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集对分析（SetPairAnalysis简记为SPA）（联系数学，ConnectionMathematics）的思想渊源、理论核心与关键问题赵克勤1思想渊源2理论核心3关键问题40多年前的思考•集对分析萌发于上世纪60年代我学习恩格斯《自然辩证法》和数学《集合论》时产生的思考。20年前提出集对分析•1989年8月，我在内蒙包头召开的全国系统理论与区域规划会议正式提出集对分析，题目是《集对和集对分析－一个新的概念和一种新的系统分析方法》。20年来•集对分析得到广泛应用，据在中国知网上检索，应用或引用集对分析联系数学的论文已有1000多篇，其中博士学位论文158篇（关键词用集对分析检索15篇)硕士学位论文455篇（关键词用集对分析检索50篇），被国际权威检索机构EI检索论文10余篇，另有重要会议论文140多篇。发表论文的高校学报120多家，学术期刊250多种，论文作者中有中科院院士与中国工程院院士，《基于集对原理的水文水资源不确定性分析新途径》等10多个课题受到国家自然科学基金主题资助，还有一些课题受到省部级基金资助。2009年10月将在浙江大学召开第9次集对分析学术年会•会议主题是集对分析与非传统安全研究，其中包括水安全这个议题，欢迎大家参加和投稿。请登录浙江大学非传统安全与和平发展中心网站：，网上投稿，联系人为余潇枫教授。人们自然会问：•什么是集对分析？•集对分析为什么能得到广泛应用？•集对分析的思想渊源和理论核心是什么？什么是集对分析?•就是对2个集合(称为集对)或多个集合之间的关系作同异反不确定性分析。如何开展集对分析——先3步•1、分析2个集合的所有关系，•2、把得到的全部关系作同异反分类，•3、写出2个集合的同异反程度联系数。如何开展集对分析步骤——后3步•1、计算和分析联系数（a+bi，a+bi+cj，a+bi+cj+dk……。•2、打开i,作不确定性分析。•3、把计算分析结果与其它方法的结果作对照。思想渊源1：源自哲学•哲学认为：世界是确定性与不确定性的对立统一。•集对分析用联系数μ=a+bi及其展开式（μ=a+bi+cj,μ=a+bi+cj+dk…）具体地刻划确定性与不确定性的对立统一。思想渊源2：源自系统科学•系统科学认为，世界是系统的，事物以系统的形式存在，。•集对分析把事物的确定性关系与不确定性关系看成不确定性系统，把联系数作为这个系统的一种数学模型。•思想渊源3：源自数学集合论•集合论是数学的基础，但集合论中存在着矛盾，也称集合论悖论，100多年来，数学家们围绕悖论开展了激烈的争论，其中的一个著名悖论是理发师悖论：理发师悖论（罗素悖论）•村上一个理发师贴出服务公告，宣称他为所有不为自己理发的人理发（设这些人组成集•合A），那么，理发师自己的头该由谁理发？•如果他不为自己理发，那么，理发师属于A；但这样一来，理发师就不能给自己理发了，也就是不能属于A，那么，理发师自己的头究竞该由谁理发？•上面这个理发师悖论最早由英国数学家和哲学家罗素（BertrandRussell1872-1970）于1903年发现，所以在数学史上称其为罗素悖论。羊群中也可能围进了狼”•罗素悖论的发现，说明了由德国数学家康托（GeorgCantor,1845-1918）提出的集合论存在着矛盾，这个矛盾是如此的显而易见，在构造一个集合时就存在于这个集合中，震动了当时的数学界，正如著名的法国数学家庞加（HenriPoincare,1854-1912）所坦言，“我们围住了一群羊，然而在羊群中也可能围进了狼”我对罗素悖论的思考•我对罗素悖论作了与众多数学家不同的理解，我认为罗素悖论已告诉我们，面对一个研究对象O（objuct）存在着2个映像集：一个是确定的映像集A，另一个是不确定的映像集B，需要把这2个集合联合起来去描述这个对象。顺便在这里给出认识论意义上的集对定义：•所谓集对，就是描述同一个客观对象所需要的2个集合。