,(~),4,(~2122uYPpuXPpuNYuNX,则()A.对任意实数21,ppuB.对任意实数21,ppuC.只对u的个别值才有21ppD.对任意实数21,ppu三．某工厂甲、乙、丙三车间生产同一种产品,产量分别占25%,35%,40%,废品率分别为5%,4%和2%.产品混在一起,求总的废品率及抽检到废品时,这只废品是由甲车间生产的概率.(9分)四．箱中装有5个黑球,3个白球,无放回地每次取一球,直至取到黑球为止.若X表示取球次数,求X的分布列,并求)31(XP.(9分)五．设随机变量),(YX的联合概率密度函数为,010,10,),(2yxcxyyxf,求:1)常数c;2))241,210(YXP;3))43(XP;4))(YXP.(16分)六．在一盒子里有12张彩票,其中有2张可中奖.今不放回地从中抽取两次,每次取一张,令YX,分别表示第一、第二次取到的中奖彩票的张数,求),(YX的联合分布列.七．设12,,,,nXXX是来自下列两参数指数分布的样本：1121211,120;,xexxfx其中1,，20,，试求出1和2的最大似然估计.(16分)其它长沙理工大学数计学院概率论与数理统计模拟试题一答案一．填空题1.0.30.52.)1,0(N3.0.80.254.0.55.,011,1y6.0.357.1,111,5.01,0xxx8.10.59.)61,10(B10.2/9Y12p1/32/3Z01p1/32/311.2二．选择题ACBA三．解:设1A={产品由甲厂生产},2A={产品由乙厂生产},3A={产品由丙厂生产},B={产品是废品},由题意%40)(%,35)(%,25)(321APAPAP；%5)|(1ABP,%4)|(2ABP,%2)|(3ABP.2分由全概率公式,310345.002.040.004.035.005.025.0)|()()(iiiABPAPBP,6分从而由贝叶斯公式,36.00345.005.025.0)()|()()()()|(1111BPABPAPBPBAPBAP.9分四．解:由题意知X的可能取值为1,2,3,4,其分布列为,5615)2(,85)1(171518131815CCCCXPCCXP561)4(,565)3(1515383316152823CCCCXPCCCCXP.7分)3()2())3()2(()31(XPXPXXPXP.1455655615.9分五．解:1)由1),(dxdyyxf有6|3122|21110310210210210102cycdyycdyxcydxdycxy其它,6c;4分2)21412141012026),()241,210(dydxxydydxyxfYXP25663)411(2|31630130214121dxxdxyx;8分3)dxdyyxfYXPXP43),(),43()43(1672|3166111103102434343dxxdyyxdydxxy;12分4)10031002|3166),()(dxyxdydxxydxdyyxfYXPxxyx522104dxx.16分六．解:每次只取一张彩票,要么取到中奖彩票,要么没取到中奖彩票,所以YX,的可能取值均为0或1,那么),(YX的联合分布列为,2215)0,0(11119112110CCCCYXP335)1,0(11112112110CCCCYXP,,335)0,1(11111011212CCCCYXP.661)1,1(1111111212CCCCYXP6分七.解：似然函数1212121,,,;,;,nniiLxxxfx12111,21minniixineIx(4分)要使1212,,,;,nLxxx最大，必须minix1且11niix应最小.故1的最大似然估计值为1minix.（8分）而2的最大似然估计值是使2121nLe取最大值的点.此处11niix.（12分）故2=1n.所以2的最大似然估计值为minixx.最大似然估计量为1ˆ=miniX，2ˆ=miniXX.（16分）长沙理工大学数计学院概率论与数理统计模拟试题二考试类别:闭卷考试时量:120分钟试卷类型:A卷一.填空题(每空2分,共40分)得分评卷人复查人1.已知6.0)(,8.0)(BAPAP,则)(BAP,)|(ABP.2.从9,,2,1,0这十个数字中任选三个不相同的数字,1A={三个数字中不含0和5},2A={三个数字中含有0和5},则)(1AP,)(2AP.3.