1.3.1一元二次不等式和简单高次不等式的解法

§1.3.1一元二次不等式和简单高次不等式的解法§1.3.1一元二次不等式和简单高次不等式的解法2020/3/132复习目标及教学建议基础训练知识要点双基固化能力提升规律总结§1.3.1一元二次不等式和简单高次不等式的解法2020/3/133复习目标熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法，掌握简单高次不等式的解法，初步掌握一元二次不等式恒成立的基本方法.教学建议一元二次不等式的解法是中学数学必备的基础和只要求会用数轴标根法求解就行，把握好难度.复习目标及教学建议§1.3.1一元二次不等式和简单高次不等式的解法2020/3/134基础训练1．设集合A={x|x2-5x+4≤0},B={x|x2-5x+6≥0}，则A∩B=()A．{x|1≤x≤2或3≤x≤4}B．{1，2，3，4}C．{x|1≤x≤4}D．RA【解析】∵A={x|1≤x≤4}，B={x|x≤2或x≥3}，∴A∩B={x|1≤x≤2或3≤x≤4}.§1.3.1一元二次不等式和简单高次不等式的解法2020/3/135【解析】由已知得：a＜0且-,是ax2+bx+2=0的两个根.1213由韦达定理得112321()2baa1·()3解得a+b=-12-2=-14.选Ｄ.a=-12,b=-2,2.若不等式ax2+bx+2＞0的解集为,则a+b的值为()A．10B．-10C．14D．-1411(,)23D§1.3.1一元二次不等式和简单高次不等式的解法2020/3/1363.如果kx2+2kx-(k+2)＜0恒成立，则实数k的取值范围是()A．-1≤k≤0B．-1≤k＜0C．-1＜k≤0D．-1＜k＜0C【解析】若k=0时,不等式为-2＜0，对x∈R成立,∴k=0.若k≠0时，则k＜0,Δ＜0，-1＜k＜0.故-1＜k≤0C.§1.3.1一元二次不等式和简单高次不等式的解法2020/3/1374.已知关于x的不等式ax+b＞0的解集为(1,+∞)，则关于x的不等式(ax-b)(x-2)＜0的解集是{x|-1＜x＜2}.【解析】由题设，得a＞0，b=-a，∴不等式(ax-b)·(x-2)＜0，可化为(x+1)(x-2)＜0，解得-1＜x＜2.§1.3.1一元二次不等式和简单高次不等式的解法2020/3/1385.不等式(x+3)(x+1)2(x-1)(x-2)(x2+x+1)≤0的解集是(-∞,-3］∪［1,2］∪{-1}.【解析】原不等式等价于(x+3)(x-1)(x-2)≤0或x=-1,用根轴法：如下图.§1.3.1一元二次不等式和简单高次不等式的解法2020/3/1391．一元一次不等式的解法一元一次不等式ax＞b当a＞0，解集是；当a＜0，解集是；当a=0，当b≥0时，解集是;当b＜0时,解集是R.知识要点{}bxxa{}bxxa§1.3.1一元二次不等式和简单高次不等式的解法2020/3/1310§1.3.1一元二次不等式和简单高次不等式的解法2020/3/1311解题步骤：(1)化一般形式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0(a＞0)；(2)判断Δ，并进一步求方程的根;(3)结合二次函数图象写出不等式的解集.2．一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的解法§1.3.1一元二次不等式和简单高次不等式的解法2020/3/1312(2)对f(x)进行因式分解，并写成:(x-x1)(x-x2)…(x-xn)＞0(或＜0)的形式.(3)将根按从小到大的顺序在数轴上描点，这n个点将数轴分成n+1个区间.(4)最右的第一区间为正，以后正、负相间，在区间上标明正、负号.(5)f(x)＞0的解对应正号区间，f(x)＜0的解对应负号区间.3．简单的一元高次不等式的解法(1)首先将不等式整理成f(x)＞0(或f(x)＜0).§1.3.1一元二次不等式和简单高次不等式的解法2020/3/1313注意若有偶次因式，则在描点时去掉这个根和这个因式，其他均按原步骤进行，但取解时，对这个根要进行检验，若该点满足不等式且位于所取值区间外时就找回来，若不符合不等式且位于取值区间内时就去掉它.§1.3.1一元二次不等式和简单高次不等式的解法2020/3/1314例1解不等式(1)-4＜x2-5x+2＜26(2)(x2-x+1)(x2+5x+6)(x2-4x-5)＞0.