罗素悖论的联系数模型（1）•如果用A表示确定集A的基数，用B表示不确定集B的基数，用i表示不确定，且在［－1，1］取值，就得到联系数u＝A+Bi，显然，联系数u＝A+Bi是关于对象集O的两个映射集合的联合函数，是罗素悖论的一个数学模型。•又由于u＝A+Bi恰好含有2项，所以也称为是二元联系数，简称联系数罗素悖论的联系数模型（2）•假设村上包括理发师在内共有100人，其中不能为自己理发的有99人，确定属于理发师的服务范围（A=99）；加上理发师1人不能确定是否属于理发师的服务范围（B=1），于是得联系数A+Bi=99+1i，这个联系数的集对意义显然是关于“所有不为自己理发的人”这个对象集O的两个映射集合A（确定集）与B（不确定集）的基数之联系和。罗素悖论的联系数模型（3）•进一步假设在罗素悖论中，一个人的理发价是1元钱，那么当理发师自己的头由自己理时，共收入99+1i（i＝1）＝100元；当理发师自己的头由别人理时，他的净收入是99+1i（i＝－1）＝98元；由此看出，引进集对的概念和二元联系数u＝A＋Bi，使罗素悖论迎刃而解、而且解得自然、解得畅快。思想渊源4：i源自物理学“测不准原理”•历史上，德国物理学家海森堡于1927年提出“测不准原理”：一个微观粒子的某些物理量（如位置和动量，或方位角与动量矩，还有时间和能量等），不可能同时具有确定的数值，其中一个量越确定，另一个量的不确定程度就越大。测不准原理”反映了微观粒子运动的基本规律，是量子力学的一个基本原理，也是现代物理学的一个重要原理。通常，人们把海森堡的“测不准原理”称为“不确定原理”。集对分析联系数中的不确定数i就是基于这个微观层次上的“测不准原理”而引入.微观的相对性•事实上，就认知而言，微观纯粹是相对于宏观而言的一个概念。例如在水科学中，江河湖泊是宏观，支流沟坑是微观；支流沟坑是宏观，水珠水滴是微观；肉眼见到的水珠水滴是宏观，空气中的水分子是微观；大量水分子聚集在一起是宏观，少量水分子和单个分子是微观；年度降水量是宏观，某时刻降水量是微观；高空云层是宏观，低层水汽是微观；如此等等，这就意味着当把一事物（例如水）在宏观层次上的表现与微观层次上的表现相联系作全局性考虑时，不可避免地存在不确定性。这就是“全局不确定原理”。思想渊源5：对非数学式子的思考（1）•例1，树上有10只鸟，如果有人打下1只，问还剩几只？10－1＝0？鸟问题的联系数模型•树上有10只鸟，鸟与鸟之间有内在联系，但这里的联系由哪些关系组成不能确定，为此记1只鸟与其它9只鸟的联系为1＋9i，10只鸟减去1只鸟的数学模型就是•10－（1＋9i）•当i＝1时，10－（1＋9i）＝0（没有鸟）•当10只鸟中存在母子鸟、幼鸟、老鸟、病鸟等情况，一下子想飞也飞不了时，可以让i取［0，1］区间的其它值，如还剩3只，这时i＝0.65思想渊源5：对非数学式子的思考（2）•“3个皮鞋匠，胜过诸葛亮”；“(1＋1＋1)3”•“三个和尚没水喝“(1＋1＋1)3”表示后者，试问，这2个式子是数学式子吗？显然不是，甚至可以说是错误的式子，但同样是3个人，合作得好是“(1＋1＋1)3”，合作得不好是“(1＋1＋1)3”，则是司空见惯的事实，既然是事实，就可以给出相对应的数学模型，问题是，根据客观实际给出的群体效能数学模型如何与(1＋1＋1)＝3的经典数学协调一致？这个模型后面再讲。思想渊源6：源自对自然的感悟•人为什么生有两只眼睛？因为两只眼睛比1只眼睛能更清楚地看清眼前的事物；人为什么生有两只耳朵，就是因为两只耳朵比1只耳朵能更好地聆听远远近近的声音；•人为什么生有两条腿，因为两条腿比1条腿更能站得稳，走得快；人为什么生有两只手，因为两只手比1只手更能握得住工具，更能进行复杂的操作；如此等等，人体自身的这些自然之谜，是自然给我们的启示，启示我们在数学的研究中，引进集对这个概念是自然的需要。