1量子力学复习提纲第一章绪论1.德布罗意关系,Eh(1)hpnk(2)2.微观粒子的波粒二象性.3.电子被V伏电压加速,则电子的德布罗意波长为12.252hAeVV(3)第二章波函数和薛定谔方程1.波函数的统计解释:波函数在空间某一点的强度2,rt和在该处找到粒子的几率成正比,描写粒子的波是几率波.其中2w代表几率密度.2.态叠加原理:如果1和2是体系的可能状态,那么它们的线性叠加1122cc,也是体系的一个可能状态.3.薛定谔方程和定态薛定谔方程2薛定谔方程,ˆ,rtiHrtt(4)定态薛定谔方程ˆHrEr(5)其中22ˆ2HUr(6)为哈密顿算符,又称为能量算符,4.波函数的标准条件:有限性,连续性(包括及其一阶导数)和单值性.5.波函数的归一化,1d(9)6.求解一维薛定谔方程的几个例子.一维无限深势阱及其变种,一维线性谐振子;势垒贯穿.第三章量子力学中的力学量1.坐标算符,动量算符及角动量算符;构成量子力学力学量的法则;2.本征值方程,本征值,本征函数的概念ˆF(10)33.厄密算符的定义,性质及与力学量的关系.ˆFdxˆFdx(11)实数性:厄密算符的本征值是实数.正交性:厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交.完全性:厄密算符ˆF的本征函数nx和x组成完全系,即任一函数x可以按nx和x展开为级数:nnnxcxcxd(12)展开系数:nncxxdx,(13)cxxdx.(14)2nc是在x态中测量力学量F得到n的几率,2cd是在x态中测量力学量F,得到测量结果在到d范围内的几率.4.2ˆL和ˆZL算符的本征值方程,本征值和本征函数.22ˆ1Lll,ˆzLm本征函数,lmY.45.氢原子的哈密顿算符及其本征值,本征函数nlm的数学结构,,,,nlmnllmrRrY(15)主量子数n,角量子数l和磁量子数m的取值范围,简并态的概念.6.氢原子的能级公式和能级的简并度.422,1,2,3,...2sneEnn(16)不考虑电子的自旋是2n度简并的;考虑电子的自旋是22n度简并的.7.给定电子波函数的表达式,根据电子在,,r点周围的体积元内的几率22,,sinnlmrrdrdd(17)计算电子几率的径向分布和角分布.计算在半径r到rdr的球壳内找到电子的几率.8.给定态函数,计算力学量平均值,平均值的计算公式.ˆFxFxdx(18)注意(11)式对波函数所在的空间作积分.9.算符的对易关系及测不准关系.(1)如果一组算符相互对易,则这些算符所表示的力学量同时5具有确定值(即对应的本征值),这些算符有组成完全系的共同的本征函数.例如:氢原子的哈密顿算符ˆH,角动量平方算符2ˆL和角动量算符ˆzL相互对易,则(i)它们有共同的本征函数nlm,(ii)在态nlm中,它们同时具有确定值:4222sneEn,21ll,m.(2)测不准关系:如果算符ˆF和ˆG不对易,则一般来说它们不能同时有确定值.设ˆFˆGˆGˆFˆik则算符ˆF和ˆG的均方偏差满足:_______2ˆF_______22ˆ4kG(19)其中________________________2222222FFFFFFFFF__________222FFF,__________222GGG(a)利用测不准关系估计氢原子的基态能量,线性谐振子6的零点能等.(b)给定态函数,计算两个力学量ˆF和ˆG的均方偏差的乘积_______2ˆF_______2ˆ?G(20)第四章态和力学量的表象1.对表象的理解(1)状态:态矢量(2)Q表象:力学量Q的本征函数12,,...,...nuxuxux构成无限维希耳伯特空间(坐标系)的基矢量(4)将态矢量按照上述基矢量展开:,nnnxtatux12,,...,...natatat是态矢量在Q表象中沿各基矢量的分量.(5)2nat是在,xt所描写的态中,测量力学量Q得到结果为nQ的几率.2.算符在Q表象中的表示(i)算符ˆF在Q表象中是一个矩阵,nmF称为矩阵元,nmnmFuxFxuxdxix(ii)算符在自身表象中是一个对角矩阵,其对角矩阵元为7该算符对应的本征值.3.