巧解变动中的三力平衡问题

巧解变动中的三力平衡问题在中学阶段，力的平衡问题，多为三力平衡，按平衡条件，合力必为零，将三力首尾相联即围成一封闭三角形。一般来说，只要所给条件能满足解这个三角形的条件（如已知两边夹一角或两角夹一边）就能按解三角形的方法解出这力三角形中要求的物理量。常遇到一类变动中的三力平衡问题。一般是其中一个力大小和方向确定；另一个力的方向确定，大小可变；第三个力大小和方向均变化。要依据所给条件，确定后两力的变化规律。为了帮助学生们很好地理解，采用力三角形来解答，现举几例如下：[例题1]一个光滑的圆球搁在光滑的斜面和竖直的档板之间（图1），斜面和档板对圆球的弹力随斜面倾角α变化而变化的范围是：A．斜面弹力N1变化范围是（mg，＋∞）B．斜面弹力N1变化范围是（0，＋∞）C．档板的弹力N2变化范围是（0，+∞）D．档板的弹力N2变化范围是（mg，＋∞）答：[A、C]解：圆球受三个力，其中重力的大小和方向均为确定的，档板对圆球的弹力N2的方向始终是水平的，亦为确定的。而斜面对圆球的作用力的大小和方向均在变化中，但不论α如何变动，只要α取一个确定的值，圆球就在三力作用下处于平衡状态，则此三力就组成一个封闭的三角形，如图2所示：由于0＜α＜90°，所以mg＜N1＜＋∞，0＜N2＜＋∞解出。[例题2]如图3所示,用两根绳子系住一重物,绳OA与天花板夹角θ不变,且θ＞45°,当用手拉住绳OB，使绳OB由水平慢慢转向OB′过程中，OB绳所受拉力将A．始终减少B．始终增大C．先增大后减少D．先减少后增大答：[D]解：重物受三个力，其中重力大小方向确定，OA方向不变，OB绳受力的大小方向变化。在变化过程中，重物所受三力平衡，可组成一个封闭三角形，现图示如下：从图中可很直观地得出结论。由于θ＞45°,θ+α=90°所以α＜45°,此时TOB取得最小值。[例题3]如图4所示，一重球用细线悬于O点，一光滑斜面将重球支持于A点，现将斜面沿水平面向右慢慢移动，那么细线对重球的拉力T及斜面对重球的支持力N的变化情况是：A．T逐渐增大，N逐渐减小；B．T逐渐减小，N逐渐增大；C．T先变小后变大，N逐渐减小；D．T逐渐增大，N先变大后变小。答：[C]解：重球受三个力：重力的大小及方向均为确定，在重球由A运动到B的过程中，每一个位置上三力均围成一个封闭的三角形（图5）由于物体在水平面上滑动，则f=μN，将f和N合成，得到合力F，由图知F与f的夹角：不管拉力T方向如何变化，F与水平方向的夹角α不变，即F为一个方向不发生改变的变力．这显然属于三力平衡中的动态平衡问题，由前面讨论知，当T与F互相垂直时，T有最小值，即当拉力与水平方向的夹角θ=90°-arcctgμ=arctgμ时，使物体做匀速运动的拉力T最小．例7、一质量为50kg的均匀圆柱体，放在台阶旁，台阶高度（r为柱体半径）。柱体最上方A处施一最小的力F，使柱体刚能开始以P轴向台阶上滚，求此最小力．析：圆柱体不能看作质点，选其为研究对象，分析其受力如图13（a）所示．先将圆柱体在P点所受的支持力N和静摩擦力f合成，得到合力Q，则圆柱体受mg、Q、F三个力作用，这三个力必为共点力，且Q、F二力的合力为定值，如图13（b）所示，显然当F与Q垂直时，F有最小值，由题给条件知，∠OAP=30°，则：Fmin=T·sin30°=mg·sin30°=250N由以上两例可以发现，将多力问题转化为三力问题时，常先将同一接触面上的弹力和摩擦力合成，在求解时用的较多的分析思路是三力的动态平衡问题的分析思路，请读者再进一步加以体会．（2）利用正交分解法分析求解当受力较多时，利用合成法需要几次合成才能得出结论，分析起来较繁琐．最常见的多力平衡问题就是直接建立正交坐标系，在分析物体受力后，利用正交分析法求解．例8、如图14为一遵从胡克定律的弹性轻绳，其一端固定于天花板上的O点，另一端与静止在动摩擦因数恒定的水平地面上的滑块A相连．当绳处在竖直位置时，滑块A对地面有压力作用．