动量矩定理

动量定理描述了外力系主矢量引起质心运动的变化，反映了质点系随质心平动的动力学规律。但是,它不能完全描述质点系的运动状态。如一均质的圆轮绕不动的质心转动时,无论圆轮转动的快慢如何,无论转动状态有什么变化,它的动量恒等于0。第三章动力学普遍定理：动量矩定理CM动量矩定理会描述外力系主矩引起质点系如何运动?§3-1动量矩§3-2动量矩定理§3-3刚体的定轴转动微分方程§3-4相对于质心的动量矩定理动量矩定理§3-5刚体的平面运动微分方程§3-1动量矩1.质点动量矩的计算◆质点对一点的动量矩：◆质点对轴的动量矩即：质点对点的动量矩是矢量，大小为DOMD面积的两倍，矢量从矩心O画出，其方位垂直于质点矢径r和动量mv所组成的平面，指向按右手规则确定；质点对轴的动量矩等于对点的动量矩矢量在相应轴上的投影，对轴的动量矩是代数量。)()(mvrmvMO)()()]([)()()()]([)()()()]([)(xyzOzzxyOyyzxOxmvymvxmvMmvMmvxmvzmvMmvMmvzmvymvMmvM2.质点系动量矩的计算◆质点系对点的动量矩：◆质点系对轴的动量矩质点系对点O的动量矩为质点系内各质点对同一点O的动量矩的矢量和，一般用Lo表示。质点系内各质点对某轴的动量矩的代数和称为质点系对该轴的动量矩,一般用Lx、Ly,Lz表示。)(iiOOvmML)()()(iizziiyyiixxvmMLvmMLvmML例：已知小球C和D质量均为m，用直杆相连，杆重不计，直杆中点固定在铅垂轴AB上，如图示。如杆绕轴AB以匀角速度ω转动，求质点系对定点O的动量矩。解：DCCvlrvsin质点C对点O的动量矩为：sin)(2mllmvmvMCo方向垂直CD同样质点D对点O的动量矩为：sin)(2mlmvMo故有：sin22mlLo若考虑杆子的质量，则需要进行积分。Lo方向同上设刚体以速度v平动，刚体内任一点A的矢径是ri,该点的质量为mi，速度大小是vi。LO=∑MO(mivi)=∑(miri)×vC该质点对点O的动量矩为MO(mivi)=ri×miviOriAmivi因为刚体平动vi=v=vCLO=∑MO(mivi)=∑ri×mivi又因为(∑mi)rC=∑miri所以LO=∑mirC×vC=rC×(∑mi)vC3.平动刚体对固定点的动量矩4.定轴转动刚体对转轴的动量矩由动量矩定义很容易得：其中,Jz=∑miri2称为刚体对转轴的转动惯量。即：定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对于该轴的转动惯量与角速度乘积。ziiiiiiiiiizzJrmrrmrvmvmML2)(只适用于定轴,不是转轴及点都不成立常见刚体对轴的转动惯量2iizrmJ2zzmJ在工程中，常将转动惯量表示为{质量质量分布其物理意义：相当于将质量集中与一点，该点距轴的距离为ρz—刚体转动惯性的度量,是刚体内所有各点的质量与其对该轴的转动半径的平方的乘积的总和。径称为回转半径或惯性半zzJ影响转动惯量大小的因素●整个刚体质量的大小。●刚体各部分的质量分布。●转轴的位置。A匀质细杆对z轴的转动惯量：dxdmlm,单位长度质量为23222222121121mlldxxdmxJllllz////llz631212Cl/2l/2xdxxz简单形状匀质刚体的转动惯量2121mlJzB匀质薄圆环对于中心轴的转动惯量：202mRdmRJmzRz2mRJzC匀质薄圆板对于中心轴的转动惯量：2πdiiiAmrr2πAmR式中：24022214122MRRrdrrdmrJRz221mRJzD匀质薄圆板对于径向轴的转动惯量：yxJJyx轴的转动惯量相等：与圆板对于22222)(iiiiizmymxyxmmrJzxyxzJJmRJJJ21,212即：Rz21E转动惯量的平行轴定理)(222iiiiizCyxmrmJ)'(222iiiiizyxmrmJdyyxxiiii,2)(2)(22222222iiiiiiiiiiiiizmdymdyxmddyyxmdyxmJ0Ciimyym2mdJJzCz转动惯量的计算：（1）简单—查表（2）规则形状组合—叠加（3）形状复杂—实验例：图示为一简化钟摆，已知均质细杆和均质圆盘的质量分别为m1和m2，杆长l，圆盘直径为d。求摆对经过悬挂点o的水平轴的转动惯量。解：)(21oooJJJ])2(121[2121lmlm])2()2(21[2222ldmdm)83(3122221ldldmlm匀质曲杆OAB如图所示。已知质量是m，求曲杆对通过杆端O并与曲杆面垂直的轴Oz的转动惯量。解：ABOAzJJJ2)(31aabamJOAOCaAbB)4)(()(121222babambbbbamJAB过固定点O建立固定坐标系Oxyz，以质点系的质心C为原点，建立平动坐标系Cxyz,质点系对固定点O的动量矩为CCCOmLvrLLC——质点系相对质心C的动量矩)(riiriCmvrLOAvxyzvCz'y'x'CvCvrrCrr上式即平面运动刚体对固定点O的动量矩计算公式5.质点系对固定点O的动量矩的另一种表示])[()(iiriCiiiOmmvrrvrL过固定点O建立固定坐标系Oxyz，以质点系的质心C为原点，取平动坐标系Cxyz,它以质心的速度vC运动。