电子科大数值分析期末试卷及评分细则1

一、填空题：（30分，每空3分）1.真值x*=23.496，近似值x=23.494，x的有效位数为4。2.等比数列11,1nnpp，设01p，若0p有误差，按照通项公式生成的数列误差随着n的增大而_____减小3.对于定义于[a,b]区间上可积函数()fx，在[a,b]上取10个求积节点，则插值型数值积分公式90()()biiaifxdxAfx的最高代数精度能达到19。4.解线性方程组xbA的SOR迭代法的迭代矩阵为S，松弛因子为，如果SOR法收敛，其充要条件为()1S。5.矩阵1023A，则()condA=___5____。6.01(),(),()nlxlxlx是以0,1,...,n为插值节点的Lagrange插值基函数，则0niiilxx。7.对于初值问题',,()yfxyaxbyaA，设步长为h，使用右矩形数值求积公式建立Euler法公式为：111,kkkkyyhfxy。8.求解线性方程组04511532121xxxx的Jacobi迭代格式的迭代矩阵的谱半径)(G___36_______。9.设区间[a,b]上的可积函数fx,使用抛物线对三点a，2ab，b进行插值，则对应的数值积分公式______()()4()()62babaabfxdxfaffb（simpson公式）。10.两点0101,,xxxx的三次Hermite插值的余项公式是：______(4)2201()24fxxxx，二、判断题：错误用“×”、正确用“√”示意（10分，每小题2分）1.最小二乘法拟合中得到的线性方程组总是数值稳定的。（×）2.互异的插值节点越多，使用Lagrange插值的结果误差就越小。（×）3.矩阵的范数越大，其条件数就越大。（×）4.相同的互异求积节点前提下，Gauss求积是具有最高代数精度的插值型积分求积公式。（√）5.使用隐式Euler法解常微分方程初值问题，如果步长增加，则算法的数值稳定性将下降。（×）三、阐述题：（8分）使用Lagrange多项式插值逼近未知函数，为了提高插值结果的精确性，可以考虑增加插值节点，讨论这种方式的优缺点，并对可替代方法进行简单描述。1）增加插值节点等价于增加采样点，插值函数的光滑性增加，阐述出lagrange的runge现象，指明lagrange插值只能用于低阶插值，3分2）描述出分段线性插值法，1分，2）描述出分段Hermite和样条插值，4分。四、解答题：（52分）1.（12分）用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法解方程组Axb，分析其敛散性，式中122111221A；解：用Gauss-Seidel法，迭代矩阵为1()GDLU其中1221,1,1122DLU（2分）特征方程0()0DLU-1I-D-LU（3分）由已知2()(44)0DLU得特征值1330,2(12),2(12)，（4分）所以()2(12)1G，因此Gauss-Seidel迭代法发散。（3分）2.（10分）对于数值求积公式1112()(1)()()33fxdxfff确定其中的待定参数,，使得代数精度尽可能高，并求出代数精度。解：1)f(x)=1时，左=2，右=2；（1分）2)()fxx时，左=0，右=11233。（1分）3)2()fxx，左=23，右=2211233（1分）要求积分公式的代数精度达到2，要求下列方程成立221123031212333（1分）22231231（1分）解得1,21,2165126515（3分）（注，少算出一个，扣1分，如果只算出一个，得1分）于是得到积分公式11111216126()(1)()()()33551512126126()(1)()()()33515515fxdxfffAfxdxfffB（1分）4)3()fxx时，左=1，A，B两式右端均1，故积分的代数精度为2.（1分）3.（12分）有数表如下x2.22.63.44.01.0y6561545090用最小二乘法确定拟合模型byax中的参数a，b。解：对拟合模型两边求对数，有101010logloglogyabx，（1分）令101010log,log,log,YyXxa，变量代换后有YbX（1分）同理，对数表进行代换后有X0.3420.4150.5310.6020Y1.8131.7851.7321.6991.954取011,xxx，根据最小二乘法，即有（2分）42000401042110400310,15,1.89,0.934,8.983,3.303iiiiiiiiiiXXYYYXY（5分）于是正规方程组为51.898.9831.890.9343.303b（1分）解得1.9560.421b（1分）于是1090.356a，拟合模型为0.42190.356yx（1分）4.(18分)微分方程如下2,01(0)1dyyxyxdxy1)（8分）用预估-校正Euler法解上述初值问题（步长h=0.2）。2)（10分）写出Matlab求解代码，要求程序具有步长输入功能。解：令2,nnnnnfxyyxy，则预估-校正Euler法1111,,,2nnnnnnnnnnyyhfxyhyyfxyfxy(2分)于是：1）x=0.2，1000.21.2yyy101120110.2,,20.210.21.19122nnnnyyfxyfxyyyy(2分)2）x=0.4,2211110.21.3727yyyxy2111221112220.4,,21.19120.11.3438nnnnyyfxyfxyyxyyxy(2分)3）x=0.6,2322220.21.4680yyyxy3211222223330.2,,21.34380.11.4235nnnnyyfxyfxyyxyyxy（2分）程序参考代码：n=input('inputn:=');f=inline('y-x.*y.^2');h=2/n;x=h:h:2;y0=1;k1=f(0,y0);k2=f(h,y0+h*k1);y(1)=y0+0.5*h*(k1+k2);fork=1:n-1xk=x(k);yk=y(k);k1=f(xk,yk);k2=f(xk+h,yk+h*k1);y(k+1)=yk+0.5*h*(k1+k2);end评分细则：1）输入以及初始化，2分2）第一次预估计算的实现，3分3）循环的正确编程，7分