《两条直线的交点坐标-两点间的距离》人教A版高中数学必修2

自学导引1．两条直线的交点坐标(1)直线的交点坐标：设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两条直线的交点坐标就是方程A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解．(2)两直线位置关系与方程组的解的关系：①方程组有唯一的解⇔两直线________；②方程组无解⇔两直线________；③方程组有无数解⇔两直线________．相交平行重合课件使用101教育PPT制作(ppt.101.com)2．两点间的距离公式设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1，P2两点间的距离为|P1P2|＝___________________________.x2－x12＋y2－y12自主探究探究1：两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22的形式？【答案】可以，原因是x2－x12＋y2－y12＝x1－x22＋y1－y22，也就是说公式中P1，P2两点的位置没有先后之分．探究2：A1B2－A2B1≠0是两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交的条件．为什么？【答案】由A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0，消y得(A1B2－A2B1)x＝C2B1－C1B2，当A1B2－A2B1≠0时，方程组有唯一解，则直线l1与l2相交．预习测评1．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标为()A．(4,1)B．(1,4)C．43，13D．13，43【答案】C2．已知点A(1,2)，B(a,6)，且|AB|＝5，则a的值为()A．4B．－4或2C．－2D．－2或4【答案】D3．经过两条直线2x＋y＋2＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线方程为________．4．已知点P(x,2)，Q(－2，－3)，M(1,1)，且|PQ|＝|PM|，则x＝________.【答案】2x＋3y－2＝0【答案】－92要点阐释1．点与坐标的一一对应几何元素及关系代数表示点AA(a，b)直线ll：Ax＋By＋C＝0点A在直线l上Aa＋Bb＋C＝0直线l1与l2的交点是A方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解是x＝a，y＝b2.直线系方程(1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线：Ax＋By＋m＝0(m为参数且m≠C)．(2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线：Bx－Ay＋m＝0(m为参数)．(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线：(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数且这些直线中不包含l2)．3．两点间的距离两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12.典例剖析题型一直线的交点问题【例1】求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．思路点拨：先解由两直线的方程组成的方程组，求出交点坐标，然后代入求方程．解：法一：解方程组x－2y＋4＝0，x＋y－2＝0得P(0,2)．因为l3的斜率为34，且l⊥l3，所以直线l的斜率为－43，由斜截式可知l的方程为y＝－43x＋2，即4x＋3y－6＝0.法二：设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，解得λ＝11，∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0.1．求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．解：法一：设所求的直线为l，由方程组2x－3y－3＝0，x＋y＋2＝0得x＝－35，y＝－75.∵直线l和直线3x＋y－1＝0平行，∴直线l的斜率k＝－3.∴根据点斜式有y－－75＝－3x－－35，即所求直线方程为15x＋5y＋16＝0.法二：∵直线l过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点，∴设直线l的方程为2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0，即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0.∵直线l与直线3x＋y－1＝0平行，∴λ＋23＝λ－31≠2λ－3－1，解得λ＝112.从而所求直线方程为15x＋5y＋16＝0.题型二两点间距离公式的应用【例2】试在直线x－y＋4＝0上求一点P，使点P到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等．思路点拨：有以下两种思路：①设出P点坐标，根据条件列出方程，由此求出P点坐标；②由条件求出线段MN的中垂线方程，与已知直线方程联立，可得P点坐标．