量子力学公式的矩阵表述(1)平均值公式:†FF(21)(2)本征值方程久期方程1111121222122212............:::......:::mmnnnmmmatatFFFatatFFFFFFatat111212122212..........................................0....................................nnnnnnFFFFFFFFF(3)薛定谔方程的矩阵形式diHdt(22)4.么正变换的概念(1)么正变换是两个表象基矢量之间的变换矩阵.(2)么正变换的矩阵元由两个表象的基矢量共同确定,,.nnmmSxxdxSxxdx8(3)态矢量由A表象变换到B表象的公式1bSa(23)(4)力学量ˆF由A表象变换到B表象的公式:1FSFS(24)5.么正变换的性质(i)么正变换不改变算符的本征值;(ii)么正变换不改变矩阵F的迹;(iii)么正变换不改变力学量的平均值.第五章微扰理论(I)求解非简并定态微扰问题(1)确定微扰的哈密顿算符ˆH.0ˆˆˆHHH,及与0ˆH对应的零级近似能量0nE和零级近似波函数0n;(2)计算能量的一级修正:100ˆnnnEHd(25)(3)计算波函数的一级修正:10'00mnnmmnmHEE(26)(4)计算能量的二级修正:922'00nlnlnlHEEE(27)(II)求解非简并定态微扰问题(只要求能量的一级修正)求解步骤(1)确定微扰的哈密顿算符ˆH.(2)确定微扰算符的矩阵元:ˆliHˆliHd(28)(3)求解久期方程得到能量的一级修正111121121222112......0...................................................nknkkkkknHEHHHHEHHHHE(29)(III)变分法不作要求(IV)含时微扰论(1)基本步骤设0ˆH的本征函数为n为已知:0ˆnnnH(30)将按照0ˆH的定态波函数nitnne展开:nnnat(31)展开系数的表达式:1001mktitmmkatHedti(32)其中ˆmnmnHHd(33)是微扰矩阵元,1mnmn(34)为体系由n能级跃迁到m能级的玻尔频率.在t时刻发现体系处于m态的几率是2mat,体系在微扰的作用下,由初态k跃迁到终态m的几率为2kmmWat(35)(2)用于周期微扰ˆˆititHtFee得到11mkmkititmkmmkmkFeeat(36)由(36)式,讨论并理解发生跃迁的条件是mk或mkmk(37)(i)表明只有外界的微扰含有频率mk时,体系才能从k态跃迁到m态,这时体系吸收和发射的能量是mk;(ii)跃迁是一个共振现象.(3)能量时间的测不准关系的含义11Et(38)(4)了解原子的跃迁几率和三个爱因斯坦系数:mkA,mkB和kmB及相互关系.(5)了解用含时微扰理论计算爱因斯坦发射和吸收系数(6)记住对角量子数和磁量子数的选择定则1,0,1.lllmmm(39)第六章散射只要求理解微分散射截面的概论,不作计算要求.第七章自旋与全同粒子1.电子的自旋角动量S,它在空间任何方向的投影只能取2zS(40)2.自旋算符的矩阵形式01ˆ210xS,0ˆ20yiSi,10ˆ201zS(41)3.泡利矩阵01ˆ10x,0ˆ0yii,10ˆ01z(42)(1)求力学量在某个自旋态的平均值和均方偏差.†GG(43)1211121†1222122GGGGGG(44)(2)求解自旋角动量算符的本征值方程,本征值和本征函数4.自旋与轨道角动量的耦合及产生光谱的精细结构的原因.5.全同性原理的表述6.描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称或反对称的,它们的对称性不随时间改变.实验证明,微观粒子按照其波函数的对称性可以分为两类:(I)费米子:波函数是反对称的;(II)玻色子:波函数是对称的.名称自旋波函数统计规律举例费米子2的奇数倍反对称费密-狄拉克统计电子,质子,中子(自旋2)玻色子0,1,或2的偶数倍对称玻色-爱因斯坦统计光子(自旋为1)粒子(自旋为零)7.泡利不相容原理:不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态.