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引言一、必然现象与随机现象在自然界和人的实践活动中经常遇到各种各样的现象，这些现象大体可分为两类：一类是确定的，例如“在一个标准大气压下，纯水加热到100C时必然沸腾。”“向上抛一块石头必然下落。”，“同性电荷相斥，异性电荷相吸。”等等，这种在一定条件下有确定结果的现象称为必然现象（确定性现象）；另一类现象是随机的，例如：在相同的条件下，向上抛一枚质地均匀的硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，不论如何控制抛掷条件，在每次抛掷之前无法肯定抛掷的结果是什么，这个试验多于一种可能结果，但是在试验之前不能肯定试验会出现哪一个结果。同样地同一门大炮对同一目标进行多次射击（同一型号的炮弹），各次弹着点可能不尽相同，并且每次射击之前无法肯定弹着点的确切位置，以上所举的现象都具有随机性，即在一定条件下进行试验或观察会出现不同的结果（也就是说，多于一种可能的试验结果），而且在每次试验之前都无法预言会出现哪一个结果(不能肯定试验会出现哪一个结果），这种现象称为随机现象。再看两个试验：试验Ⅰ：一盒中有十个完全相同的白球，搅匀后从中摸出一球；试验Ⅱ：一盒中有十个相同的球，其中5个白球，5个黑球，搅匀后从中任意摸取一球。对于试验Ⅰ而言，在球没有取出之前，我们就能确定取出的球必是白球，也就是说在试验之前就能判定它只有一个确定的结果这种现象就是必然现象（必然现象）。对于试验Ⅱ来说，在球没有取出之前，不能确定试验的结果（取出的球）是白球还是黑球，也就是说一次试验的结果（取出的球）出现白球还是黑球，在试验之前无法肯定。对于这一类试验而言，骤然一看，似乎没有什么规律而言，但是实践告诉我们，如果我们从盒子中反复多次取球（每次取一球，记录球的颜色后仍把球放回盒子中搅匀），那么总可以观察到这样的事实，当试验次数n相当大时，出现白球的次数白n和出现黑球的次数黑n是很接近的，比值nn白（或nn黑）会逐渐稳定于21，出现这个事实是完全可以理解的，因为盒子中的黑球数与白球数相等，从中任意摸一球取得白球或黑球的“机会”相等。试验Ⅱ所代表的类型，它有多于一种可能的结果，但在试验之前不能确定试验会出现哪一种结果，这类试验所代表的现象成为随机现象，对于试验而言，一次试验看不出什么规律，但是“大数次”地重复这个试验，试验的结果又遵循某些规律，这些规律称之为“统计规律”。在客观世界中，随机现象是极为普遍的，例如“某地区的年降雨量”，“某电话交换台在单位时间内收到的用户的呼唤次数”，“一年全省的经济总量”等等。二、随机试验上面对随机试验做了描述性定义，下面进一步明确它的含义，一个试验如果满足下述条件：（1）、试验可以在相同的条件下重复进行；（2）、试验的所有可能结果是明确的，可知道的（在试验之前就可以知道的）并且不止一个；（3）、每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验出现哪一个结果。称这样的试验是一个随机试验，为方便起见，也简称为试验，今后讨论的试验都是指随机试验。三、概率论与数理统计的研究对象概率论是从数量侧面研究随机现象及其统计规律性的数学学科，它的理论严谨，应用广泛，并且有独特的概念和方法，同时与其它数学分支有着密切的联系，它是近代数学的重要组成部分。数理统计是对随机现象统计规律归纳的研究，就是利用概率论的结果，深入研究统计资料，观察这些随机现象并发现其内在的规律性，进而作出一定精确程度的判断，将这些研究结果加以归纳整理，形成一定的数学模型。虽然概率论与数理统计在方法上如此不同，但作为一门学科，它们却相互渗透，互相联系。概率论与数理统计这门学科的应用相当广泛，不仅在天文、气象、水文、地质、物理、化学、生物、医学等学科有其应用，且在农业、工业、商业、军事、电讯等部门也有广泛的应用。四、概率论与数理统计发展简史概率论被称为“赌博起家”的理论。