高2015级绵阳一诊理科数学试题及答案

绵阳市高2015级第一次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．DCDACBACBDBC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．314．)21()23(∞+−−∞，，∪15．97−16．3935三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（Ⅰ）△ABD中，由正弦定理BADBDBAD∠=∠sinsin，得21sinsin=∠×=∠ADBBDBAD，…………………………………………4分∴66326πππππ=−−=∠=∠ADBBAD，，∴656πππ=−=∠ADC．   ……………………………………………………6分(Ⅱ)由（Ⅰ）知，∠BAD=∠BDA=6π，故AB=BD=2．在△ACD中，由余弦定理：ADCCDADCDADAC∠⋅⋅−+=cos2222，即)23(32212522−⋅⋅×−+=CDCD，……………………………………8分整理得CD2+6CD-40=0，解得CD=-10（舍去），CD=4，………………10分∴BC=BD+CD=4+2=6．∴S△ABC=33236221sin21=×××=∠×××BBCAB．……………………12分18．解：（Ⅰ）设{an}的公差为d(d0)，由S3=15有3a1+d223×=15，化简得a1+d=5，①………………………2分又∵a1，a4，a13成等比数列，∴a42=a1a13，即(a1+3d)2=a1(a1+12d)，化简得3d=2a1，②……………4分联立①②解得a1=3，d=2，∴an=3+2(n-1)=2n+1．……………………………………………………5分∴)321121(21)32)(12(111+−+=++=+nnnnaann，∴)32(3)32131(21)]321121()7151()5131[(21+=+−=+−+++−+−=nnnnnTn．……………………………………………………7分(Ⅱ)∵nnatT+11，即122)32(3++nntn，∴90)9(12)36304(3)32)(122(32++=++=++nnnnnnnnt，………………9分又nn9+≥6，当且仅当n=3时，等号成立，∴90)9(12++nn≥162，……………………………………………………11分∴162t．……………………………………………………………………12分19．解：（Ⅰ）由图得，2=A．…………………………………………………1分43125343πππ=+=T，解得π=T，于是由T=πωπ=2，得2=ω．…………………………………………………2分∵2)32sin(2)3(=+=ϕππf，即1)32sin(=+ϕπ，∴2232ππϕπ+=+k，即62ππϕ−=k，k∈Z，又)22(ππϕ，−∈，故6πϕ−=，∴)62sin(2)(π−=xxf．……………………………………………………3分由已知56)62sin(2=−πα，即53)62sin(=−πα，因为)30(πα，∈，所以)26(62πππα，−∈−，∴54)62(sin1)62cos(2=−−=−παπα．∴]6)62sin[(2sinππαα+−=6sin)62cos(6cos)62sin(ππαππα−+−==21542353×+×=10334+．       ………………………………………………………6分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知，)34cos()(2)(πλ−+=xxfxg=)34cos()62sin(4ππλ−+−xx=)]62(sin21[)62sin(42ππλ−−+−xx=12])62[sin(222++−−−λλπx，…………………8分∵x∈]12512[ππ，，于是0≤62π−x≤32π，∴0≤)62sin(π−x≤1．………………………………………………………9分①当0λ时，当且仅当)62sin(π−x=0时，)(xg取得最大值1，与已知不符．②当0≤λ≤1时，当且仅当)62sin(π−x=λ时，)(xg取得最大值122+λ，由已知得122+λ=23，解得λ21=．③当λ1时，当且仅当)62sin(π−x=1时，)(xg取得最大值4λ-1，由已知得4λ-1=23，解得λ=85，矛盾． 综上所述，λ21=．……………………………………………………………12分20．解：（Ⅰ）23)(xkexfx−=′．由题知方程23xkex−=0恰有三个实数根，整理得xexk23=．………………………………………………………………1分令xexxg23)(=，则xexxxg)2(3)(−=′，由0)(′xg解得20x，由0)(′xg解得2x或0x，∴)(xg在)20(，上单调递增，在)2()0(∞+−∞，，，上单调递减．