质点系内任一质点A的绝对速度v=ve+vr=vc+vr,则质点系对固定点O的动量矩)()()(riiriCiriiiCmmmvrvrvr证明OAvxyzvCz'y'x'CvCvrrCrrricirrrricivvv0MrmrriicMrmriic动系定系质心的性质iicvmMv0riivm)(riiriCiCmmvrvrCCiCmLvrLC——质点系相对质心C的动量矩0)()(CvrvrriiCirimm0则上式可以写为)()()(riiriCiriiiCOmmmLvrvrvrCiCiiCmmvrvr)(OAvxyzvCz'y'x'CvCvrrCrrCCCOmLvrL只适用于质心如图所示一半径为r的匀质圆盘在水平面上纯滚动,已知圆盘对质心的转动惯量为JO，角速度为，质心O点的速度为vO。试求圆盘对水平面上O1点的动量矩。11OOOOOmLLrv2132OmrLω221mrωJLOOrωvO思考题12OOOmmrrvω解:OrvOO1y1OOrx行星齿轮机构在水平面内运动。质量为m1的均质曲柄OA带动齿轮II在固定齿轮I上纯滚动。齿轮II的质量为m2，半径为r2。定齿轮I的半径为r1。求轮II对轴O的动量矩。02212rrrCCCOmLvrL2221)(AAOJvmrrL2221)(rrrvOA思考题ω0ⅠⅡOAPr1r2αω2解:1.质点动量矩定理vrMmmvO)()()()(FMFrvrvrMOOmdtdmdtdmvdtd)()(FMvMOOmdtd质点对固定点的动量矩对时间的一阶导数等于作用于质点上的力对同一点的力矩。A对固定点§3-2动量矩定理)()(FxxMmvMdtd质点对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于该质点的所有力对于同一轴之矩的代数和。B固定轴(将上式两边分别向坐标轴投影，再利用对点和对轴动量矩公式可得)：)()(FMvMOOmdtd)()(FyyMmvMdtd)()(FzzMmvMdtd质点对定点的动量矩定理在三个坐标轴的投影方程不独立质点在有心力作用下的运动若质点在运动过程中始终只受到指向某固定点的力的作用，称该质点在有心力作用下运动（这属于动量矩定理中的那一种情况？）。（行星）绕太阳，月亮绕地球运动等，都属于这种情况。力的作用线恒通过定点，因此力F对于该点的矩恒等于0，于是质点动量矩守恒，即动量矩大小和方向不发生变化，方向不变说明mv和r始终在一个平面内且质点绕相同的方向运行；mvr大小不变，说明vr若大小不变，若r小则v大。把单摆看成一个在圆弧上运动的质点A，设其质量为m，摆线长l。又设在任一瞬时质点A具有速度v，摆线OA与铅垂线的夹角是。例试用动量矩定理导出单摆(数学摆)的运动微分方程。解：取通过悬点O而垂直于运动平面的固定轴z，对此轴应用质点的动量矩定理)()]([dd)e(izzMmMtFvOAmgFvlAtmlllmmvlmMzdd)()(2vsin)()e(mglMizFsin)dd(dd2mgltmlt0sindd22lgt2.质点系动量矩定理nimdtdeiiiOiiO,...,1)()()()(O)(FMFMvMnieiOnieiOniniiiOiiOmdtd1)(1)(11)()()()()(FMFMFMvMniniiiiiiOOmm11)(vrvML质点系对固定点的动量矩对于时间的一阶导数等于外力系对同一点的主矩。A对固定点)()(eiOOtddFML质点系对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于该质点系的所有力对于同一轴之矩的代数和。B固定轴(将上式两边分别向坐标轴投影，再利用对点和对轴动量矩公式可得)：zizzyiyyxixxMMtLMMtLMMtL)(dd)(dd)(dd)e()e()e(FFF质点系对定点的动量矩定理在三个坐标轴的投影方程独立1.如果∑MO(Fi（e))0，则LO=常矢量.2.如果∑Mz(F（e）)0，则Lz=常量。)(dd)e(FMtLzz对定点的动量矩定理)(dd)e(iOOMtFL对定轴的动量矩定理结论如作用于质点系的所有外力对某固定点(或固定轴)的主矩始终等于零,则质点系对该点(或该轴)的动量矩保持不变。这就是质点系的动量矩守恒定理.3.质点系动量矩守恒定理实例之一：爬绳比赛的力学分析RvmRvmLBBAAz＝RgmRgmMBAz＝)(dd)e(izzMtLF)(ddRvmRvmtBBAARgmRgmBA＝)(ddRvmRvmtBBAARgmRgmBA＝BAmm0)(ddRvmRvmtBBAA,0BAvvBAvv初始静止Lz0=00RvmRvmBBAA例题如图所示，在静止的水平匀质圆盘上，一人沿盘边缘由静止开始相对盘以速度u行走，设人质量为m2，盘的质量为m1，盘半径r，摩擦不计。求盘的角速度。uABzrOω解：以人和盘为研究对象。FBzm2gFBxm1gFByFAxFAyrvmJLzz2,reavvvvurv)(2urrmJLzz)21(22212rmrmurmLz)(dd)e(izzMtLF初始静止Lz0=0rummm12222例题匀质圆轮半径为R、质量为m。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。求重物下落的加速度。OPW解：以整个系统为研究对象。vOPWaP2121mRJLOO＝vRgWmvRLO＝2vRgWmRLLLOOO＋＋＝22121OOMtLddaP=RWRRagWmRP221gWmWaP2§3-3刚体绕定轴转动微分方程zzJL)F(zzMdtdL)F(zzMJdtd)F(zzMJ)(FMJzz根据质点系动量矩定理有绕定轴转动刚体的动量矩为：思考：图示三种情况下（同一圆轮），在该瞬时圆轮转动的角加速度是否相同？大小顺序？（