设X~)1(P,Y~)2(P,且X与Y独立,则)2(YXP.4.若X~)1,0(N,Y~)8,2(N,X与Y独立,则32YX~.5．设X与Y独立,2,1DYDX,则)32(YXD.6．已知,4.0,36,25,YXDYDX则),(YXCov,)(YXD.7.设X的分布函数)(xF1,111,5.01,0xxx，则X的分布列为.8.随机变量),2(~2NX,若3.0)40(XP,则)0(XP.9.设),(YX的联合分布列为则a,Y的分布列为;若令2)2(XZ,则EZ.10.若)9,2(~NX,且)()(cXPcXP,则c.11.设随机变量X的期望,1EX方差2DX,由车贝晓夫不等式知)3|1(|XP.12.设YX,独立同分布,有共同的概率密度函数)(xf,则)(YXP.13.设,,,1nXX独立同分布,且11EX,则PniiXn11.14.设74)0()0(,73)0,0(YPXPYXP,则)0),(max(YXPXY12311/61/91/1821/3a1/9.15.设,,,1nXX独立同分布,]2,0[~1UX,则)11(lim1niinXnP.二.单选题(在本题的每一小题的备选答案中,请把你认为正确答案的题号,填入题干的括号内,多选不给分.每题3分,共15分)1.设随机变量X的概率密度函数为)(xf,且)()(xfxf,)(xF是X的分布函数,则对任意实数a,有()①.0()1()aFafxdx②.adxxfaF0)(21)(③.)()(aFaF④.1)(2)(aFaF2.设8.0)|(,7.0)(,8.0)(BAPBPAP,则()①.A,B互不相容②.A,B相互独立③.BA④.P(A-B)=0.13.如果随机变量YX,满足)()(YXDYXD,则必有()①.X与Y独立②.X与Y不相关③.0)(YD④.0)(XD4.4次独立重复实验中,事件A至少出现一次的概率为80/81,则()①.21②.31③.32④.415.设随机变量X服从指数分布)3(E,则),(DXEX()①.(31,31)②.)3,3(③.)91,31(④.)9,3(得分评卷人复查人三.计算题(共45分)1.一仓库有10箱同种规格的产品,其中由甲,乙,丙三厂生产的分别为5箱,3箱,2箱,三厂产品的次品率依次为0.1,0.2,0.3,从这10箱产品中任取一箱,再从这箱中任取一件,求取得正品的概率?若确实取得正品,求正品由甲厂生产的概率.(8分)2.设随机向量),(YX的联合密度函数为:,020,10,),(2yxbxyxyxf求①常数b;②)1(YXP;③)21|1(XYP;④讨论YX,的独立性.(12分)3.袋中有5个红球,3个白球,无放回地每次取一球,直到取出红球为止,以X表示取球的次数,求①X的分布列,②))31(XP,③EX.(9分)4.某教室有50个座位,某班有50位学生,学号分别为1到50.该班同学上课时随机地选择座位,X表示该班同学中所选座位与其学号相同的数目,求X的期望EX.(8分)５．设12,,,nXXX为总体X的一个样本，X的密度函数:(1),01()0,xxfx其他得分评卷人复查人其它，0,求参数的矩估计量和极大似然估计量。(8分)长沙理工大学数计学院概率论与数理统计模拟试题二答案概率论试题标准答案及评分细则(方向一)考试类别:闭卷考试时量:120分钟试卷类型:A卷一.1.0.80.252.7/151/153.92/3e4.)1,0(N5.226.12857.X-11P0.50.58.0.359.923210.211.9712.0.513.114.5/715.0.5二.②②②③③三.1.设1A={取中甲厂产品},2A={取中乙厂产品},3A={取中丙厂产品},B={取中次品},B={取中正品},由题意102)(,103)(,105)(110123110132110151CCAPCCAPCCAP,1.0)|(1ABP,2.0)|(2ABP,3.0)|(3ABP.2分由全概率公式,取得次品的概率为3117.03.02.02.03.01.05.0)|()()(iiiABPAPBP,所以取得正品的概率为83.017.01)(1)(BPBP;5分由贝叶斯公式,此正品是甲厂产品的概率为)()|()()()()()|(11111BPABPAPAPBPBAPBAP