解：法一：由直线x－y＋4＝0得y＝x＋4，因为点P在该直线上，所以可设P点的坐标为(a，a＋4)．因为|PM|＝|PN|，所以[a－－2]2＋[a＋4－－4]2＝a－42＋a＋4－62，即a＋22＋a＋82＝a－42＋a－22，所以(a＋2)2＋(a＋8)2＝(a－4)2＋(a－2)2，解得a＝－32，从而a＋4＝－32＋4＝52，所以点P的坐标为－32，52.法二：因为|PM|＝|PN|，所以点P在线段MN的垂直平分线上．因为kMN＝6－－44－－2＝106＝53，所以线段MN的垂直平分线的斜率k＝－35.又MN的中点为(1,1)，所以线段MN的垂直平分线的方程为y－1＝－35(x－1)，即y＝－35x＋85.又因为点P在直线x－y＋4＝0上，所以点P为直线x－y＋4＝0与y＝－35x＋85的交点．由x－y＋4＝0，y＝－35x＋85得x＝－32，y＝52.所以点P的坐标为－32，52.2．已知△ABC的顶点坐标是A(0,5)，B(－2，－1)，C(6,7)．求BC边上的中线AM的长和AM所在直线的方程．解：先求出BC边的中点M的坐标，再求|AM|，最后由两点式写出AM所在直线的方程．设M(x，y)，∵M是BC的中点，∴x＝－2＋62＝2，y＝－1＋72＝3.∴M(2,3)．∴|AM|＝2－02＋3－52＝8＝22.由两点式得AM所在直线的方程为y－53－5＝x－02－0.即x＋y－5＝0.题型三对称问题【例3】一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程．思路点拨：通过“形”与“数”的转化，将几何问题化为代数问题．解：设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得ba·－43＝－1，8×a2＋6×b2＝25，解得a＝4，b＝3.∴A的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，又由反射光线过P(－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y＝3.由方程组y＝3，8x＋6y＝25，解得x＝78，y＝3.由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y＝3x≤78.方法点评：光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两定点距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题．(1)点A(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点M(x，y)，可由方程组y－y0x－x0·－AB＝－1AB≠0，A·x＋x02＋B·y＋y02＋C＝0求得．(2)常用对称的特例有：①A(a，b)关于x轴的对称点为A′(a，－b)；②B(a，b)关于y轴的对称点为B′(－a，b)；③C(a，b)关于直线y＝x的对称点为C′(b，a)；④D(a，b)关于直线y＝－x的对称点为D′(－b，－a)；⑤P(a，b)关于直线x＝m的对称点为P′(2m－a，b)；⑥Q(a，b)关于直线y＝n的对称点为Q′(a,2n－b)．3．设△ABC的顶点A(3，－1)，内角B的平分线所在直线方程为x－4y＋10＝0，AB边上的中线所在直线方程为6x＋10y－59＝0，求BC边所在直线的方程．解：设AB边的中点为D(x0，y0)，则B(2x0－3,2y0＋1)．∵D，B分别在两条已知直线上，∴2x0－3－42y0＋1＋10＝0，6x0＋10y0－59＝0.解得x0＝132，y0＝2.∴B(10,5)．设A关于∠B的平分线的对称点为A′(m，n)，则A′在直线BC上．如图所示．由n＋1m－3＝－4，m＋32－4·n－12＋10＝0，可得A′(1,7)．∴BC所在的直线方程就是A′B所在的直线方程为y－7＝7－51－10(x－1)，即2x＋9y－65＝0.误区解密因分类讨论不全致错【例4】是否存在实数a，使三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0能围成一个三角形？请说明理由．错解：(1)当l1∥l2时，－a＝－1a，即a＝±1；(2)当l1∥l3时，－a＝－1，即a＝1；(3)当l2∥l3时，－1a＝－1，a＝1.∴当a≠1且a≠－1时，这三条直线能围成一个三角形．错因分析：要使三条直线围成一个三角形，除这三条直线中任两条不能平行外，还要满足三条直线不能交于一点，错解中漏掉了这种情况．正解：(接错解)(4)当l1与l2，l3相交于同一点时，由x＋ay＋1＝0，x＋y＋a＝0得交点(－1－a,1)，将其代入ax＋y＋1＝0中，得a＝－2或a＝1.故当a≠1且a≠－1且a≠－2时，这三条直线能围成一个三角形．纠错心得：三条直线构成三角形，则任何两条直线都相交，且不能相交于一点，这是解本题的依据．同时，在解决本题类似的题目时，直接求解有困难，可考虑用间接法．课堂总结1．两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点取决于它们组成方程组的公共解的个数：若只有一解，则l1与l2相交；若无解，则l1∥l2；若有无数解，则l1与l2重合．解方程组时，要注意对含字母的系数能否为0作适当的讨论．2．坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标．3．平面几何中与线段长有关的定理和重要结论，可以通过建立适当的坐标系，并设出相关点的坐标，利用两点间的距离公式证明．