一来一去应用广泛•集对分析来自哲学、系统科学、数学的学习和融合，来自对于自然之谜的感悟，来自对看上去是一些非数学式子深层次的思考，又反过去影响到哲学、系统科学和数学的研究，如实地反映客观事物的确定性与不确定性，让I作为理论研究结果与实际情况不断变化的一个接口，才使得集对分析方法具有全局性、系统性和辩证性，集对分析研究结论具有客观性、完整性和科学性；从而使得集对分析从提出到现在的20年中，应用范围不断扩大，层次不断加深，水平不断提高。•其实，从方法论看，这一来一去，亦集对也。集对分析也称联系数学•狭义的联系数学是指以联系数为运算和分析单位的数学，中义的联系数学还包括把概率联系数化、模糊隶属度和模糊数联系数化、区间数联系化、复数联系数化、数轴联系数化，并把他们统一起来的数学；广义的联系数学还包括数学各分支联系的同异反、数学与其它学科（物理学、经济学、生命科学、管理科学）联系的同异反及其数学分析。联系科学•广义的联系数学在一定意义上超出数学范畴，据此，我在SPA1998杭州会议上提出将集对分析发展成联系科学的设想，这个设想在会后以《联系科学的定义、框架、应用与意义》为题发表在《大自然探索》1999年第3期上，所谓联系科学，是专门研究事物联系、可变与转化的学科。又是10年过去，2008年第6期的《自然辩证法通訉》（中科院研究生院主办）又刊出了我的《自然辩证法可以称为联系科学吗》一文，说明了学术界对联系科学这一提法的关注。关于联系的2个命题•命题1：联系是关系之和。•命题2：联系是创新之源.•一般来说，联系处于宏观层次，关系处于微观层次。•从科学发展的大趋势看，联系科学是在继经典分析科学（数学分析、物理分析、结构分析…..）与20世纪的系统科学之后，提出的又一个新学科，是处于分析学科和系统科学之间的一门中介科学，因而在现代科学发展史上将有重大意义，也有广阔的应用前景。水是一个集对•首先，水是一个集对，一个特殊的集对。•因为从水的分子式H2O看，水分子由2个氢原子和1个氧原子组成，如果把2个氢原子作成一个集合，1个氧原子作成另一个集合，那么，水分子就是一个地地道道、真真实实的集对。水是一种特殊的联系介质•其次，水也是一种特殊的联系纽带，一种特殊的联系介质。水把天、地、生联系起来，把宏观与微观联系起来，把东、西、南、北、中联系起来，把古今中外联系起来，把物质与能量联系起来，把物质的固态、气态、液态联系起来，把有（形）与无（形）联系起来，把有机与无机联系起来，把简单与复杂联系起来，把确定性与不确定性联系起来，把利与害联系起来，，把柔情如水与冷若冰霜联系起来，把科学与艺术联系起来；总之，水把自然与社会联系起来，水是联结自然和社会的一座桥樑。水与联系科学•，“大江东去、浪涛尽”；“飞流直下三千尺，疑似银河落九天”；“问渠那得清如许，为有源头活水来”，以及“水能载舟、亦能覆舟”等等千古名句，无不与水有关，如此等等的种种联系，表明水科学实实在在是关于联系的一门科学，一门大科学，研究水科学的专家中不泛有大科学家，借此机会，向显在的和潜在的水科学研究专家致敬，向水科学研究中带领博士研究生系统地应用集对分析并获得国家自然科学基金资助、且做出显著成果的四川大学丁晶教授、金菊良教授、王文圣教授致敬，向这次论坛的主要组织者左其亭教授致敬，向在座的各位专家学者致敬。理论核心（1）•集对分析理论包括了不确定性理论、同异反系统理论和成对理论（联系论），核心理论是不确定性理论，理论的核心是确定性与不确定性的对立统一，严格说是确定性与不确定性的对立同一及其中介过渡及其数学表达和数学处理。理论核心（2）•具体是把2个集合或多个集合的确定性关系与不确定性关系作为一个确定——不确定系统来处理。对其中的不确定性“客观承认、系统描述、定量刻划、具体分析”。•从多方面（同异反3方面或更多）、多层次（宇观、宏观，中观、微观，）多角度、多维度、多方法研究确定性关系与不确定性关系的联系与变化。•借助联系数进行确定性与不确定性关系的计算和分析。二元联系数u＝A＋Bi•其中A、B为非负实数，i在［－1，1］区间视不同情况取值。•令A＋B＝N，a=A/N