1.3.1.1函数单调性与导数

1.单调性的定义一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数．一、知识回顾：2.怎样用定义判断函数的单调性？（1）取值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论3.判断函数单调性的方法比如：判断函数的单调性。yx2(,0)(0,)322?yxxxxyo2yx函数在上为____函数，在上为____函数。图象法定义法减增如图：发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时.例如y=x3+2x2-x.是否有更为简捷的方法呢？下面我们考察单调性与导数有什么关系?①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,v(t)=h'(t)0.②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,v(t)=h'(t)0.O(1)abhtOvtab(2)1.通过观察图像，我们可以发现什么结论？0,0)()()(2121xyxxxfxfxf即为增函数时，有0,0)()()(2121xyxxxfxfxf即为减函数时，有这表明：导数的正、负与函数的单调性密切相关从平均变化率我们也可以发现：2yx0.......再观察函数y=x2－4x＋3的图象：分析:该函数在区间（－∞，2）上切线斜率小于0,即其导数为负,这时函数在（－∞，2）上单调递减；在区间（2，+∞）上切线斜率大于0,即其导数为正，这时函数在（2，+∞）上单调递增。而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3xy1观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.fx'()0fxab()(,)在内单调递增fx'()0fxab()(,)在内单调递减若某个区间内恒有f'(x)＝0，则f(x)为常数函数．1.'()0fx注意：是f(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件2.正确理解“某个区间”的含义，它必是定义域内的某个区间一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导,例1、已知导函数的下列信息：'()fx当1x4时，0;当x4,或x1时，0;当x=4,或x=1时，=0.则函数f(x)图象的大致形状是(）。'()fx'()fx'()fx()yfxxyo14xyo14xyo14xyo14ABCD()yfx()yfx()yfxDxyo12xyo12xyo12xyo12xyo'()yfx2练习1：已知导函数y=f‘(x)的图象如图所示，则其原函数可能为()(A)(B)(C)(D)Cy=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)小结：导函数的图象看正负，原函数的图象看单调。练习2：如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.例2.确定函数f(x)=x2-4x-5在哪个区间是减函数？在哪个区间上是增函数？2xyo练习2：求下列函数的单调区间。(1)f(x)=x2-4x+3,(2)f(x)=x2－2lnx解：22'2222(1)2(1)(1)()2xxxxfxxxxxx(2)函数f(x)=x2－2lnx定义域为,0当f'(x)0,即x1时，函数f(x)=x2－2lnx单调递增；当f'(x)0,即0x1时，函数f(x)=x2－2lnx单调递减；所以函数f(x)=x2－2lnx的单调增区间为，单调减区间为（0，1）),1(.)(0)()(0)()3()()()2()()1(的单调递减区间得到函数解方程组的单调递增区间；得到函数解方程组的导数求函数；的定义域确定函数xfDxxfxfDxxfxfxfDxf利用导数确定函数的单调区间的步骤：例3、判断下列函数的单调性，并求出单调区间：(1)f(x)=x3+3x;解：=3x2+3=3(x2+1)0)(xf从而函数f(x)=x3+3x在x∈R上单调递增，见右图。xyoxxxf3)(3(2)f(x)=x2-2x-3;(3)f(x)=sinx-x;x∈(0,p(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1;xyo132)(2xxxf(2)f(x)=x2-2x-3;解：=2x-2=2(x-1))(xf图象见右图。当0，即x1时，函数单调递增；)(xf当0，即x1时，函数单调递减；)(xfxyoxxxfsin)((3)f(x)=sinx-x;x∈(0,p解：=cosx-10)(xf从而函数f(x)=sinx-x在x∈(0,p)单调递减，见右图。(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1;解：=6x2+6x-24=6(x2+x-4))(xf当0，即时，函数单调递增；)(xf21712171xx或xyo图象见右图。当0，即时，函数单调递减；21712171x)(xf(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1;ab(,)在某个区间内,fx'()0fxab()(,)在内单调递增fx'()0fxab()(,)在内单调递减322(),,,30()()()()()fxxaxbxcabcabfxRABCD函数其中为常数，当时，在上()增函数减函数常数既不是增函数也不是减函数AP31—No.1，No.2;