………3分于是当x=0时，)(xg取得极小值0)0(=g，当x=2时，)(xg取得极大值212)2(eg=．………………………………5分且当−∞→x时，+∞→)(xg；当+∞→x时，0)(→xg，∴)120(2ek，∈．…………………………………………………………………6分(Ⅱ)由题意，23)(xkexfx−=′=0的三个根为123xxx，，，且123xxx，∴0x22，且2223xexk=，………………………………………………………8分∴)20(23232)(2223232223222++−=+−=+−=xxxxxxkexfx，………9分令)20(23)(23++−=xxxxμ，则)2(363)(2−−=+−=′xxxxxμ，当0x2时，0)(′xμ，即)(xμ在(0，2)单调递增，……………………11分∴)62()(2，∈xf．……………………………………………………………12分21．解：（Ⅰ）)(xf的定义域为(0，+∞)．若a0，12ln2)2(−=af0，与已知矛盾．………………………………1分若a=0，则1)(+−=xxf，显然不满足在(0，+∞)上)(xf≥0恒成立．…………………………………2分若a0，对)(xf求导可得1ln)(−+=′axaxf．由0)(′xf解得aaex−1，由0)(′xf解得0aaex−1，∴)(xf在(0，aae−1)上单调递减，在(aae−1，+∞)上单调递增，∴)(xfmin=)(1aaef−=1-aaae−1．………………………………………………4分∴要使)(xf≥0恒成立，则须使1-aaae−1≥0成立，即aae−1≤a1恒成立．两边取对数得，aa−1≤lna1，整理得lna+a1-1≤0，即须此式成立．令=)(aglna+a1-1，则21)(aaag−=′，显然当0a1时，)(ag′0，当a1时，)(ag′0，于是函数)(ag在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)单调递增，∴)(agmin==)1(g0，即当且仅当a=1时，)(xfmin=)1(f=0，)(xf≥0恒成立，∴1=a满足条件．综上，a=1．……………………………………………………………………6分(Ⅱ)由（Ⅰ）知x1时，1ln+−xxx0，即xlnxx1−恒成立．令221nnx+=(n∈N*)，即221lnnn+1111222+=+−nnn，即222ln)1ln(11nnn−++，…………………………………………………8分同理，)1ln()2ln(21222+−++nnn，)2ln()3ln(31222+−++nnn，)24ln()14ln(141222−−−−nnn，)14ln()4ln(41222−−nnn，…………………………………………………10分将上式左右相加得：222222ln)4ln(41312111nnnnnn−++++++224lnnn=4ln=．2ln2=……………………………………12分22．解：（Ⅰ）将C的参数方程化为普通方程为(x-3)2+(y-4)2=25，即x2+y2-6x-8y=0．……………………………………………………………2分∴C的极坐标方程为θθρsin8cos6+=．…………………………………4分（Ⅱ）把6πθ=代入θθρsin8cos6+=，得3341+=ρ，∴)6334(π，+A．……………………………………………………………6分把3πθ=代入θθρsin8cos6+=，得3432+=ρ，∴)3343(π，+B．……………………………………………………………8分∴S△AOBAOB∠=sin2121ρρ)63sin()343)(334(21ππ−++=432512+=．……………………………………………………10分23．解：（Ⅰ）当x≤23−时，f(x)=-2-4x，由f(x)≥6解得x≤-2，综合得x≤-2，………………………………………2分当2123−x时，f(x)=4，显然f(x)≥6不成立，……………………………3分当x≥21时，f(x)=4x+2，由f(x)≥6解得x≥1，综合得x≥1，……………4分所以f(x)≥6的解集是)1]2(∞+−−∞，，∪．…………………………………5分（Ⅱ）)(xf=|2x-1|+|2x+3|≥4)32()12(=+−−xx，即)(xf的最小值m=4．………………………………………………………7分∵ba2⋅≤2)22(ba+，…………………………………………………………8分由224abab++=可得)2(4ba+−≤2)22(ba+，解得ba2+≥252−，∴ba2+的最小值为252−．………………………………………………10分