1 定积分的元素法与几何应用

第六章定积分的应用定积分的元素法；定积分的几何应用；定积分的物理应用。一.定积分的元素法回顾曲边梯形求面积的问题badxxfA)(曲边梯形由连续曲线)(xfy)0)((xf、x轴与两条直线ax、bx所围成。abxyo)(xfy分割——近似代替——求和——取极限面积表示为定积分的步骤如下:iiixfA)(],[1iiixx;],[).1n1iiiiAAAnnxnba，则为个窄小曲边梯形的面积第个小窄曲边梯形，相应的曲边梯形被分成，的小区间个长度为分成把区间的近似值计算iA).2.)().31iniixfAA的近似值，求和，得abxyo)(xfy4).求极限，得A的精确值iinixfA)(lim10badxxf)(提示若用A表示任一小区间],[xxx上的窄曲边梯形的面积，则AA，并取dxxfA)(，于是dxxfA)(dxxfA)(lim.)(badxxfxdxxdA面积元素特点：1.所求量具有代数可加性，即大区间上对应的量等于个小区间上对应的量的和，如面积、质量、功、体积等；2.所求量在区间上分布不均匀。元素法(微元法)的一般步骤：];,[)1bax变化区间积分变量，并确定它的为选取一个变量如根据问题的具体情况，.)()()(],[.],,[],[)2dxxfdUdUUdxxfdxxfxbaUUdxxxnba，即元素且记作的称为量的乘积，就把与处的值上的一个连续函数在地表示为能近似若的近似值小区间的部分量求出相应于这任一小区间并记为个小区间，取其中分成设法把区间这个方法通常叫做微元法或元素法．应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．的积分表达式。所求量即为上作定积分，得区间为被积表达式，在的元素以所求量UdxxfUbadxxfUba,)(],[)()3二.定积分的几何应用平面图形的面积；立体体积；曲线弧长。1.平面图形的面积1).直角坐标下的面积公式xyo)(xfyabxyo)(1xfy)(2xfyab曲边梯形的面积badxxfA)(曲边梯形的面积badxxfxfA)]()([12xxxxx)(yx)(yxdcxy0围成，则面积与直线平面图形由曲线)(,)(),(dcdycyyxyxdcdyyyA)]()([例1计算由两条抛物线xy2和2xy所围成的图形的面积.解两曲线的交点)1,1()0,0(面积元素dxxxdA)(2]1,0[,xx作积分变量选dxxxA)(21010333223xx.312xy2yx例2计算由曲线xy22和直线4xy所围成的图形的面积.解两曲线的交点).4,8(),2,2(422xyxy]4,2[yy作积分变量，选dyyydA242.1842dAAxy22xy224xy若选x为积分变量，则8220)]4(2[)]2(2[dxxxdxxxA822822/3202/3)4(213223222xxx182).参数方程的面积公式若所给曲线方程为.,)()(ttyytxx.)()(dttxtyA围图形的面积为所轴与直线，则由连续，在，，bxaxxtyytxxtxtytxbxax,)(),(],[)()()(,)(,)(例3求椭圆12222byax的面积.解椭圆的参数方程tbytaxsincos由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．aydxA0402)cos(sin4tatdbdttab202sin4.ab3).极坐标下的面积公式设由曲线)(r及射线、围成一曲边扇形，求其面积．这里，)(在],[上连续，且0)(．面积元素ddA2)]([21曲边扇形的面积.)]([212dAxodd)(r例5求双纽线2cos22a所围平面图形的面积.解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积14AAdaA2cos214402.2axy1A1A2cos22a例6求心形线)cos1(ar所围平面图形的面积)0(a.解dadA22)cos1(21利用对称性知.232add2)cos1(02212aAd)coscos21(202a2sin41sin2232a0d例7求园sin2r与双纽线2cos2r的公共部分的面积。64解：图形关于y轴对称，由2cossin22rr216r，焦点坐标为求得两曲线在第一象限围成；与射线图形由6sin2r.62cos2围成与射线图形由r故所求面积为：]2cos21)sin2(21[26/4/6/02ddA6/4/6/022cossin2dd2316小结求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）hw：p2792(3),3,5(1),6,8(1),10.2.立体体积1).已知平行截面面积的立体体积xoabxdxx)(xA表示过点x且垂直于x轴的截面面积，)(xA为x的已知连续函数,)(dxxAdV.)(badxxAV立体体积如果一个立体由一曲面和垂直于轴的二平面围成，它垂直于轴的截面面积为，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.xxbxax,)(xA例1一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.解取坐标系如图底圆方程为222Ryx垂直于x轴的截面为直角三角形截面面积,tan)(21)(22xRxA立体体积dxxRVRRtan)(2122.tan323RRRxyoxRRxhRxoxA(x)A(x)yhxRhV=RRxxAd)(.RRxxRhdθθhRπdcos22022hR...–Ry.