近世代数习题解答(张禾瑞)一章

近世代数习题解答第一章基本概念1集合1.AB,但B不是A的真子集,这个情况什么时候才能出现?解׃只有在BA时,才能出现题中说述情况.证明如下当BA,但B不是A的真子集,可知凡是属于A而Ba,显然矛盾;若AB,但B不是A的真子集,可知凡属于A的元不可能属于B,故BA2.假定BA,?BA,A∩B=?解׃此时,A∩B=A,这是因为A∩B=A及由BA得AA∩B=A,故ABA,BBA,及由BA得BBA,故BBA,2映射1.A=100,3,2,1，,找一个AA到A的映射.解׃此时1),(211aaAaa21,1212),(aaa易证21,都是AA到A的映射.2.在你为习题1所找到的映射之下,是不是A的每一个元都是AA到A的一个元的的象?解׃容易说明在1之下,有A的元不是AA的任何元的象;容易验证在2之下,A的每个元都是AA的象.3代数运算1.A={所有不等于零的偶数}.找到一个集合D,使得普通除法是AA到D的代数运算;是不是找的到这样的D?解׃取D为全体有理数集,易见普通除法是AA到D的代数运算;同时说明这样的D不只一个.2.Acba,,.规定A的两个不同的代数运算.解׃abcaabcabcbbcaaaaaccabbdaacaaa4结合律1.A={所有不等于零的实数}.是普通除法:baba.这个代数运算适合不适合结合律?解׃这个代数运算不适合结合律:212)11(,2)21(1,从而)21(12)11(.2.A={所有实数}.:bababa2),(这个代数运算适合不适合结合律?解׃这个代数运算不适合结合律cbacba22)(,cbacba42)()()(cbacba除非0c.3.A={cba,,},由表所给的代数运算适合不适合结合律?解׃经过27个结合等式后可以得出所给的代数运算适合结合律.5交换律1.A={所有实数}.是普通减法:baba.这个代数运算适合不适合交换律?解׃一般地abba除非ba.2.},,,{dcbaA,由表abcdaabcdbbdacccabdddcab所给出代数运算适合不适合交换律?解׃ddc,acdabcaabcbbcaccab从而cddc.故所给的代数运算不适合交换律.6分配律假定:,是A的两个代数运算,并且适合结合律,,适合两个分配律.证明)()()()(22122111babababa)()()()(22211211babababa证׃)()()()(22122111babababa=])[(])[(221121baabaa=)()(2121bbaa=)]([)]([212211bbabba)()()()(22211211babababa7一一映射、变换1.A={所有0的实数},A{所有实数}.找一个A与A间的意义映射.证:aaalog因为a是大于零的实数,所以alog是实数即Aa,而Aa,而且babaloglog.因此是A到A的映射.又给了一个A的任意元a,一定有一个A的元a,满足aalog,因此是A到A的满射.aaalogbbblog若ba,则baloglog.即baba因此又是A到A的单射.总之,是A到A的一一映射.2.A={所有0的实数},A{所有实数a,10a}.找一个A到A的满射.证aaasin:,容易验证是A到A的满射.3.假定是A与A间的一个一一映射,a是A的一个元.?)]([1A?)]([1a若是A的一个一一变换,这两个问题的回答又该是什么?解׃aa)]([1,aa)]([1未必有意义;当是A的一一变换时,.)]([,)]([11aaaa8同态1.A={所有实数x},A的代数运算是普通乘法.以下映射是不是A到A的一个子集A的同态满射?xxa)xxb2)2)xxcxxd)证׃)a显然A{所有0的实数}.又由于yxxyxy可知xx是A到A的同态满射.)b由于)2)(2(2yxxyxy(除非0xy)所以xx2不是A到A的同态满射.)c由于222)()()(yxxyxy,易知2xx是A到A的同态满射.这里A={所有0的实数}.)d一般来说,))((yxxy,:所以xx不是A到A的同态满射.2.假定A和A对于代数运算和来说同态，A和A对于代数运算和来说同态，证明A和A对于代数运算和来说同态。证:用:1aa表示A到A的同态满射,2aa表示A到A的同态满射.令：])([12aaa,容易验证是A到A的满射babababa)][()]([212所以是A和A的关于代数运算,来说的同态满射。9同构、自同构1.A={cba,,},代数运算由下表给定abcacccbccccccc找出所有A的一一变换.对于代数运算来说,这些一一变换是否是A的子同构.证:所有A的一一变换有6个aa:1bbccba:2abccba:3cbacca:4bbacca:5abbcaa:6cbbc容易验证1及2是A的子同构.2.A={所有有理数},找一个A的对于普通加法来说的子同构(映射xx除外)证:xx2,对普通加法来说是A的一个子同构,验证这一点是容易的.3.A{所有有理数};A的代数运算是普通加法.A{所有0的有理数}A的代数运算是普通乘法.证明对于给的代数运算来说,A与A间没有同构映射存在(现决定0在一个同构映射之下的象)证:设A与A间有同构映射存在,先看在之下0的象00a再看在之下某一元a的象aa,那么aaa00.但aa0.所以aaa0,0a故必10a,即10对A1来说,在之下设有Ax0,1x由于是一同构映射,于是)1)(1(12xxx但又知,10,故,02x从而0x,与0x矛盾.10等价关系与集合的分类1.A={所有实数},A的元间的关系以及是不是等价关系?解׃不是等价关系,因为a不大于a不是等价关系,因为12但1不大于等于2.2.有人说:假如一个关系R适合对称和推移律,那么它也适合反射律.他的推论方法是:因为R适合对称律bRaaRb因为R适合推移律aRabRaaRb,这个推论方法有什么错误?证:这里aRa的a是受对称律,推移律约束的而不是集合中的任意a.今举一例说明上述推论方法是错误的:比如:A={}2,,是”互补”是A的元间的一个关系.容易验证这一关系R适合对称律,推移律,但不适合反射律.3.仿照例3规定整数间的关系)5(ba证明你所规定的一个等价关系,并且找出模5的剩余类.证:规定)5(ba当而且只当ba5时,因为ba5所以)5(aaba5ab5)5()5(abba)5()5(,5acbba,)5()5(),5(cacbba因而是等价关系,对模5的剩余类:},10,5,0,5,10,{]0[},11,6,1,4,9,{]1[},12,7,2,3,8,{]2[},13,8,3,2,7,{]3[},14,9,4,1,6,{]4[