2.5平衡物体的临界状态与极值问题

平衡物体的临界状态与极值问题2、极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。解决这类问题的方法常用解析法，即根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。另外，图解法也是常用的一种方法，即根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。1、临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰好”等语言叙述。解决这类问题的基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后再根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。例1.如图所示，一根轻绳上端固定在O点，下端拴一个重为G的钢球A，球处于静止状态．现对球施加一个方向向右的外力F，使球缓慢偏移，在移动中的每一刻，都可以认为球处于平衡状态，如果外力F方向始终水平，最大值为2G，试求：（1）轻绳张力T的大小取值范围；（2）在乙图中画出轻绳张力与cosθ的关系图象．T乙OcosO甲FF解：（1）当水平拉力F=0时轻绳处于竖直位置，绳子张力最小当水平拉力F=2G时，绳子张力最大.GTminGGGT5)2(22max因此轻绳的张力范围是GTG5（2）cosGT例2.物体A的质量为2kg，两根轻细绳b和c的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体A上，在物体A上另施加一个方向与水平线成θ角的拉力F，相关几何关系如图所示，θ=60°.若要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围.(g取10m/s2)【解题指南】解答本题时应注意要使两绳都能伸直，必须保证两绳的拉力都大于或等于零，进而根据平衡条件，正交分解求出F的极值.“极限法”求解临界问题【解答】c绳刚好伸直时，拉力F最小，物体A受力如图所示：解法一：采用极限法：F较小时,Fc=0，F较大时，拉力Fb=0。列方程求解由平衡条件得：Fminsinθ+Fbsinθ-mg=0Fmincosθ-Fbcosθ=0解得：minmg203FN2sinθ3b绳刚好伸直时，拉力F最大，物体A受力如图所示：由平衡条件得：Fmaxsinθ-mg=0解得：故拉力F的大小范围是答案：maxmg403FNsinθ3203403NFN33203403NFN33解法二：由正交分解法列方程组【总结提升】“极限法”求解临界问题时的注意事项(1)求解平衡中的临界问题和极值问题时，首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点.(2)临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而是把某个物理量推向极端，即极大和极小，并依此做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论.【变式训练1】(2012·太原模拟)倾角为θ=37°的斜面与水平面保持静止，斜面上有一重为G的物体A，物体A与斜面间的动摩擦因数为μ=0.5，现给A施以一水平力F，如图所示，设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等(sin37°=0.6，cos37°=0.8)，如果物体A能在斜面上静止，水平力F与G的比值可能是()A.3B.2C.1D.0.5【解析】选B、C、D.设物体刚好不下滑时F=F1，此时物体A有沿斜面下滑的趋势，则：F1cosθ+μFN-Gsinθ=0FN-F1sinθ-Gcosθ=0解得：设物体刚好不上滑时F=F2，此时物体A有沿斜面向上滑动的趋势则：F2cosθ-μFN-Gsinθ=0FN-F2sinθ-Gcosθ=01Fsin370.5cos370.22Gcos370.5sin371.111解得：即故B、C、D正确.2Fsin370.5cos3712Gcos370.5sin370.5【变式训练2】如图，半径为R的光滑球，重为G，光滑木块厚为h，重为G1，用至少多大的水平力F推木块才能使球离开地面？解：由分析可知，当地面对球的支持力为零时，水平推力F最小。此时球受力如图hRGhRRFRFNN2221GhRhRhFN.222木块受力如图GhRhRhRhRRFFFNN2222cos.11GhRRFN1由平衡条件及相似三角形得：