双基固化1．一元二次不等式、高次不等式的解法【解析】(1)原不等式等价于x2-5x+2＜26，x2-5x+2＞-4，x2-5x-24＜0，x2-5x+6＞0-3＜x＜8x＞3或x＜2-3＜x＜2或3＜x＜8.§1.3.1一元二次不等式和简单高次不等式的解法2020/3/1315(2)因为x2-x+1=(x-)2+＞0，所以原不等式化为(x+2)(x+3)(x+1)(x-5)＞0，因为零点为-3、-2、-1、5，由数轴标根法得不{x|x＞5，或-2＜x＜-1，或x＜-3}.3412§1.3.1一元二次不等式和简单高次不等式的解法2020/3/1316例2.(1)不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|-1＜x＜2}，那么不等式a(x2+1)+b(x-1)+c＞2ax的解集为()A．{x|0＜x＜3}B．{x|x＜0或x＞3}C．{x|-2＜x＜1}D．{x|x＜-2或x＞1}2．“三个二次”之间的关系【解析】(1)由已知得0,(12)1,(1)22,abaca∴b=-a，c=-2a∴不等式a(x2+1)+b(x-1)+c＞2ax，可化为(x2+1)+(-1)(x-1)+(-2)＜2x，即x2-3x＜0，解得0＜x＜3，∴选A.A§1.3.1一元二次不等式和简单高次不等式的解法2020/3/1317(2)已知集合A={x|(x+1)(2x-1)＞0},B={x|x2+ax+b≤0},且全集U=R，(A∩B)={x|x＞3或x≤}，求实数a、b的取值范围.12Uð(2)由已知A={x|x＜-1或x＞},A∩B={x|＜x≤3},∴{x|≤x≤3}B{x|-1≤x≤3}，设方程x2+ax+b=0的两根为x1，x2且x1＜x2.121212§1.3.1一元二次不等式和简单高次不等式的解法2020/3/1318故a、b的取值范围分别为［-，-2］，［-3,］.3272§1.3.1一元二次不等式和简单高次不等式的解法2020/3/1319【小结】关于二次不等式的求解问题，要注意利用“三个二次”之间的联系(如一元二次不等式的解区间端点是对应二次方程的根)，结合二次函数的图象、数轴和韦达定理等知识灵活求解.§1.3.1一元二次不等式和简单高次不等式的解法2020/3/1320例5.已知函数f(x)=(a、b为常数)，且方程f(x)-x+12=0的两实根为x1=3，x2=4.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设k≥1，解关于x的不等式：f(x)≤.能力提升3．函数、不等式的综合作用2xaxb(1)2kxkx§1.3.1一元二次不等式和简单高次不等式的解法2020/3/1321【解析】(1)依题设解之得990,31680.4abab21,().2.2(2)--1-2(1)-2.0axfxbxxkxxkx原不等式价于()()()0,§1.3.1一元二次不等式和简单高次不等式的解法2020/3/1322当k=1时，原不等式的解集为{x|x=1或x＞2}当1＜k＜2时，原不等式的解集为{x|1≤x≤k或x＞2};当k=2时，原不等式的解集为{x|x≥1且x≠2}当k＞2时，原不等式的解集为{x|1≤x＜2或x≥k}.【小结】(1)解分式不等式时，注意将问题等价转化，这里要特别注意x≠2.(2)解含参不等式注意合理进行分类讨论，做到不重不漏.§1.3.1一元二次不等式和简单高次不等式的解法2020/3/13231．一元一次不等式(组)、一元二次不等式的求解要准确、熟练、迅速,它是求解其他不等式的基础.利用数轴及二次函数图象是求解一元一次不等式(组)、一元二次不等式综合问题的常用方法之一.2．求解含参数的不等式时常常需要分类讨论，分类要确保不重不漏.如解含参数t的不等式x2f(t)+xg(t)+r(t)＞0(或＜0)，一般需要从三个方面进行讨论求解：一是讨论x2的系数f(t)的取值情况(为正、负还是为零)；二是讨论Δ的取值情况(为正、为负还是为零)；三是讨论两根的大小(x1＜x2，x1＞x2，x1=x2).3．解高次不等式时，应将它化为左边为一次因式的积，右边为零的形式,且每个因式x的系数均为正数,然后应用标根法写出解集.规律总结§1.3.1一元二次不等式和简单高次不等式的解法2020/3/1324书面作业课堂练习教材P.114练习1.2教材P.114习题3.1–1.2.3.4