二、函数及基本初等函数3.-函数的单调性

第3讲函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2当x1x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)要点梳理图象描述自左向右看图象是自左向右看图象是(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是或，则称函数f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，叫做f(x)的单调区间．上升的下降的增函数减函数区间D一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1x2；②作差；③变形(通常是因式分解和配方)；④判断符号(即判断f(x1)－f(x2)的正负)；⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．2．函数单调性的判定方法(1)定义法：利用定义（2）图象法：在区间I上，如果函数的图象从左向右是上升的，则函数在区间I上为______，如果函数的图象从左向右是下降的，则函数在区间I上为______；增函数减函数(3)复合法：对于复合函数y＝f[g(x)]，如果内、外层函数单调性相同，那么y＝f[g(x)]为________，如果内、外层函数单调性相反，那么y＝f[g(x)]为__________．增函数减函数（4）导数法：设函数y＝f(x)在某区间I内可导，若f′(x)0，则函数y＝f(x)为区间I上的______，若f′(x)0，则函数y＝f(x)为区间I上的______；增函数增（减）函数减函数减函数相反增函数(5)性质法：①若f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)为______函数；若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)－g(x)为________；若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则f(x)－g(x)为________函数．②奇函数在两个对称的区间上具有________的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有________的单调性．③互为反函数的两个函数具有________的单调性．相同相同3.六种常见函数的单调性：（1）一次函数：（2）二次函数：（3）反比例函数：（4）指数函数：（5）对数函数：（6）幂函数：}借助函数图像得单调性}看函数解析式相应字母的范围（1）一次函数y=kx+b的单调性：K0,函数单调递增K0,函数单调递减22yaxbxc二次函数的单调性abx2a2b--，单调减区间,b单调增区间-2aa0a0b--2a单调增区间，,b单调减区间-2a（3）反比例函数的单调性：,(0)kykxxy0xy0xy0xy0k0k0单调减区间：(-∞,0),(0,+∞)单调增区间：(-∞,0),(0,+∞)的单调性及函数xyayaxlog4上单减，在上单减在时，0logy,10xayaax1,ylog0xaayax时，在上单增在，上单增（5）幂函数y=xa性质：若a0，则y=xa在[0，+∞）上是增函数；若a0，则y=xa在（0，+∞）上是减函数；4．证明函数单调性的方法(1)________；(2)________．定义法导数法题型剖析题型一函数单调性的判断例1判断并证明函数f(x)＝x3＋a(a∈R，a是常数)的单调性．判断函数的单调性一般有两种方法：①利用函数单调性的定义；②利用导数法．函数单调性的定义的变形形式给定区间D上的任意x1、x2，如果x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)(或f(x1)＞f(x2))，则函数f(x)为这个区间D上的递增(减)函数．这个定义有如下两种等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么①fx1－fx2x1－x2＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0⇔f(x)在[a，b]上是增函数．②fx1－fx2x1－x20⇔f(x)在[a，b]上是减函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．①②的几何意义是：增(减)函数图象上任意两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率都大于(小于)0.解f(x)＝x3＋a在R上是增函数．证明如下：方法一设x1，x2是R上任意两个实数，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝(x31＋a)－(x32＋a)＝(x1－x2)(x21＋x1x2＋x22)＝(x1－x2)x1＋x222＋3x224，∵x1x2，∴x1－x20，x1＋x222＋3x2240，∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，∴f(x)＝x3＋a在R上是增函数．方法二∵f′(x)＝3x2≥0在R上恒成立且不恒为0.∴f(x)在R上是增函数．探究提高(1)证明函数的单调性用定义法的步骤是：取值—作差—变形—确定符号—下结论．(2)利用导数证明的一般步骤为：求导，判断导函数在区间上的符号，下结论．导数法是比较常用的一种方法．变式讨论函数f(x)＝x＋ax(a0)的单调性．解方法一显然f(x)为奇函数，所以先讨论函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性，设x1x20，则f(x1)－f(x2)＝x1＋ax1－x2＋ax2＝(x1－x2)·1－ax1x2.当0x2x1≤a时，ax1x21，则f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故f(x)在(0，a]上是减函数．当x1x2≥a时，0ax1x21，则f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故f(x)在[a，＋∞)上是增函数．