2.5平面向量应用举例

2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何向量中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例1.平面几何中的向量方法向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。平面几何图像的许多性质如距离、平行、三点共线、垂直、夹角等几何问题充分利用向量这个工具来解决引言例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，,ACABAD,DBABADABCD你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？猜想：矩形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？ABCD)(22222ADABDBAC结论：矩形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。探索：平行四边形中，以上关系是否依然成立？ABCD例1、证明平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。ABDC已知：平行四边形ABCD。求证：)(22222ADABBDACbADaAB,解：设，则2222babaDBAC222222222222bababbaabbaa结论：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。)(222ADAB2222)(2ADABBDAC即：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；用向量方法解决平面几何问题的一般步骤：形到向量用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角、平行、垂直等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系。向量的运算向量和数到形例2.如图，ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？猜想：AR=RT=TCABCDEFRTABCDEFRT1122()()nabbmab因此,,,ABaADbARrACab解：设则因为所以1122()rbmabARAEER又因为共线，所以设12()ERmEBmabEREB与ab由于与共线，所以设ARAC(),rnabnR12EBABAEab102()()mnmanb即0102nmmn,ab不共线，1解得：n=m=3111333,,ARACTCACRTAC所以同理于是故AT=RT=TCABCDEFRT111333,,ARACTCACRTAC所以同理于是111333,,ARACTCACRTAC所以同理于是1122()()nabbmab因此练习:用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。已知:如图，AC为⊙O的一条直径，∠ABC是圆周角求证：∠ABC=90°图2.5-4AOCB利用向量的数量积可解决长度、角度、垂直等问题情景1：两人一起提一个重物时,怎样提它最省力?情景2:一个人静止地垂挂在单杠上时,手臂的拉力与手臂握杠的的姿势有什么关系?两力的夹角越小越省力两臂的夹角越小,手臂就越省力2、向量在物理中的应用举例例3.在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度解释这种现象吗？2F分析：上述的问题跟如图所示的是同个问题，抽象为数学模型如下：用向量F1,F2表示两个提力,它们的合向量为F，物体的重力用向量G来表示，F1，F2的夹角为θ，如右图所示，只要分清F，G和θ三者的关系，就得到了问题得数学解释！1FGF解：不妨设,由向量的平行四边形法则,力的平衡以及直角三角形的知识,通过上面的式子，知当θ由0º到180º逐渐变大时，由0º到90º逐渐变大，的值由大逐渐变小.12||||FF1||||2cos2GF可以知道：2F1FGF2cos2即之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力！1||F由小逐渐变大.12FF与（1）θ为何值时，最小，最小值是多少？（2）能等于吗？为什么？答：在上式中，当θ=0º时，最大，最小且等于答：在上式中，当即θ=120º时，1||F1||||2cos2GFcos21||F||.2G1||F||G1cos,221||||FG（3）生活中常遇到两根等长的绳子挂一个物体.绳子的最大拉力为,物体重量为,分析绳子受到的拉力大小F1与两绳子间的夹角θ的关系？||G1||F1||||2cos2GF2F1FGF(4)如果绳子的最大承受力为θ在什么范围内,绳子才不会断？1||200,FN||2003,GN2003200,2cos2由≤3cos,22≥2F1FGF62030从而可知，当时绳子不会断。30向量在物理中的应用一般步骤：（1）问题的转化,即把物理问题转化为数学问题.（2）模型的建立,即建立以向量为主题的数学模型，解决问题.（3）问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.向量在物理中的应用（三步曲）：如图所示，用两条成120º的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力是________.120º10N1||||2cos2GFGv1v2v例4.如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=500m,一艘船从A处出发到河对岸,已知船的速度,水流速度问行驶航程最短时,所用时间是多少？(精确到0.1min)1||10/,vkmh2||2/,vkmh1212210/,2/.vvvvkmhvkmhvvt分析：如图，已知，，，求AB1v2vv2212||||||96(/),vvvkmh0.5603.1(min).||96dtv所以答：行驶的航程最短时，所用的时间是3.1min。解：如图，由已知条件得2vv（1）问题的转化,即把物理问题转化为数学问题.（2）模型的建立,即建立以向量为主题的数学模型，解决问题.（3）问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.1.向量在几何中的应用（三步曲）：2.向量在物理中的应用（三步曲）：转化的方法：１、选取恰当基向量２、建系坐标化。形到向量向量的运算向量和数到形