椭圆(高考数学第一轮复习)

1FP2F一椭圆的定义:1212(||)FFFF在平面内到两个定点,的距离等于常数的点的轨迹.12FF两个定点,叫椭圆的焦点12FF||叫椭圆的焦距回顾知识、把握基础12||||2PFPFa注：平面内一动点与两个定点F1，F2的距离之和等于常数2a，当2a＞|F1F2|时，动点的轨迹是椭圆；当2a=|F1F2|时，动点的轨迹是线段F1F2；当2a＜|F1F2|时，轨迹不存在.二.椭圆的标准方程和几何性质标准方程图形性质范围≤x≤≤y≤≤x≤≤y≤对称性对称轴：对称中心：0)b1(abyax2222=+0)b1(abxay2222=+-aa-bb-bb-aax轴,y轴原点性质顶点A1,A2B1,B2A1,A2B1,B2轴长轴A1A2的长为短轴B1B2的长为焦距|F1F2|=2c(c=)返回目录(-a,0)(a,0)(0,-b)(0,b)(0,-a)(0,a)(-b,0)(b,0)2a2b22b-a1、求适合下列条件的椭圆的方程(1)焦点在x轴上,焦距等于4,且过点P(3,-2)(2)经过两点A(-2,0),B(0,)(3)长轴是短轴的3倍,且过点P(3,0)652例题：2、椭圆16x2+9y2=144的长轴长是,短轴长是,焦点坐标是,顶点坐标是.3、如果椭圆上一点P到左焦点F1的距离是6,那么点P到右焦点F2的距离是.22y+=110036x4、已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,过椭圆的左焦点F1的直线与椭圆交于两点A,B,则ABF2的周长是.22y+=12516x变式题[2009·上海卷]已知F1、F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.【答案】31PF2PF返回目录5一动圆与已知圆O1：（x+3）2+y2=1外切，与圆O2：（x-3）2+y2=81内切，试求动圆圆心的轨迹方程.116y25x22=+＊对应演练＊已知△ABC中，A（-1，0），C（1，0），且边a，b，c成等差数列，求顶点B的轨迹方程.返回目录13y4x22=+(x≠±2)│要点探究6已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的长轴右端点、短轴上端点分别为A、B，从椭圆上一点M(在x轴上方)向x轴作垂线，恰好过椭圆的左焦点F1，向量AB与OM是共线向量.(1)求(2)设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围.ca【解答】(1)由题意可得，kAB＝kOM，又因为直线AB的斜率k＝－ba，所以直线OM的方程为：y＝－bax.又得|MF1|＝bca，从而得到b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2c2，∴e＝ca＝22.(2)设|F1Q|＝r1，|F2Q|＝r2，∠F1QF2＝θ，∴r1＋r2＝2a，|F1F2|＝2c，cosθ＝222121242rrcrr│要点探究＝(r1＋r2)2－2r1r2－4c22r1r2＝a2r1r2－1≥，当且仅当r1＝r2时，cosθ＝0，∴θ∈2212102arr0,22APPB【解答】D对于椭圆，因为，则OA＝2OF，∴a＝2c，∴e＝12.2APPB变式题[2009·浙江卷]已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若，则椭圆的是()A.32B.22C.13D.12ca7、直线y=kx+b与椭圆交于A,B两点,记AOB的面积为S.(1)求在k=0,0b1的条件下,S的最大值;(2)当|AB|=2,S=1时,求直线AB的方程.22+y=14xAxyoB返回目录【解析】（1）设点A的坐标为（x1，b），点B的坐标为（x2，b），由+b2=1，解得x1，2=±2,所以S=b·|x1-x2|=2b·=2≤b2+(1-b2)=1,当且仅当b=时，S取得最大值1.2x421-b1221-b22b(1-b)22y=kx+b，+y2=1，（k2+）x2+2kbx+b2-1=0，则Δ=4k2-b2+1，①|AB|=·|x1-x2|=·=2.②设O到AB的距离为d，则d==1，又因为d=，所以b2=k2+1，代入②式并整理，得k4-k2+=0，返回目录（2）由得2x414{21+k21+k2224k-b+11+k42S|AB|2|b|1+k14解得k2=，b2=，代入①式检验，Δ＞0,故直线AB的方程是y=x+,或y=x-,或y=-x+,或y=-x-.返回目录123222622262226222621求椭圆中斜率为1的平行弦的中点的轨迹.1422yx12FF、2已知椭圆的焦点为,椭圆上的动点P的坐标为，且为钝角，求的取值范围。22194xy(,)ppxy12FPFpx练习：3若直线与椭圆恒有公共点，求实数m的取值范围.)(1Rkkxy1522myx4椭圆中心在原点，长轴长为，一个焦点的坐标（0,5），求经过此椭圆内的一点，且被点M平分的弦所在的直线方程.1F)21,21(M103方法规律小结1、在求椭圆标准方程时,要弄清焦点所在坐标轴,若没有指明在哪一个坐标轴,椭圆的标准方程应有直两种形式2、椭圆的焦距、长轴长、短轴长分别为2c,2a,2b,不要误认为c,a,b.3椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a+c，最小距离为a-c.3、过焦点弦的所有弦长中，垂直于长轴的弦是最短的弦，而且它的长为.把这个弦叫椭圆的通径22ba4注意椭圆的范围，在设椭圆（a＞b＞0）上点的坐标为P（x，y）时，则|x|≤a,这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.2222xy+=1ab