概率论产生于十七世纪中叶，是一门比较古老的数学学科，有趣的是：尽管任何一门的数学分支的产生与发展都不外乎是生产、科学或数学自身发展的推动，然而概率论的产生，却起始于对赌博的研究，当时两个赌徒约定赌若干局，并且谁先赢c局便是赢家，若一个赌徒赢a局(ac)，另一赌徒赢b局(bc)时终止赌博，问应当如何分赌本？最初正是一个赌徒将问题求教于巴斯葛，促使巴斯葛同费尔玛讨论这个问题，从而他们共同建立了概率论的第一基本概念——数学期望。1657年惠更斯也给出了一个与他们类似的解法。在他们之后，对于研究这种随机（或称偶然）现象规律的概率论做出了贡献的是贝努里家族的几位成员，雅科布给出了赌徒输光问题的详尽解法，并证明了被称为“大数定律”的一个定理（贝努里定理）这是研究偶然事件的古典概率论中极其重要的结果，它表明在大量观察中，事件的频率与概率是极其接近的，历史上第一个发表有关概率论论文的人是贝努里，他于1713年发表了一篇关于极限定理的论文，概率论产生后的很长一段时间内都是将古典概型作为概率来研究的，直到1812年拉普拉斯在他的著作《分析概率论》中给出概率明确的定义，并且还建立了观察误差理论和最小二乘法估计法，从这时开始对概率的研究，实现了从古典概率论向近代概率论的转变。概率论在二十世纪再度迅速发展起来，则是由于科学技术发展迫切地需要研究有关一个或多个连续变化着的参变量的随机变数理论即随机过程论，1906年俄国数学家马尔可夫（1856-1922）提出了所谓“马尔可夫链”的数学模型对发展这一理论做出贡献的还有柯尔莫哥洛夫（俄国）、费勒（美国）；1934年俄国数学家辛钦又提出了一种在时间中均匀进行着的平稳过程的理论。随机过程理论在科学技术有着重要的应用，开始建立了马尔可夫过程与随机微分方程之间的联系。1960年，卡尔门（1930—英国）建立了数字滤波论，进一步发展了随机过程在制导系统中的应用。概率论的公理化体系是柯尔莫哥洛夫1933年在集合论与测度论的基础上建立起来的，从而使概率论有了严格的理论基础。我国的概率论研究起步较晚，从1957年开始，先驱者是许宝马录先生。1957年暑期许老师在北大举办了一个概率统计的讲习班，从此，我国对概率统计的研究有了较大的发展，现在概率与数理统计是数学系各专业的必修课之一，也是工科，经济类学科学生的公共课，许多高校都成立了统计学（特别是财经类高校）。今年来，我国科学家对概率统计也取得了较大的成果。五、学习概率论与数理统计的方法概率论与数理统计是一门处理随机现象的学科，初学者对概率论与数理统计的基本概念感到很抽象，基本方法难以掌握，习题难做。但是只要讲究学习方法，勤奋努力，不利因素就会转化为有利因素，概率论与数理统计之难恰好能培养大家分析问题和解决问题的能力，总之：1、深刻理解，牢固掌握基本概念。2、多做练习，狠抓解题基本功。六、主要参考书目：1、复旦大学编概率论第一分册概率论第二分册数理统计（两册）2、中山大学梁之瞬邓集贤概率论与数理统计（上下册）3、南开大学周概容概率论与数理统计4、浙江大学概率论与数理统计第一章事件与概率本章是概率论部分的基本概念和基本知识，是学习以后各章所必不可少的。一、教学目的与要求1、理解事件的概念，熟练掌握事件的运算法则，事件间的各种关系；2、掌握概率的几种定义，熟悉并会用概率性质进行概率的有关计算；3、掌握条件概率的定义，并能应用有关条件概率的公式（乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式）计算概率；4、掌握几种概型（古典概型、几何概型、贝努里概型）概率的计算；5、理解事件独立性的概念，并会用独立性的性质进行概率的计算。二、教学重点与难点重点是各种类型概率的计算；难点是有关事件概率的计算。§1.1随机事件与样本空间随机事件与样本空间是概率论中的两个最基本的概念。一、基本事件与样本空间对于随机试验来说，我们感兴趣的往往是随机试验的所有可能结果。例如掷一枚硬币，我们关心的是出现正面还是出现反面这两个可能结果。