例2求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。y2).旋转体的体积圆柱圆锥圆台旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．xf(x)ab曲边梯形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕x轴旋转求旋转体体积xf(x)abx.111111111)(xA)(2xfbaxxf)d(曲边梯形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕x轴旋转V=求旋转体体积x=g(y)yx0cd曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d绕y轴求旋转体体积x=g(y)yx0cd曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d绕y轴.求旋转体体积x=g(y)yx0cddcyyAVd)()(yAydcyygVd)(..)(2yg.求旋转体体积.曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d绕y轴abf(x)yx0求旋转体体积—柱壳法曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕y轴xdxxabyx0)(π2xxf内表面积.dx.求旋转体体积—柱壳法曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕y轴dV=2xf(x)dxf(x)byx0a.求旋转体体积—柱壳法曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕y轴dV=2xf(x)dxf(x)byx0a.求旋转体体积—柱壳法曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕y轴dV=2xf(x)dxf(x)0y0xbxadx.求旋转体体积—柱壳法曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕y轴dV=2xf(x)dxf(x)f(x)Yx0bdx0yz.baxxxfVd)(a.曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕y轴求旋转体体积—柱壳法dV=2xf(x)dx积；轴旋转所得旋转体的体所围图形绕与求抛物线例yxyxy21解：，与两曲线交点为)1,1()0,0()1,1(2xy2yxyx0ydyy所求旋转体体积应为两个曲边梯形绕y轴旋转所得旋转体体积之差，故1022102)()(dyydyyVdyyy104)(103；旋转体的体积为轴旋转所成绕证明由椭圆例222223412abVxbyax证明：上半椭圆方程为：22xaabyaadxyV2dxxaabaa)(2222234ab).(343为球半径时，为球体体积特别地，aaVba轴所得旋转体的体积。绕所围图形求星形线例xttaytax)20(sincos333xy0aa解：由对称性，有：adxyV02202/223sincos3)sin(2tdttata2/0973)sin(sin6dttta310532a该圆锥体的体积。，试求，高为设一正园锥体的半径为例hr4),(rhhxxdxxry0解：],0[,hxxhrydxxhrdV2)(],,[],0[dxxxh上任取一小区间在hdxxhrV02)(.),(),0,(),0,0(轴旋转所得的旋转体形绕为顶点的平面三角该锥体可以看作是以点xrhh三角形的斜边方程为：hdxxhr022232hr),(rhhyxdyyry0或dyyrhhydV)(2轴而得看作是以窄曲边梯形绕yrdyyrhhyV0)(2rrdyyrhydy0202232hr例5求由曲线24xy及0y所围成的图形绕直线3x旋转构成旋转体的体积.解取积分变量为y,]4,0[y体积元素为dyQMPMdV][22dyyy])43()43([22,412dyydyyV40412.643dyPQM3.曲线的弧长xoy0MAnMB1M2M1nM设A、B是曲线弧上的两个端点，在弧上插入分点BMMMMMAnni,,,,,110并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时，此折线的长||11niiiMM的极限存在，则称此极限为曲线弧AB的弧长.设曲线弧为)(xfy)(bxa，其中)(xf在],[ba上有一阶连续导数xoyabxdxx取积分变量为x，在],[ba上任取小区间],[dxxx，以对应小切线段的长代替小弧段的长dy小切线段的长22)()(dydxdxy21弧长元素dxyds21弧长.12dxysba曲线弧为,)()(tytx)(t其中)(),(tt在],[上具有连续导数.22)()(dydxds222))](()([dtttdttt)()(22弧长.)()(22dttts曲线弧为)()(rr其中)(在],[上具有连续导数.sin)(cos)(ryrx)(22)()(dydxds,)()(22drr弧长.)()(22drrs例1求星形线323232ayx)0(a的全长.解星形线的参数方程为taytax33sincos)20(t根据对称性14ssdtyx20224dttta20cossin34.6a第一象限部分的弧长aayx用直角坐标求曲线长3/23/23/2ayx求导得：方程两边对x032323/13/1yyx3xyydxyds21dxxy3/23/21dxxyx3/13/23/2