B为紧挨绳的一光滑水平小钉，它到天花板的距离BO等于弹性绳的自然长度．现用一水平力F作用于A，使它向右作直线运动．在运动过程中，作用于A的摩擦力A、逐渐增大B、逐渐减小C、保持不变D、条件不足，无法判断析：取物体A为研究对象，分析A受力如图15，并沿水平和竖直方向建立正交坐标系．由于物体向右做直线运动，则y轴方向上受力平衡，即：T·sinθ＋N=mg依题意，绳的拉力T=kx，x为弹性绳的形变量，则地面对物体的支持力与A物体在B正下方时地面对物体的支持力相同．也就是说，在物体向右运动过程中，地面对物体的支持力不变，由滑动摩擦力公式知，正确答案为C．解决物理问题的关键在于有正确的分析思路和解题步骤．上面我们虽然分成几种情况来讨论平衡问题，但不难发现，突破障碍后，其解题的思路和步骤是完全一样的．这就要求我们，在学习物理的平衡知识时，首先要建立一个解题的基本模式，即解题基本步骤及几种常见题型的特点，则无论在何处遇到此类问题，都能够迅速唤起基本模式，通过原型启发，迅速重视相关知识，从而顺利地解决问题．解平衡问题是这样，解决其它问题也是这样，如果我们坚持这样去做，就会达到会学、要学、乐学的高境界．静力学中四类极值问题的求解最（大或小）值问题是中学物理习题中常见的题型之一，这类题型渗透在中学物理的各个部分，技巧性强，解法颇多。深入探究最值问题的解答，能有效地提高运用数学知识解决问题的能力，培养灵活性和敏捷性。1．不等式法：例1无限长直电杆立于地面，与地面之间的摩擦力足够大。如图1示，用长为L的绳拉电杆，若所用拉力T恒定时，绳栓在电线杆的何处最容易拉倒？分析与解：设绳线栓在离地h高处，则拉力T的力矩最大时，最容易拉倒电杆，如图1，cosθ=h/L，则T的力矩观察此式，T、L一定，因h2+（L2-h2）=L2是一常数，故当h2=L2-h2评点：解此类问题，首先根据力的平衡列出方程，然后观察方程特征，发掘其隐含条件，若a＞0，b＞0,a＋b=常数,则当a=b时，ab积最大。这里运用了不等式的一个重要性质（a＋b）/22.三角函数法：例2重量为G的物体在水平而上作匀速运动，设物体与地面之间如图2示。分析与解：物体受共点力作用而平衡，由平衡条件得：水平方向：Fcosθ=μN竖直方向：N＋Fsinθ=G解得F=μG／（cosθ＋μsinθ）为使F最小，只需cosθ＋μsinθ最大，因为（cosθ+μsinθ）=（cosθsinφ+cosφsinθ）/sinφ=sin（θ+φ）/sinφ而φ=ctg-1，故当θ=30°时，F最小，最小值为Fmin=μGsinφ＝G／2。评点：求解此类问题的一般思路是先根据物理规律求出待求量的表达式，再根据三角函数的有界性：|sinθ|≤1或|cosθ|≤1求最值。3．极限推理法：例3如图3，用力F推质量为M的物体，物体与地面间的摩擦因数为μ，求外力F与水平方向交角θ最小为多大时，无论外力F多么大均不能使物体前进？分析与解：物体受共点力作用，当不动时必满足：Fcosθ≤μ（Mg＋Fsinθ）化简得：F（csoθ-μsinθ）≤μMg。因为无论F多大，上式均成立，则当F→∞时，不等式也成立，此时θ取最小值θ0因此最小角满足方程cosθ0-μsinθ0=0，tgθ0=1/μ，θ0=arctg1/μ。评点：此类题通过对关系式的推理分析、θ=θ0时F无论多大物体都不能被推动，因而F→∞时所满足的θ角便是最小值。这是一种极限推理分析的方法。4．矢量三角图示法例5一重为G的光滑球放在倾角为θ的斜面上，被一挡板PQ挡住，Q处为固定转轴，如图4示，挡板可以逐渐放平，何时球对挡板的压力最小。分析与解：小球受重力、斜面的支持力和挡板支持力三个共点力作用而平衡。由挡板对球支持力的动态变化，可作力矢量三角形。如图5所示，由图知当挡板逐渐放平的过程中，斜面对球的支持力N1一直逐渐减小，而挡板对球的支持力N2将先减小后增大，故当挡板与斜面垂直时球对挡板压力最小。评点：质点在三个共点力作用下而平衡，各力之间的动态变化的规律，由力矢量三角形可直观地作出判断。