∵f(x)是奇函数，∴f(x)分别在(－∞，－a]、[a，＋∞)上为增函数；f(x)分别在[－a，0)、(0，a]上为减函数．方法二由f′(x)＝1－ax2＝0可得x＝±a，当xa或x－a时，f′(x)0，∴f(x)分别在[a，＋∞)、(－∞，－a]上是增函数．同理0xa或－ax0时，f′(x)0，即f(x)分别在(0，a]、[－a，0)上是减函数．题型二求函数的单调区间例2求函数(x2－3x＋2)的单调区间．解令u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作与u＝x2－3x＋2的复合函数．令u＝x2－3x＋20，则x1或x2.∴函数(x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．21logy12logyu21logy注：求函数的单调区间时，一定先求定义域，最后和定义域求交集又u＝x2－3x＋2的对称轴x＝32，且开口向上．∴u＝x2－3x＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．而在(0，＋∞)上是单调减函数，∴(x2－3x＋2)的单调减区间为(2，＋∞)，单调增区间为(－∞，1)．12logyu21logy变式函数(2x2－3x＋1)的递减区间为()A．(1，＋∞)B.－∞，34C.12，＋∞D.34，＋∞解析作出t＝2x2－3x＋1的示意图如图所示，∵0121，∴递减．要使(2x2－3x＋1)递减，t应该大于0且递增，故x∈(1，＋∞)．A21logy12logyt21logy题型三抽象函数的单调性例已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x0时，f(x)0，f(1)＝－23.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．问题(1)对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值，证明f(x)为单调减函数的首选方法是用单调性的定义来证．问题(2)用函数的单调性即可求最值．(1)证明方法一∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．在R上任取x1x2，则x1－x20，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．又∵x0时，f(x)0，而x1－x20，∴f(x1－x2)0，即f(x1)f(x2)．因此f(x)在R上是减函数．方法二设x1x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又∵x0时，f(x)0，而x1－x20，∴f(x1－x2)0，即f(x1)f(x2)，∴f(x)在R上为减函数．(2)解∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.探究提高对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)－f(x2)与0的大小，或fx1fx2与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x1＝x2·x1x2或x1＝x2＋x1－x2等．变式已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足fx1x2＝f(x1)－f(x2)，且当x1时，f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．解(1)令x1＝x20，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1x2，则x1x21，由于当x1时，f(x)0，所以fx1x20，即f(x1)－f(x2)0，因此f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)∵f(x)在[0，＋∞)上是单调递减函数，∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．由fx1x2＝f(x1)－f(x2)得f93＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.例奇函数f(x)是R上的减函数，对任意实数x，恒有f(kx)＋f(－x2＋x－2)＞0成立，求k的取值范围．解析由f(kx)＋f(－x2＋x－2)＞0，得f(kx)＞－f(－x2＋x－2)，而f(x)是奇函数，有f(kx)＞f(x2－x＋2)，又f(x)在R上为减函数，所以kx＜x2－x＋2.即x2－(k＋1)x＋2＞0恒成立，Δ＝(k＋1)2－4×2＜0.解得－22－1＜k＜22－1.点评本题既要利用奇函数的性质，又要利用减函数的性质，而函数的单调性是解(证)不等式的重要依据.题型四利用函数的单调性解不等式分析此类抽象函数题目要充分利用函数的性质，想法去掉函数符号“f”，使之成为具体函数，然后求解．变式1设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在[0,2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围．解析∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．∴不等式f(1－m)＜f(m)⇔f(|1－m|)＜f(|m|)．又当x∈[0,2]时，f(x)是减函数．∴|1－m|＞|m|，－2≤1－m≤2，－2≤m≤2.解得－1≤m＜12.变式2：函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x0时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)2.审题视角(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”，是本小题的切入点．要构造出f(M)f(N)的形式．规范解答(1)证明设x1x2，∴x2－x10，当x0时，f(x)1，∴f(x2－x1)