若我们观察的是掷两枚硬币的试验，则可能出现的结果有（正、正）、（正、反）、（反、正）、（反、反）四种，如果掷三枚硬币，其结果还要复杂，但还是可以将它们描述出来的，总之为了研究随机试验，必须知道随机试验的所有可能结果。1、基本事件通常，据我们研究的目的，将随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件。因为随机事件的所有可能结果是明确的，从而所有的基本事件也是明确的，例如：在抛掷硬币的试验中“出现反面”，“出现正面”是两个基本事件，又如在掷骰子试验中“出现一点”，“出现两点”，“出现三点”，……，“出现六点”这些都是基本事件。2、样本空间基本事件的全体，称为样本空间。也就是试验所有可能结果的全体是样本空间，样本空间通常用大写的希腊字母表示，中的点即是基本事件，也称为样本点，常用表示，有时也用A,B,C等表示。在具体问题中，给定样本空间是研究随机现象的第一步。例1、例1、一盒中有十个完全相同的球，分别有号码1、2、3……10，从中任取一球，观察其标号，令ii取得球的标号为，3,2,1i……10则10,,3,2,1,ii标号为,10,,2,1i1021,,,为基本事件（样本点）例2，在研究英文字母使用状况时，通常选用这样的样本空间：ZYXCBA,,,,,空格，例1，例2讨论的样本空间只有有限个样本点，是比较简单的样本空间。例3、例3、讨论某寻呼台在单位时间内收到的呼叫次数，可能结果一定是非负整数而且很难制定一个数为它的上界，这样，可以把样本空间取为,2,1,0这样的样本空间含有无穷个样本点，但这些样本点可以依照某种顺序排列起来，称它为可列样本空间。例4、例4、讨论某地区的气温时，自然把样本空间取为,或ba,这样的样本空间含有无穷个样本点，它充满一个区间，称它为无穷样本空间。从这些例子可以看出，随着问题的不同，样本空间可以相当简单，也可以相当复杂，在今后的讨论中，都认为样本空间是预先给出定的，当然对于一个实际问题或一个随机现象，考虑问题的角度不同，样本空间也可能选择得不同。例如：掷骰子这个随机试验，若考虑出现的点数，则样本空间6543,2,1，，，；若考虑的是出现奇数点还是出现偶数点，则样本空间奇数、偶数。由此说明，同一个随机试验可以有不同的样本空间。在实际问题中，选择恰当的样本空间来研究随机现象是概率中值得研究的问题。二、随机事件再看例1、样本空间10,3,2,1，下面研究这些问题。3球的标号为A，球的标号为偶数B，5球的标号不大于c其中A为一个基本事件，而B与C则由基本事件所组成。例如：B发生（出现）必须而且只须下列样本点之一发生2、4、6、8、10，它由五个基本事件组成。同样地，C发生必须而且只须下列样本点之一发生1、2、3、4、5。无论基本事件还是复杂事件，它们在试验中发生与否，都带有随机性，所以叫做随机事件或简称为事件，习惯上用大写英文字母A,B,C等表示，在试验中如果出现A中包含了某一个基本事件，则称作A发生，并记作A。我们知道，样本空间包含了全体基本事件，而随机事件不过是由某些特征的基本事件组成的，从集合论的角度来看，一个随机事件不过是样本空间的一个子集而已。如例1中10,3,2,1，。显然A,B,C都是的子集，它们可以简单的表示为3A，10,8,6,4,2B，97531，，，，C因为是所有基本事件所组成，因而在一次试验中，必然要出现中的某一基本事件，也就是在试验中必然要发生，今后用表示一个必然事件，可以看成的子集。相应地空集，在任意一次试验中不能有，也就是说永远不可能发生，所以是不可能事件，实质上必然事件就是在每次试验中都发生的事件，不可能事件就是在每次试验中都不发生的事件，必然事件与不可能事件的发生与否，已经失去了“不确定性”即随机性，因而本质上不是随机事件，但为了讨论问题的方便，还是将它看作随机事件。例5、例5、一批产品共10件，其中2件次品，其余为正品，从中任取3件则恰有一件正品A，恰有两件正品B，至少有两件正品CD={三件中至