这是处理此类平衡问题常用的一种方法。共点力作用下物体的平衡典型例题[例1]质量为m的物体，用水平细绳AB拉住，静止在倾角为θ的固定斜面上，求物体对斜面压力的大小，如图1（甲）。[分析]本题主要考察，物体受力分析与平衡条件，物体在斜面上受力如图1乙，以作用点为原点建立直角坐标系，据平衡条件∑F＝0，即找准边角关系，列方程求解。[解]解法一：以物体m为研究对象建立图1乙所示坐标系，由平衡条件得：Tcosθ-mgsinθ＝0（1）N-Tsinθ-mgcooθ＝0（2）联立式（1）（2）解得N＝mg／cosθ据牛顿第三定律可知，物体对斜面压力的大小为N′＝mg／cosθ解法二：以物体为研究对象，建立如图2所示坐标系，据物体受共点力的平衡条件知：Ncosθ-mg=0∴N＝mg／cocθ同理N′=mg／cosθ[说明]（1）由上面解法可知：虽然两种情况下建立坐标系的方法不同，但结果相同，因此，如何建立坐标系与解答的结果无关，从两种解法繁简不同，可以得到启示：处理物体受力，巧建坐标系可简化运算，而巧建坐标系的原则是在坐标系上分解的力越少越佳。（2）用正交分解法解共点力平衡时解题步骤：选好研究对象→正确受力分析→合理巧建坐标系→根据平衡条件（3）不管用哪种解法，找准力线之间的角度关系是正确解题的前提，角度一错全盘皆错，这是非常可惜的。（4）由本题我们还可得到共点力作用平衡时的力图特点，题目中物体受重力G，斜面支持N，水平细绳拉力T三个共点力作用而平衡，这三个力必然构成如图3所示的封闭三角形力图。这一点在解物理题时有时很方便。［例2]如图1所示，挡板AB和竖直墙之间夹有小球，球的质量为m，问当挡板与竖直墙壁之间夹角θ缓慢增加时，AB板及墙对球压力如何变化。[分析]本题考察当θ角连续变化时，小球平衡问题，此题可以用正交分解法。选定某特定状态，然后，通过θ角变化情况，分析压力变化，我们用上题中第四条结论解答此题。[解]由图2知，G，N2（挡板对球作用力），N1墙壁对球作用力，构成一个封闭三角形，且θ↑封闭三角形在变化，当增加到θ’时，由三角形边角关系知N1↓，N2↓。[说明]封闭三角形解法对平面共点三力平衡的定性讨论，简捷直观。本题是一种动态变化题目，这种题目在求解时，还可用一种极限法判断，如把AB板与竖直墙壁夹角θ增到90°时，可知N1=0，过程中N1一直减小，N2=mg，N2也一直在减小。[例3]如图1所示，用一个三角支架悬挂重物，已知AB杆所受的最大压力为2000N，AC绳所受最大拉力为1000N，∠α=30°，为不使支架断裂，求悬挂物的重力应满足的条件？[分析]悬绳A点受到竖直向下的拉力F＝G，这个拉力将压紧水平杆AB并拉引绳索AC，所以应把拉力F沿AB、CA两方向分解，设两分力为F1、F2，画出的平行四边形如图2所示。[解]由图2可知：因为AB、AC能承受的最大作用力之比为当悬挂物重力增加时，对AC绳的拉力将先达到最大值，所以为不使三角架断裂，计算中应以AC绳中拉力达最大值为依据，即取F2=F2m=1000N，于是得悬挂物的重力应满足的条件为Gm≤F2sin30°＝500N，[说明]也可取A点为研究对象，由A点受力，用共点平衡条件求解。A点受三个力：悬挂物的拉力F=G，杆的推力FB，绳的拉力FC，如图4所示。根据共点力平衡条件，由FCsinα=G，FCcosα=FB，即得共点力平衡条件可以适用于多个力同时作用的情况，具有更普遍的意义。[例4]如图1所示，细绳CO与竖直方向成30°角，A、B两物体用跨过滑轮的细绳相连，已知物体B所受到的重力为100N，地面对物体B的支持力为80N，试求（1）物体A所受到的重力；（2）物体B与地面间的摩擦力；（3）细绳CO受到的拉力。[分析]此题是在共点力作用下的物体平衡问题，据平衡条件∑Fx=0，∑Fy=0，分别取物体B和定滑轮为研究对象，进行受力情况分析，建立方程。[解]如图2所示，选取直角坐标系。据平衡条件得f-T